2007-2012年湖州市(期望杯)初三数学竞赛试题和答案

1、1 2007 年湖州市年湖州市”期望杯期望杯”初三数学竞赛试卷初三数学竞赛试卷 ( (考试时间考试时间 120120 分钟分钟 满分满分 120120 分分) ) 2007.122007.12 一、选择选择 题题（共 8 小题，每 小题 5 分， 满分 40 分。 以下每小题均给出了代号为 a、b、c、d 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请 将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分） 1正实数满足,那么的最小值为（ ）, x y1xy 44 11 xy (a) (b) (c)1 (d) 1 2 22 2将三粒均匀的分别标有 1，2，3，4，5，6 的正六面体骰子同时

2、掷出，出现的数字分别为 ，则正好是直角三角形三边长的概率是（ ） , ,a b c, ,a b c （a） （b） （c） （d） 1 216 1 72 1 36 1 12 3已知，如图 1，点 g 是 bc 中点，点 h 在 af 上，动点 p 以每秒 2 厘米的速度沿图 1 的边 线运动，运动路径为：gcdefh，相应的三角形 abp 的面积 y（平方厘米）关于运动时 间 t（s）的图象如图 2，若 ab=6 厘米，则下列四个结论中正确的个数有（ ） 图 1 中的 bc 长是 8 厘米; 图 2 中的 m 点表示第 4 秒时 y 的值为 24; 图 1 中的 cd 长是 4 厘米; 图 2

3、 中的 n 点表示第 12 秒时,y 的值为 18. （a）1 个 （b）2 个 （c）3 个 （d）4 个 4回文数是 指这个数字由 左向右读起来 与由右向左读 起来数值都相 同，例如：电 子时钟上显示 的时间 02: :20 ，23: :32 就是 回文数。有一 个 24 时制的 数字钟显示的范围从 00: :00 到 23: :59 。请问在一天之中有多少次钟面显示的数字出现回文 数？（ ） 三 题次 一 (1-8) 二 (9-14)15161718 总分 得分 评卷人 2 第 9 题 a b d p c 第 8 题 p 第 12 题 a b cd a1 b1 c1 d1 第 13 题

4、（a）12 （b）16 （c）17 （d）18 5若关于 x 的方程 有两个相等的实数根，且那么等于0tan222 2 xx 00 0180 , （ ） （a） （b） （c） （d） 0 45 0 60 0 30 0 15 6abc 的三边长皆为整数,且,当 abc 为等腰三角形时,它的面积的答24abcbca 案有（ ） (a)1 种 (b)2 种 (c)3 种 (d)4 种 7四条直线 y=x+10，y=-x+10，y=x-10，y=-x-10 在平面直角坐标系中围成的正方形内（包括 四边）整点的个数有（ ）个。 （若 x、y 都为整数,则（x，y）为整点） （）221 （b）222 （

5、c）223 （d）224 8如图，点 p 是平行四边形 abcd 内一点， 且那么等于（ ）9,6, pabpad ss pac s （a）4 （b）4.5 （c）3 （d）无法确定 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分）分） 9二次函数 y =ax2bxc 的图象如图所示， 且 p=| abc | 2ab |，q=| abc | 2ab |， 则 p、q 的大小关系为 。 10某中学生暑期社会调查团共 17 人到几个地方去考察，事先预 算住宿费平均每人每天不超过元。一日到达某地,该地 x 有两处 招待所 a、b。a 有甲级床位

6、 8 个，乙级床位 11 个；b 有甲级床位 10 个， 乙级床位 4 个，丙级床位 6 个。已知甲、乙、丙床位每天分别为 14 元、 8 元、5 元。若全团集中住在一个招待所里，按预算只能住 b 处，则整数 x = 。 11若和 为质数，且，则 。pq9135 qp 22 pq 12如图，在由 24 个边长都为 1 的小正三角形的网格中，点是正六边形的一个顶点，以 p 点为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形） ，请你写出所有可能的直 p 角三角形斜边的长 。 13在一个面积为 1 的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方 形的各边等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的

7、分点连结起 n 来,如 图所示，若小正方形的面积恰为,则 n 的值为。 3281 1 14意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1， 2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面个数的和。现以这组数中 的各个数作为正方形的边长构造如下正方形：再分别依次从左到右取 2 个、3 个、4 个、5 个正方形拼成如下矩形并记为、.相应矩形的周长如下表所示：若按此规律继 3 11 2 3 1 5 1 1 2 1 1 3 2 1 1 1235 . 续作矩形，则序号为 8 的矩形周长是 。 三、解答题（共三、解答题（共 4 4 题，分值依次为题，分值依次为 121

8、2 分、分、1212 分、分、1212 分和分和 1414 分，满分分，满分 5050 分）分） 15已知，试比较 a、b、c 的大小，并说明理01a 2 1aa 2 1ab a c 1 1 由 16已知 x1，x2 是关于 x 的方程（x2） （xm）=（p2） （pm）的两个实数根 （1）求 x1，x2 的值； （2）若 x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数 m，p 满足什么条件时，此 直角三角形的面积最大？并求出其最大值 序号 周长6101626 4 17如图，在平面直角坐标系中，rtaobrtcda，且 a(1，0)、b(0，2)，抛物线 yax2ax2 经过点 c。 (

9、1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点 p、q，使四边形 abpq 是正方形？若存在，求 点 p、q 的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，e 为 bc 延长线上一动点，过 a、b、e 三点作o ，连结 ae，在o上另有一 点 f，且 afae，af 交 bc 于点 g，连结 bf。下列结论：bebf 的值不变； ，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。 ag bg af bf o (第 17 题图) a b c d x y 5 18已知,若为整数，在使得为完全平方数的所有的值中，设的最大4 2 mmymymm 值为，最小值为，次小

10、值为 （注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们abc 就称这个数为完全平方数 ） （1）求的值；cba、 （2）对进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下cba、22 的另一个数不变，这样就仍得到三个数再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干 次上述操作，所得三个数的平方和等于 2007？证明你的结论 o x y b f a e c o g (第 17 题图) 6 2008 年初三数学竞赛试题 （2008 年 12 月 14 日 上午 9：0011：00） 一二三 题号 1891415161718 总分 得分 评卷人 复查人 答题时注意；1用圆珠笔或钢笔作答 2解答

11、书写时不要超过装订线 3可以用计算器 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分以下每小题均给出了代号 为 a，b，c，d 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项 的代号填入题后的括号里不填、多填或错填均得零分） 1.已知，则应满足（） x x x x 11 x a.x1b. x0c. x1d. x0 且 x1 2.有一个游戏的规则是：你想一个数，乘以 2，加上 8，再除以 2，最后减去你所想的数，我就知道结 果这个结果是（） a .1b. 2c .3 d. 4 3 在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设为整数，当直线与直线k2 xy 的交点为整点时，

12、的值可以取( )个4 kxyk a.8 个 b.9 个 c.7 个 d. 6 个 4.已知关只有一个解，则化简023,034,045cxbxaxx有两个解无解的方程 的结果是（ ）babcca a.2a b.2b c.2c d.0 5. 如图，等腰直角三角形 abc 中，acb=90，在斜边 ab 上取两点 m、n， 使mcn=45设 mn=x，bn=n，am=m，则以 x、m、n 为边的三角形 的形状为（ ） a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d随 x、m、n 的值而定 6函数 y图象的大致形状是（） 1 x 得 分 评卷人 y x o y x o y x o y x o n m c

13、b a 7 a b c d 7. 设是正整数，01，在abc 中，如果 ab，bc，ca，bc 边上的高nxxn xn2xn3 ad，那么，这样的三角形共有（ ） n a.10 个 b.11 个 c.12 个 d.无穷多个 8. 把一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次，若两个正面朝 上的编号分别为 m，n，则二次函数的图象与 x 轴有两个不同交点的概率是（） 。 2 yxmxn a. b. c. d. 5 12 4 9 17 36 1 2 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9如图 5，点 a，b，c，d，e 均在o 上，

14、a=25，o=54，则e= . 10如图，在abc 中，ab=ac, adbc, cgab, bg 分别交 ad,ac 于 e,f.若，那么 3 2 be ef 等于 . be ge 11在凸四边形 abcd 中，对角线 ac、bd 交于 o 点，若 soad4，sobc9，则凸四边形 abcd 面积的 最小值为_ 12. 如图，p（x，y）是以坐标原点为中心、 边长为 6 的正方形边上及其内部的点， 若 x，y 都是整数， 则这样的点 p 共有_个; 13. 已知二次函数 cbxaxy 2 （其中 a 是正整数） 的图象经 过点 a（1，4）与点 b（2，1） ，并且与 x 轴有两个不同的交

15、点，则 b+c 的最大值为 . 14. 若关于 x 的二次方程 ax2(3a+1)x+4a5=0 至少有一个整数根，则正整数 a 的值是 三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分） 15对于实数，只有一个实数值满足等式 ax 2 1122 0 111 xxxa xxx 试求所有这样的实数的和a 得 分 评卷人 第 9 题 b o c a d e a bc g f e 第 10 题 3 -3 3 3-3 8 16如图。已知abc 边 bc 上高 ae 和边 ac 上高 bf 的交点为 ho 是abc 的外接圆，m 为 ab 的中 点连结 mh

16、并延长交o 于 d求证：hdcd e f 9 17如图，等腰直角三角形纸片 abc 中，acbc4， acb90，直角边 ac 在 x 轴上，b 点在第二象限，已知 a（1，0） ，ab 交 y 轴于 e，将纸片过 e 点折叠使 be 与 ea 所在直线重合， 得到折痕 ef（f 在 x 轴上） ，再展开还原沿 ef 剪开得到四边形 bcfe，然 后把四边形 bcfe 从 e 点开始沿射线 ea 平移，至 b 点到达 a 点停止.设平移时间为 t（s） ，移动速度 为每秒 1 个单位长度，平移中四边形 bcfe 与aef 重叠的面积为 s. （1）求折痕 ef 的长； （2）是否存在某一时刻

17、t 使平移中直角顶点 c 经过抛物线的顶点？若存在，求出 t 值； 2 43yxx 若不存在，请说明理由； （3）直接写出 s 与 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围. 18如图的 格点图中，每行（列）相邻两个格点之间都相距 1 个长度单位。 （1）如图，格点 c 与格点 a、b 构成的三角形 abc 的面积是2，还有一些 格点与格点 a、b 构成的三角形面积也是 2，请找出所有这样的格 点，并在图上标示出来。 得 分 评卷人 o cx a c1f1 e1 b1 b f e y b c a 10 （2）有些格点与格点 a、b 可以构成等腰三角形 abd，请你找出所有这 样的格点 d，并在

18、图中标出。 （3）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有等边三角形？如有，将它 们标示出来；如没有，思考：在下面的 8*8 格点图中，是否存在以格 点为顶点的等边三角形，如果存在，请标示出来，如果不存在，说明 理由，一般地，对于任意大的格点图（如 100*100 个点的格点图） ，这 个结论是否成立？ （4）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有以 ab 为腰的等腰直角三角形，有没有以 ab 为底的等腰直 角三角形？一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在 线段为腰的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两 点（即两点

19、的坐标之间满足什么条件时）有。在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一 定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有， 思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有？ b a 11 2008 年初三数学数学竞赛试题参考答案及评分建议数学竞赛试题参考答案及评分建议 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 题次题次12345678 答案答案bdadbdcc 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 952o 10 2 3 1125 1249 13-4 14.2 或 3 三、解答题（共 4 题

20、，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分） 15(12 分分) 解：题中等式可化为 2 2240 xxa （1）当方程有两个相等的实数根时，-（2 分）44 2 (4)0a a 由此得，此时方程有一个根，验证可知的确满足题中的等式 1 7 2 a 1 2 x 1 2 x 当方程有两个不相等的实数根时，由此得（2 分）44 2 (4)0a 7 2 a （2）若是方程的根，则原方程有增根，代入解得，此时方程的另一个根1x 1x 2 8a ，它确也满足题中的等式； （4 分）2x （3）若是方程的根，则原方程有增根，代入解得，此时方程的另一个根1x 1x 3 4a ，验

21、证可知确满足题中的等式； （2 分）0 x 0 x 因此，即为所求，且（2 分） 1 7 2 a 2 8a 3 4a 123 31 2 aaa 16(12 分分) 作o 直径 ce连结 ae、be 四边形 bhae 为平行四边形故线段 ab 与 eh 互相平分 又由题设知 m 为 ab 的中点且点 d 在 mh 的延长线上 于是点 e、m、h、d 在同一直线上 因为 ce 为o 直径， 所以edc=90故 hdcd 17 12 18 （1） c1、c2、c3 、c4，如 图： c c b c c a c （答对一 个给 0.5 分） （2 ） d1、d2、d3 、d4 等 9 点，如图： d

22、d d a d d b d d （答对一个给 0.5 分） （3）问题（2）所得到的等腰三角形中没有等边三角形。在 8*8 格点图乃至任意大的格点图中，都 13 没有格点为顶点的等边三角形。(2 分) 说理方式很多，如可以将其中一个顶点选为坐标原点，分析另外两个顶点坐标的奇偶性，分别给予 排除；也可以将其中一个顶点选为坐标原点后，分别设另两个顶点的坐标为（a,b）,(c,d),证明 a2+b2=c2+d2=(a-c)2+(b-d)2 无整数解。(2 分) （4）问题（2）所得到的等腰三角形中有以 ab 为腰的等腰直角三角形，有以 ab 为底的等腰直角三 角形。 一般地，在充分大的格点图中，对于

23、任意给定的两个格点，一定存在以这两个格点所在线段为腰的 等腰直角三角形。如果所给定两个格点的坐标为（a,b）,(c,d),符合条件的第 3 个点有几个，如其中一 个可以是（a+d-b,b+a-c） 。 在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，不一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直 角三角形。如果所给定两个格点的坐标为（a,b）,(c,d),只有当 a+d 与 b+c 具有相同的奇偶性时，才存 在以该两点所在线段为底的等腰直角三角形。(4 分) 14 2009 年初三数学竞赛试题 （2009 年 12 月 27 日 上午 9：0011：00） 一二三 题号 1891415161718 总

24、分 得分 评卷人 复查人 答题时注意；1用圆珠笔或钢笔作答2解答书写时不要超过装订线 3可以用计算器 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分请将正确选项的代号填入 题后的括号里不填、多填或错填均得零分） 1. 下列各对数的大小比较，正确的是( ) a b c d 3 4 . 14 . 1 4 1 )5 . 0( 3 23 32 3557 2.已知那么代数式的值为（ ）, 1 1 a a a a 1 a .b. c . d. 2 5 2 5 55 3甲、乙两同学骑自行车从 a 地沿同一条路到 b 地,已知乙比甲先出发,他们离出发地的距离 s(km)和骑行 时间 t(h)之间的函

25、数关系如图所示,给出下列说法: (1)他们都骑行了 20km; (2)乙在途中停留了 0.5h; (3)甲、乙两人同时到达目的地; (4)相遇后,甲的速度小于乙的速度. 根据图象信息,以上说法正确的有( ) a.4 个b.3 个 c.2 个d.1 个 4在abc 中，已知 bd 和 ce 分别是两边上的中线， 并且 bdce，bd4，ce6那么abc 的面积 等于（ ） 得 分 评卷人 乙 乙 20 0 0.5 1 2 2.5 s(km) t乙 h) 第 3 题图 d a e b c 第 4 题图 15 a12b14 c16d18 5如图，b 是线段 ac 的中点，过点 c 的直线 与 ac

26、成 60的角，在直线 上取一点 p，使得apb=30，ll 则满足条件的点 p 的个数是（ ） a3 个 b2 个 c1 个 d不存在 6下图中阴影部分的面积与算式-+（）2+2-1的结 3 4 1 2 果相同的是（ ） 7观察数列：1，2，5，12，29，70，169，的规律性，则根据上述规律，所表示的数应是（ ） a239b250c389d408 8如图，将矩形 abcd 纸片对折并重新放平，得折痕 mn， 再将纸片沿 ae 折叠，使点 b 落在折痕 mn 上。 若 ab=，则折痕 ae 的长为( )3 a2 b3 4 3 c d3 2 3 32 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，

27、满分 30 分） 9关于的方程有唯一的实数解，则_.x02 2 axxa 10=_. 2 222 1511100100 1 22233100100 11已知 x、y 为正整数(x y )，且满足 xy ( x + y ) = 2p + q，其中 p、q 分别是 x 与 y 的最大公约数和最 小公倍数。试写出满足上述条件的数对(x ，y ) （写出一对即可） 12. rtabc 中，bac=90，ab=3，ac=4，p 为边 bc 上一动点，peab 于 e，pfac 于 f，m 为 ef 中点，则 am 的最小值为 a bc p e f m 第 12 题图 22 l p c b a 第 5 题

28、 图 b a b c d nm e 第 8 题图 16 ） 13试写出关于点 p（1，1）成中心对称的两条抛物线的解析式 ； 14. 观察下列数表： 第一列第二列第三列第四列 第一行0246 第二行2468 第三行46810 第四行6810 12 根据数表所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_，第 n 行与第 n 列交叉点 上的数应为_(用含有正整数 n 的式子表示) 三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分） 15解不等式 0321xxx 16 某乡两村盛产柑桔，村有柑桔 200 吨，村有柑桔 300ab值ab 吨现将

29、这些柑桔运到两个冷藏仓库，已知仓库可储存 240 吨，仓库可储存 260 吨；从村cd值cda 运往两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从村运往两处的费用分别为每吨 15 元和 18cd值bcd值 元设从村运往仓库的柑桔重量为吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和acxab值 a y 元 b y 得 分 评卷人 得 分 评卷人 17 （1）请填写下表，并求出与之间的函数关系式； ab yy值x cd总计 a吨x200 吨 b300 吨 总计240 吨260 吨500 吨 （2）试讨论两村中，哪个村的运费较少；ab值 （3）考虑到村的经济承受能力，村的柑桔运费不得超过 4830 元在

30、这种情况下，请问怎样调运，bb 才能使两村运费之和最小？求出这个最小值 收 地 运 地 18 17如图，已经矩形 abcd 中，延长 bc 到 e，使 ceca，f 是 ae 的中点， 求证：bffd 18 已知：如图，在 rtacb 中，c90，ac4cm，bc3cm，点 p 由 b 出发沿 ba 方向向点 a 匀 速运动，速度为 1cm/s；点 q 由 a 出发沿 ac 方向向点 c 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 pq若设运动的 时间为 t（s） （0t2） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，pqbc？ a b c e f d 19 （2）设aqp 的面积为 y（） ，求 y

31、 与 t 之间的函数关系式； 2 cm （3）是否存在某一时刻 t，使线段 pq 恰好把 rtacb 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，说明理由； （4）如图，连接 pc，并把pqc 沿 qc 翻折，得到四边形 pqpc，那么是否存在某一时刻 t，使四边 形 pqpc 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 p 图 aq c p b 图 a q c p b 20 2009 年初三数学数学竞赛试题参考答案及评分建议数学竞赛试题参考答案及评分建议 二、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 题次题次12345678 答案答案 bdccbb

32、da 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9= 10 11x = 9， y = 3 或 x = 5， y = 5. 4 9 101 1 99 12 5 6 13略 14.20，4(1) 三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分） 15(12 分分) 解： （1）当2 时，得340，xx 3 4 x 2x （2）当21 时，得0，0 xxx 20 x （3）当1 时，得20，2xxx 2x 综上所述，可得原不等式的解是0 或2xx 16(12 分分) 解： cd总计 a吨x 吨(200)x200 吨 b 吨(240)x吨

33、(60)x300 吨 总计240 吨260 吨500 吨 ， 55000(0200) a yxx 34680(0200) b yxx （2）当时，； ab yy550003468040 xxx值 当时，； ab yy550003468040 xxx值 当时， ab yy550003468040 xxx值 当时，即两村运费相等；当时，即村运费较少；当40 x ab yy040 x ab yyb 时，即村费用较少 40200 x ab yya （3）由得4830 b y346804830 x 收 地 运 地 21 50 x 设两村运费之和为，y ab yyy 即：29680yx 又时，随增大而减小

34、，050 xyx 当时，有最小值，（元） 50 x y9580y 值值值 答：当村调往仓库的柑桔重量为 50 吨，调往仓库为 150 吨，村调往仓库为 190 吨，调往acdbc 仓库 110 吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为 9580 元d 17 （12 分）分） 证明：延长 df 交 be 于 m，连结 bd adme，dafmef 又affe，且afdefm afdefmdffm bdaccecmmecmadcmbcbm 即bdbm，且dffmbffd 18 解：（1）由题意：bptcm，aq2tcm，则 cq(42t)cm， c90，ac4cm，bc3cm，ab5cm ap（5

35、t）cm， pqbc，apqabc， apabaqac，即（5t）52t4，解得：t 10 7 当 t 为秒时，pqbc 10 7 2 分 （2）过点 q 作 qdab 于点 d，则易证aqdabc aqqdabbc 2tdq53，dq 6 5 t apq 的面积：apqd（5t） 1 2 1 2 6 5 t y 与 t 之间的函数关系式为：y 2 3 3 5 tt 5 分 （3）由题意： 当面积被平分时有：34，解得：t 2 3 3 5 tt 1 2 1 2 55 2 当周长被平分时：（5t）2tt（42t）3，解得：t1 22 不存在这样 t 的值 8 分 （4）过点 p 作 pebc 于

36、 e 易证：pbeabc，当 peqc 时，pqc 为等腰三角形，此时qcp为菱形 1 2 paeabc，pepbacab，pet45，解得：pe 4 5 t qc42t，242t,解得：t 4 5 t 10 9 当 t时，四边形 pqpc 为菱形 10 9 此时，pe，be，ce 8 9 2 3 7 3 10 分 在 rtcpe 中，根据勾股定理可知：pc 22 pece 22 87 ( )( ) 93 505 9 此菱形的边长为cm12 分 505 9 23 2010 年湖州市初三数学竞赛试题 （2010 年 12 月 12 日 上午 9：0011：00） 一二三 题号 189141516

37、1718 总分 得分 评卷人 复查人 答题时注意；1用圆珠笔或钢笔作答2解答书写时不要超过装订线 3可以用计算器 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分请将正确选项的代号填入 题后的括号里不填、多填或错填均得零分） 1记（ ） 24256 12 1212121xx，则是 a一个奇数 b一个质数 c一个整数的平方 d一个整数的立方 2如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒 数，那么代数式的值等于（ ） b c a a. b. c. d. 4 3 6 4 3 6 3右图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图像（收支差额=车票收入-

38、支出费用）yx 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车 票价 格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格.现给出四 个图像（如图所示）,则下列叙诉正确的是（ ） a反映了建议（2） ，反映了建议（1） b反映了建议（1） ，反映了建议（2） c反映了建议（1） ，反映了建议（2） d反映了建议（1） ，反映了建议（2） 4如图，梯形中，点在上，abcdadbc，ebcaebe， 点是的中点，且若fcdafab，2.746adafab， 1 1 x y o a 1 1 x y o a 1 1 x y o y 1 1 xo a a 1 1 x y o

39、得 分 评卷人 24 则的长为（ ）ce a b. c. d. 2 22 312.52.3 5用下图中的两个转盘做游戏。第一个转盘为圆形，o 为圆心，且aob=boc=90；第二个转盘为 矩形，o为矩形中心，且。若同时转动两个转盘，则转盘停止后指针同时指向 a 的概率3 ba cb 是（ ）. a b c d 12 1 9 1 8 1 6 1 6将数，2，按下图的方法进行排列.262210512 2 26221032 4 1423522262 2672 512 若的位置记为（2，3） ，的位置记为（3，2） ，则这列数中最大的有理数 n 的位置记为（ 2372 ）. a （16，3） b （1

40、7，3） c （16，2） d （17，2） 7已知二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，记p |abc|2ab|， q|abc|2ab|，则（ ）. apqbp=q cpqdp、q 的大小关系不能确定 8已知平行四边形 abcd 的边 ab=m，ad=n（mn）.若 p 为边 cd 上的一动点，且记 dp=x，直线 ap 交 bc 的延长线于点 q，则使得 dpcq 为最短时，m、n、x 应满足关系（ ）. a b 2 nm x mnx c d 222 xnm nmx 111 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9若正整数 x、y 满足 x2-y2=64，则这样的

41、正整数对（x,y）有 对. 10已知非负数满足条件设的最大值为最小值为则abc，75abca，sabcm，n， 的值为 .mn o 1 x y 得 分 评卷人 25 11有一列数，按顺序分别表示为：，且每一个数减去它前面一个数的差都相等，即 123n aaaa、 ，若已知，则 = . 11221nnnn aaaaaa 157911 3()2()12aaaaa 1211 aaa 12已知实数 a、b、x、y 满足 xy=20102010，。则 2010a+b的值为 .1 20101 1 20101 1 2011 yx ba 13在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（）称为整点，如果将二

42、次函数yx, y=x26x的图像与轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数 4 11 x 有 个. 14今有一副三角板（如图 1） ，中间各有一个直径为 4cm 的圆洞，现将三角板a的 30 角的那一头插入 三角板b的圆洞内（如图 2） ，则三角板 a 通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为 cm2 三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分） 15已 知在平面直线坐标系内有一直线 l：(2m1)x(m1)y=7m4. （1）若不论 m 为何值，直线 l 都经过一定点，试求这个定点的坐标. （2）若以 a(1，2)为圆

43、心，3 为半径画a，求a 被直线 l 截得的最短弦 长. 图 1 b a 得 分 评卷人 26 16 甲、乙两辆汽车同时从 a 地出发，沿同一方向直线行驶，甲车最多能 带 a 升汽油，乙车最多能带 b 升汽油（ab 且均为油箱的最大容量） ，途 中不能再 加油，但是两车可相互借对方的油，最终两车要返回 a 地.请设计一种方 案，使其中一辆车尽可能地远离出发点 a，并求出这辆车一共行驶了多少 千米？（两车耗油相同，每升油可使一辆车前进 12km.） 17阅读理解： 对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为x. 即当 n 为非负整数时，如果 nxn，那么xn. 2 1 2 1 如：00.480，0

44、.641.491，22 （1）若2x13，求实数 x 的取值范围. （2）设 n 为常数，且为正整数，函数 y=x2x的自变量 x 在 nxn1 范围内取值时，函数值 y 为 4 1 整数的个数记为 a；满足n 的所有整数 k 的个数记为 b. 求证：a=b.k 得 分 评卷人 得 分 评卷人 27 18.已知，如图，矩形 abcd 中，ad=6，dc=7，菱形 efgh 的三个顶点 e，g，h 分别在矩形 abcd 的边 ab，cd, ad 上，ah=2，连接cf （1）当四边形 efgh 为正方形时，求 dg 的长； （2）当fcg 的面积为 1 时，求 dg 的长； （3）当fcg 的面

45、积最小时，求 dg 的长. 18阅读理解： 对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为x. 即当 n 为非负整数时，如果 nxn，那么xn. 2 1 2 1 如：00.480，0.641.491，22 h g f e ba dc 得 分 评卷人 得 分 评卷人 28 （1）若2x13，求实数 x 的取值范围. （2）设 n 为常数，且为正整数，函数 y=x2x的自变量 x 在 nxn1 范围内取值时，函数值 y 为 4 1 整数的个数记为 a；满足n 的所有整数 k 的个数记为 b. 求证：a=b.k 29 2010 年湖州市初三数学竞赛参考答案 一、选择题 1c 2a 3b 4 d 5d 6d

46、 7c 8 b . 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9 2 10 7 11 11 12 2010 13 25 14834 三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分） 15解：（1）将直线 l 方程变为 m(2xy7)=4xy. 不论 m 为何值，直线 l 都经过一定点 上述关于 m 的方程有无穷多个解， - 4 分 04 072 yx yx 解得 - 2 分 1 3 y x 直线 l 经过定点（3，1） （2）连接 ab，过 b 作直线 lab 交a 于 c、d， 则 cd 为直线 l 被a 截得的最短弦，连 ac

47、 a（1，2） b（3，1） ab= - 2 分5 又ac=3 由勾股定理得 bc= - 2 分2 22 abac 由垂径定理得 cd=2bc=4 - 2 分 即直线 l 被a 截得的最短弦长为 4。 16解：两车由 a 地行驶到 b 地，乙车在 b 地停留，先借给甲车部分汽油，让甲车油箱加满，甲车最远 行驶到 c 地用掉油箱中一半的油，再返回 b 地时用掉油箱中另一半油，此时，乙车再第二次借汽油给 甲车，两车同时返回至 a 地。 设甲车从 a 地到 c 地共用汽油 x 升，乙车从 a 地到 b 地共用汽油 y 升，则 30 - 6 分 ayx bayx 2 1 )( 2 1 解得 x= -

48、4 分 4 , 4 2b y ba 故这辆车（甲）共行驶路程为：。 - 2 分)(2(62 4 2 12kmba ba 17. 解：（1）由题意知2x1 - 4 分 2 5 2 7 解得x - 2 分 4 7 4 9 （2）yx2x(x)2，它的对称轴是直线 x，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大. 4 1 2 1 2 1 n 为正整数 n1 当 nxn1 时对应的函数值 y 的范围为(n)2y(n)2. - 2 分 2 1 2 1 a(n)2(n)22n. 2 1 2 1 nk nn - 2 分 2 1 k 2 1 (n)2k(n)2 2 1 2 1 b=(n)2(n)2=2n 2 1

49、 2 1 ab - 2 分 18. 解：（1）证得ahedgh dg=ah=2 - 4 分 （2）作 fmdc，m 为垂足，连结 ge， abcd，aeg=mge hegf，heg=fge， aeh=mgf. - 2 分 在ahe 和mfg 中，a=m=90，he=fg， ahemfg. fm=ha=2，即无论菱形 efgh 如何变化，点 f 到直线 cd 的距离始终为定值 2. m 2 2 h g f e ba d c 31 因此 sfcg=gc=1，解得 gc=1，dg=6. - 4 分2 2 1 （3）设 dg=x，则由第（2）小题得，sfcg=7-x，又在ahe 中，aeab=7， h

50、e253，x2+1653，x,37 sfcg的最小值为，此时 dg=. - 4 分377 37 32 2011 年湖州市初三数学竞赛试题 （2011 年 12 月 11 日 上午 9：0011：00） 一二三 题号 1891415161718 总分 得分 评卷人 复查人 答题时注意；1用圆珠笔或钢笔作答2解答书写时不要超过装订线 3可以用计算器 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分请将正确选项的代号填入 题后的括号里不填、多填或错填均得零分） 1如果(3，4)是反比例函数 y= 2 21mm x 图像上的一点，那么此函数必定经过点() a(2，6) b(2，-6) c(4，

51、-3) d(3，-4) 2已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出关于 a，b 的四种位置关系如图所示，则可能成立的有() a1 种b2 种c3 种 d4 种 3在直角坐标系中，已知两点 a( 8,3)、b( 4,5)以及动点 c(0, )n、d( ,0)m，则当四边形 abcd 的周 长最小时，比值 m n 为（ ） a 2 3 b2 c 3 2 d3 4如图，边长为 1 的正方形 abcd 绕点 a 逆时针旋转 300到正方形 aefg，则图中阴影部分的面积为（ ） a 2 1 b 3 3 c 4 3 1 d 3 3 1 5定义新运算： ab= )0( )( 1 bba b a

52、baa 且 ，则函数 y=3x 的图象大致是（ ） 得 分 评卷人 a b c d e f g 33 6观察下列三角形数阵： 1 23 456 78910 1112131415 则第 50 行的最后一个数是（ ） a1275 b1270 c1260 d1225 7如图，一个边长分别为 3cm、4cm、5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点 b 重合，另两个顶 点分别在正方形的两条边 ad、dc 上，那么这个正方形的面积是（ ） 。 a 15 162 cm2 b 16 152 cm2 c 16 172 cm2 d. 17 162 cm2 8空间 6 个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝

53、两色染这些线段，其中 a 点连出的线段都是红色 的，以这 6 个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（ ） a3 个 b. 4 个 c. 5 个 d. 6 个 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9王师傅围一块一面靠墙长方形花圃，面积为50m2，如果不靠墙的三面用竹篱笆去围。那么，竹篱 笆最少需要的长度是 _m。 10如图，在abd 中，adb90，c 是 bd 上一点，若 e、f 分别是 ac、ab 的中点，def 的面积 为 3.5，则abc 的面积为 . 得 分 评卷人 第 7 题 c b f d e a 第 10 题 b a c e f d 第 11 题 34 11如图，abc 中，已知 ab=ac，def 是abc 的内接正三角形，=bdf，=ced，=afe， 则用、表示的关系式是_。 12填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是 13假期学校组织 360 名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有 40 个座位，租金 400 元；乙种客车每辆有 50 个座位，租金 480 元.则租用该公司客车最少需要租金 _. 14如图：已知正中，点