2015年湖南高考数学理科卷带详解

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科） 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.(15湖南高考)已知（为虚数单位），则复数=（ ）A. B. C. D.【参考答案】D【测量目标】复数的计算.【试题分析】由题意得，故选D.2. (15湖南高考)设A,B是两个集合，则”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【参考答案】C【测量目标】集合的关系.【试题分析】由题意得，反之，故为充要条件，选C.3. (15湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的 ( )

2、A. B. C. D.第3题图 【测量目标】程序框图、裂项相消法求数列的和.【参考答案】B【试题分析】由题意得，输出的为数列的前三项和，而，故选B.4. (15湖南高考)若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）A.-7 B. -1 C.1 D.2【参考答案】A【测量目标】线性规划.【试题分析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当，时，的最小值是，故选A.第4题图 5. (15湖南高考)设函数，则是（ ）A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数【参考答案】A【测量目标】函数的性质.【试题分析】显然，

3、定义域为，关于原点对称，又，为奇函数，显然，在上单调递增，故选A.6. (15湖南高考)已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ） B. C.6 D.-6【参考答案】D【测量目标】二项式定理.【试题分析】，令，可得，故选D.7. (15湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772第7题图 【参考答案】C【测量目标】正态分布.【试题分析】根据正态分布的性质，故选C.8. (15湖南高考)已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大

4、值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【测量目标】圆的性质、平面向量数量积.【参考答案】B【试题分析】由题意得，为圆的直径，故可设而的最大值为7，故选B.9. (15湖南高考)将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（ ）A. B. C. D.【参考答案】D【测量目标】三角函数的图象和性质.【试题分析】向右平移个单位后，得到，又，不妨令，又，故选D.10. (15湖南高考)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.第10题图

5、【测量目标】圆锥的内接长方体和基本不等式求最值.【参考答案】A【试题分析】分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体的长，宽，高分别为x，y，h，长方体上底面截圆锥的截面半径为a，则，如下图所示，则可知，而长方体的体积，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为，故选A.第10题图 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. (15湖南高考) .【参考答案】0【测量目标】定积分的计算.【试题分析】.12. (15湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在

6、区间139,151上的运动员人数是 .第12题图 【参考答案】4【测量目标】系统抽样；茎叶图.【试题分析】由茎叶图可知，在区间的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为人.13. (15湖南高考)设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.【参考答案】【试题分析】根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，.14. (15湖南高考)设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .【测量目标】等差数列与等比数列的性质.【参考答案】【试题分析】成等差数列，又等比数列.15. (15湖南高考)已知，

7、若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .【参考答案】【测量目标】函数与方程；分类讨论的数学思想.【试题分析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值范围是.三、解答题16. ( ) (15湖南高考)如图，在圆中，相交于点的两弦、的中点分别是、，直线与直线相交于点，证明：（1）；（2）.第16题图 【测量目标】（1）垂径定理和四点共圆；（2）割线定理.【试题分析】（1）如图所示，因为分别，是弦，的中点，所以，即，又四边形的内角和等于，故；（2）由（1

8、）知，四点共圆，故由割线定理即得.第18题图 （）(15湖南高考)已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1） 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点的直角坐标为，直线与曲线 的交点为，求的值.【测量目标】(1)极坐标与直角坐标的互相转化；(2)直线与圆的位置关系.【试题分析】（1）等价于，将， 代入，即得曲线的直角坐标方程为；（2）将代入，得，设这个方程的两个实数根分别为，则由参数的几何意义即知，.（）(15湖南高考)设，且.（1）；（2）与不可能同时成立. 【测量目标】(1)基本不等式；(2)一元二次不等式,反证法.【试题分析】（

9、1）由基本不等式及，有，即；（2）假设与同时成立，则由及得，同理，从而，这与矛盾，故与不可能同时成立.17. (15湖南高考)设的内角，的对边分别为，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.【测量目标】(1)正弦定理；(2)三角恒等变形；三角函数的性质.【试题分析】（1）由及正弦定理，得,所以，即.又为钝角，因此，故，即；（2）由（I）知，所以，于是，因为，所以，因此由此可知的取值范围是18. (15湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获

10、一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.【测量目标】(1)概率的加法公式；(2)离散型随机变量的概率分布与期望.【试题分析】（1）记事件=从甲箱中摸出的1个球是红球，=从乙箱中摸出的1个球是红球 = 顾客抽奖1次获一等奖=顾客抽奖1次获二等奖，=顾客抽奖1次能获奖.由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且=，=+，=+.因，所以， ，故所求概率为；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以.于是 ，故的分布列为0123X

11、的数学期望为.19. (15湖南高考)如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面，点、分别在棱、上.（1）若是的中点，证明；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.第19题图 【测量目标】(1)空间向量的运用；线面垂直的性质；(2)空间几何体体积计算.【试题分析】解法一 由题设知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关个点的坐标为，其中，（1）若是的中点，则，于是，所以，即；（2）由题设知，是平面内的两个不共线向量.设是平面的一个法向量，则，即，取，得.又平面的一个法向量是，所以 而二面角的余弦值为，因此，解得，或者（舍

12、去），此时.设,而，由此得点，因为平面,且平面的一个法向量是，所以，即，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积，.B 第19题图解法二 （1）如图，取的中点，连结， ，因为，是梯形的两腰，是的中点，所以，于是由知，所以，四点共面.由题设知，所以平面,因此因为，所以，因此，于是，再由即知平面，又平面，故. c d 第19题图（2）如图，过点P作PM/交AD于点M，则PM/平面.因为平面ABCD，所以OM平面ABCD,过点M作MNQD于点N，连结PN，则PNQD，为二面角P-QD-A的平面角，所以，即,从而. 连结MQ，由PQ/平面，所以MQ/AB，又ABCD是正方

13、形，所以ABQM为矩形，故MQ=AB=6.设MD=t，则 MN=.过点作交AD于点E，则为矩形，所以=6，AE=3，因此ED=AD-AE=3，于是,所以PM=2MD=2t，再由得=，解得t=2，因此PM=4.故四面体ADPQ的体积 .20. (15湖南高考)已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求的方程；（2）过点F的直线与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，且与同向（）若，求直线的斜率（）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，总是钝角三角形.【测量目标】(1)椭圆的标准方程及其性质；(2)直线与椭圆位置关系.【试题分析】（1）由知其焦点F的坐标为

14、（0,1），因为F也是椭圆的一焦点，所以 又与的公共弦的长为，与都关于y轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为（），所以，联立，得=9， =8，故的方程为 ；（2）如图，设A（）B（）C（）D（）.（i）因与同向，且|AC|=|BD|,所以=，从而=，即=，于是设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.由得.而，是这个方程的两根.所以， ，由得.而，是这个方程的两根.所以 ， ，将带入 ，得,即，所以，解得k=，即直线l的斜率为.第20题图 （ii）由得，所以在点A处的切线方程为，即.令y=0得x=，即M（,0）,所以=(,-1).而=().于是=，因此是锐角，从而是钝角.故直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形.21. (15湖南高考)已知，函数. 记为的从小到大的第n个极值点,证明：（1）数列是等比数列；（2）若，