四川省仁寿县高中2014年高三下学期5月月考数学(理)试卷

1、四川省仁寿县高中 2014 年高三下学期 5 月月考数学（理）试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150 分，考试时间 120 分钟 .第 卷（选择题，共50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、在复平面内，复数z= 2a1ii （其中aR,i为虚数单位）对应的点不可能位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、设P=y | yx21, xR ,Qy | y2 x , xR ，则（）A、PQB、QPC、CRPQD、QCRP3、设函数x 2R) ，则“f ( x)0 在区

2、间 1，2上有两个不同的实根 ”是“2 a 4”的.A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、若 f ( x) sin( 2x)3 cos(2 x)(0 ) 是 R 上的偶函数，则（）A、B、C、 2D、 563365、一个几何体的三视图如图所示，主视图和侧视图都是等边三角形，若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐主视图侧视图标分别是（ 0， 0， 0），（ 2，0， 0），（2，2，0），（ 0， 2， 0），则第五个顶点的坐标可能为（）俯视图A、（ 1， 1，1）B、（ 1， 1， 2 ） C、（ 1， 1， 3 ） D、（ 2， 2，

3、3 ）6、给出如图所示的程序框图，那么输出开始的数是（）A、2550B、 2450C、5050D、 4900i=2, s=0s=s+ixy1107、设不等式组 3xy30表示的平面i=i+25x3y90区域为 D，若指数函数 y a x 的图象上存在区域否i 100D 上的点，则 a 的取值范围是（）是A、（ 1， 3B、 2，3输出 sC、（1，2D、 3，+）结束、已知双曲线 x2y 21( a ， ）的左、右焦点分别为、 F2，过 F18b20b0F1a 2的直线分别交双曲线的两条渐近线于P、Q 两点，若 P 恰为线段 F1的中点，且Q1QF2，则此双曲线的渐近线方程为（）QFA、 y

4、2xB、 y3x、D、 y3xC y2x9、六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻，在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（）A、 1B、 1C、 1D、 140302010|lnx|,0 x e若 a, b, c 互 不 相 等 ， 且10 、 已 知 函 数 f (x) =2 lnx,x ef ( a)f (b)f (c) ，则a bc 的取值范围为（）、（2）B、（ 12e,2 e2）A1 e,1 eeeC、（ 2 1 e2 ,2e2 ）D、（ 2 1 e2 , 12e ）e第 卷（非选择题，共100 分）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5

5、分，共 25 分）11 、 在 (x3a )8 的 二项 式 展 开式 中， 常数 项 为 28 ， 则 实数 a 的 值x是.12 、 在 ABC 中， B=90， AB=BC=1， 点 M满 足于 BM 2 AM ，则 有CMCA =.13、已知函数 f (x) Asin x( A 0, 0) 的最小正周期为 2，且 f ( 1) 1，6则 函 数 yf ( x) 的 图 象 向 左 平 移 1 个 单 位 后 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式3为.114、过函数 yx 2 (0 x 1) 图象上一点 M 作切线 l 与 y 轴和直线 y 1 分别交于点 P、Q，点 N（0，1），则

6、 PQN 面积的最大值为.15、将正整数12 分解成两个正整数的乘积有：1 12， 26，34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为 12 的最佳分解，当pq ( pq 且 p 、q N ） 是正 整数 n 的 最佳 分解 时， 我 们 规定 函 数f ( n)p ，例如 f (12)3，关于函数 f (n) 有下列叙述：q4 f (1)13 f (28)497f (24)7f (144)816其中正确的序号为（填入所有正确的序号） .三、解答题（本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明 .证明过程或演算步骤） .16、（本小题满分 12 分）在 ABC中，已

7、知角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 b cosC (3a c) cos B .（1）求 cosB 的值；（2）若 BA BC =2，且 b2 2 , 求 a和 c的值 .17、（本小题满分 12 分）在等差数列an 中， a2a723, a3a829 .（1）求数列 an 的通项公式；（2）设数列 anbn 是首项为 1，公比为 c 的等比数列， 求数列 bn 的前 n 项和 Sn.18、（本小题满分 12 分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念 .记交通指数为 T，其范围为 0，10，分别有 5 个级别：T0，2）畅通；T2 ，4）基本畅通； T 4，

8、6）轻度拥堵； T6，8）中度拥堵； T8，10严重拥堵 .晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20 个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：（1）这 20 个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（ 2）从这 20 个路段中随机抽出 3 个路段，用 X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求 X 的分布列及期望 .19、（本小题满分 12 分），如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中， CA=CB， AB=AA1， BAA1=60.（1）证明： AB A1C（2）若平面 ABC平面 AA1B1 B， AB=CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 .13 分）已知

9、椭圆 C： x2y21( a b 0）的离心率为 1 ，20、（本小题满分22ab2以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线xy 6 0 相切，（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P（4，0），A、B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB交椭圆 C 于另一点 E，证明直线 AE与 X 轴相交于定点 Q；（3）在（2）的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M、N 两点，求 OM ON 的取值范围 .、（本小题满分14分）已知函数 f ( x)1 x3a x22x(a R)2132（1）当 a 3 时，求函数 f (x) 的单调区间；（2）若对任意 x1,) ，都有

10、 f ( x) 2(a1)成立，求实数 a 的取值范围；（3）若过点 ( 0，1 )可作函数 y f ( x) 图象的三条不同切线，求实数a 的3取值范围 .数学（文理）参考解答一、选择题：题号12345678910答案CCAACBADAB二、填空题11、1（理）， xy30 （文）12、313、 y2sin(x3) （理），3（文）14、 8（理），（文）2788 （文）15、 （理），27三、解答题16、（理）（1）由已知和正弦定理得 sin B cosC(3sin A sin C) cosB从而 sin B cosCcosB sin C3sin A cosB即 sin( BC )3sin

11、 Acos B因为 BCA所以 sin( BC )sin A又 sin A 0故 cosB131（2）由 BA BC2 可得 ac cosB2又 cos B故 ac 63又 b2a2c22cos ,22acB b a2c212解得 a c6（文）（1）由条件及正弦定理得accsin A3 cosCsin C从而 sin C3 cosC即 tan C30c c3（2）由（1）知 B2A3 3 sin AcosB3 sin Acos( 2A)3 sin A1 cos A322sin(A)60A 2A+ 53666当 A62时， sin(A) 取得最大值 1。6此时 A,B3317、（理）（1）设等

12、差数列 an 的公差为 d ，则2a17d23a112a19d解得d329数列 an的通项公式 an3n2（2）数列 anbn 是首项为 1，公比为 c 的等比数列 anbncn 1 ，即 3n 2 bncn 1 bn3n2cn1sn1 4 7(3n 2) (1 c c2cn 1 )n(3n1)(1cc2cn 1 )2当 cn(3n1)n3n2n1 时， sn22当 cn(3n1)1c n1时， sn21c（文）（ 1）因为an是首项为 a119 ，公差为 d2 的等差数列，所以an 192(n1)2n21，所以 sn 19nn(n1) ( 2)20nn 2 。2（2）由题意知 bnan3n

13、1所以 bnan3n 13n 1221n所以 TnSn1 33n 1n2203n1218、（理）（1）由直方图得，轻度拥堵的路段个数是(0.10.2) 1 20 6 ，中度拥堵的路段个数是(0.30.2)12010（2）X 的可能值为0，1， 2， 3。则 p( XC100C1032C101C102150), p( X1)18C20319C203p( XC102C10115C103C10022), p( X3)19C20338C203X 的分布置列为X0123p21515219383819 E( x) 021 152 15323193838192（文）（1）补全直方图（纵轴为0.2）（略）由直

14、方图可知： (0.1+0.2) 120=6(0.25+0.2) 1 20=9(0.1+0.05) 1 20=3轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别为6 个、 9 个、 3 个（2）由（ 1）知拥堵路段共有18 个三个级别路段中分层抽样的个数分别为662，6181893，61831（3）设（ 2）中选取2 个轻度拥堵路段为A1、A2，选取3 个中度拥堵路段为B1、 B2、B3，选取1 个严重拥堵路段为C1。则从 6 个路段选取 2 个路段的可能情况为： （A1， A2），（ A1，B1），（A1，B2），（A1 ，B3），（A1，C1），（ A2，B1），（ A2，B2），（ A2，B3），（

15、A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2， C1），（ B3 ，C1），共 15 种可能，其中至少有 1 个轻度拥堵的情况有 9 种可能，所选 2 个路段中至少有 1 个轻度拥堵的概率为9 315 519、(理)（ 1）如图，取 AB 的中点 O，连接 OCOA1， A1BCA=CB， OCABAB=AA1， BAA1=60 AA1B 为正三角形OA1ABOCOA1=o， AB平面 OA1C又 A1C 平面 OA1C， AB A1C（2）由（ 1）知 OCAB， OA1AB又平面 ABC平面 AA，交线为， 平面AA1B1B1 B1BABOCOA，O

16、A1，OC两两垂直以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题设知 A（ 1，0，0）， A1（0，3 ，0），C（0，0，3 ），B（ 1，0，0），则BC （1，0，3），BB1AA1 （1，3，0），A1C （ 0，3， 3）设 n ( x, y, z) 是平面 BB1C1C 的法向量。则： n BC0即： x3z 0取 n ( 3,1, 1)n BB10x3y0 cos n, A1Cn A1C10| n | | A1C |510直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为5（文）（1） AB=AC，D 是 BC的中点， ADBC又在直三棱柱 ABCA1B1C1

17、 中， BB1平面 ABC，AD 平面 ABC ADBB1故 AD平面 BB1C1C由点 E 在棱 BB1 上运动，得 C1E 平面 BB1C1C ADC1E（2） ACA1C1， A1C1E 是异面直线 AC、C1E 所成的角由题设 A1C1E=60， B1A1C1= BAC=90 A1C1 A1B1，又 AA1A1C1从而 A1 1平面 A11，于是 A11 A1CABBCE故 C1A1C12 2又 B1C1222E=A1C1A1B1cos60 B1EC1 E 2B1C122 V三棱锥CA BE1 S A BE A1C1= 112222131132311120、（1）由题意知 ec1 e2

18、c2a2b21 ，即 a24 b2a2aa 243又 b1613 ， a 24,b 23椭圆 C 的方程为 x2y 2143（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为yk ( x4)yk(x4)由 x2y2得 (4k 23) x232k 2 x 64 k212 0 14 3设 B( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ), 则 A( x1 , y1 )直线 AE的方程为 yy2y2y1 ( x x2 )x2x1令 y0 ，得 xx2y2 ( x2x1 )y2y1将 y1k( x14) ， y2k( x2 4) 代入整理得 x2 x1x24(x1 x2 )x1x28由 得 x1

19、x232k 2， x1 x264k 212 代入 整理4k 234k23得 x 1直线 AE与 x 轴交于定点 Q（1，0）（理）（3）当过点Q 的直线 MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y m( x 1) ，且 M (xM , yM ), N ( xN , yN ) 在椭圆 C 上，ym(x 1)得 (4m 23) x 28m 2 x4m2由 x2y2120413可知 0。 xMxN8m2, xM xN4m2124m24m233yM yN9m 24m 23则 OM ON xM xNyM yN5m 2125334m2344(4m23) m2 0， 11 33 044(4m 23) OM ON4,5 ）4当过点 Q 的直线 MN 的斜率不存在时，其方程为x1解得 M (1,3), N (1,3 )22此时 OM ON545综上 OM ON 的取值范围是 4,41 x33 x221、（1）当 a3 时，函数 f ( x)2x32得 f ( x)x23x2(x 1)( x2)当 1 x 2 时， f( x) 0，函数 f (x) 单调递增当 x 1 或 x 2 时 f(x) 0，函数 f (x) 单调递减函数 f (x) 的单调递增区间为（ 1，2），单调递减区间为（，1）和（ 2，+）（2）