2016届江西省萍乡市高三(下)第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、2016届江西省萍乡市高三（下）第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题1若，则等于（ ）A1 B C D【答案】C【解析】试题分析：。【考点】复数概念即运算。【易错点晴】在复数的四则运算上，经常由于疏忽而导致计算结果出错。除了加减乘除运算外，有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识，综合起来加以分析。在复数的四则运算中，只对加法和乘法法则给出规定，而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算。复数代数形式的运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律，复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式，除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题。2已知集合，则（ ）A

2、B C D【答案】C【解析】试题分析：，,。【考点】集合交并补。3已知，且，则（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：，。【考点】三角函数恒等变形。4公元263年左右，中国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。下图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：，）A6 B12 C24 D48【答案】C【解析】试题分析：，判断为否，判断为否，此时，判断为是，退出循环，输出。【考点】算法与程序框图。5过点的直线与圆相切，

3、且与直线垂直，则实数的值为（ ）A0 B C D0或【答案】C【解析】试题分析：切线斜率为，方程为，圆心到直线距离为，解得。【考点】直线与圆的位置关系。6已知为单位向量，则的最大值为（ ）A6 B5 C4 D3【答案】B【解析】试题分析：设，最大值为。【考点】向量运算。7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长是（ ）A B C6 D【答案】D【解析】试题分析：由图可知，该几何体为四棱锥，如下图所示，最长的棱长为。【考点】三视图。8已知实数满足约束条件，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，。【考

4、点】线性规划。9已知函数的图象如图所示，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：关于点的对称点为，而的对称轴为，的对称轴也为，故。【考点】三角函数图象与性质。10已知抛物线与双曲线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，故，代入双曲线方程，故渐近线为。【考点】直线与圆锥曲线位置关系。11老师提出的一个关于引力波的问题需要甲、乙两位同学回答，已知甲、乙两位同学能正确回答该问题的概率分别为0.4与0.5，在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：这个

5、问题已被解答的概率为，两个都能正确回答的概率为，故所求概率为。【考点】条件概型。【思路点晴】事件在另外一个事件已经发生条件下的发生概率.条件概率表示为，读作“在条件下的概率”。条件概率在概率论中占有相当重要的地位，是概率论基础知识中的一个基本概念。在条件概率定义的基础上，进一步探讨概率的性质、计算极其重要公式，有助于解决各种条件概率方面的问题.条件概率在题目中会有明显的提示，如本题中“在这个问题已被解答的条件下”。12已知函数，同时满足条件：或；，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：当时，当时，不符合题意，排除D。当时，当，不符合题意，排除A，C，故选B。【

6、考点】函数图象与性质。【思路点晴】本题考查指数函数、二次函数图象与性质，考查了简单的分类讨论思想，考查了特殊值排除法这个选择题中的解题技巧。在题目已知的两个函数中是由函数向下平移两个单位所得，所以当时，时，对于函数它的两个零点是，当我们选取特殊值时，结合图象就能解决本题。二、填空题13在的展开式中，常数项为 。【答案】【解析】试题分析：常数项为，系数为。【考点】二项式展开式。14已知函数的导函数的图象关于原点对称，则 。【答案】【解析】试题分析：依题意关于原点对称，时为奇函数，符合题意。【考点】函数导数。15是长宽高分别为12,3,4的长方体外接球表面上一动点，设到长方体各个面所在平面的距离为

7、，则的取值范围是 。【答案】【解析】试题分析：当在长方体各个顶点时，距离.到长方体各个面所在平面的距离，也即是半径减去或加上圆心到各个面的距离，依题意可知，圆的半径为，所以距离分别为和，故取值范围为。【考点】立体几何。【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为，常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求。若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法：过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线，交点即为球心。16在中，点在边上，且满足，则的值为 。【答案】【解析】试题分析：如图所示

8、，联立解得，故.【考点】解三角形。【思路点晴】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理.对于解三角形的题目，我们先将图形画出来，其中，而题目又有条件，那么我们就可以设，由此得出完整的图形如上图所示.题目给了，那么第一个方程就用角的余弦定理来表示，而题目要求的是角的余弦值，那么我们就在大小两个三角形中分别用余弦定理表示，联立方程组就可以求解。三、解答题17已知数列满足：，。（1）求数列的通项公式；（2）求数列中所有整数项的值.【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）用配凑法将已知条件化成，即数列是公差为的等差数列，由此求出；（2）观察，除外，增长速度比要快，所以后面的数值都小于。故整数项只有

9、。试题解析：（1）由，得，即，数列是公差为5的等差数列。首项，。（2）若为整数，则必为偶数，又，时，；时，由于，中整数项只有第2项，且。【考点】等差、等比数列。18如下图，是等腰直角三角形，分别为的中点，沿将折起，使得二面角为。（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值。【答案】（1）证明见解析；（2）。【解析】试题分析：（1）先证面、面，即为二面角的平面角，所以，根据，则，又，则面，故；（2）两两垂直，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.利用法向量求平面与平面夹角的余弦值。试题解析：（1），分别为的中点，。又，且，面，则面，又，则面，即为二面角的平面角，所以，又，则，又，面，则面，

10、因为面，故。（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，。设平面的法向量为，由，得，可取，平面的一个法向量，故。所以平面与平面夹角的余弦值为。【考点】空间向量与立体几何.19户外运动已经成为一种时尚运动，某公司为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本公司全体650人中随机抽取50人进行问卷调查。（1）通过对挑选的50人进行调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男员工5女员工10合计50已知在这50人中随机挑选1人，此人喜欢户外运动的概率是0.6，请将列联表补充完整，并估计该公司男、女员工各多少人；（2）估计有多大的把握认为喜欢户外运动与性

11、别有关，并说明你的理由；（3）若用随机数表法从650人中抽取员工，现规定从随机数表（见附表）第2行第7列的数开始往右读，在最先挑出的5人中，任取2人，求取到男员工人数的数学期望。附：0.150100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44

12、39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】（1）列联表见解析，；（2）有的把握认为喜欢户外运动与性别有关；（3）。【解析】试题分析：（1）先填写好表格，依题意，人中喜欢户外运动的人为人，所以该公司男员工人数为，则女员工人；（2）计算，所以有的把握认为喜欢户外运动与性别有关；（3）依题意可知为超几何分布，利用超几何分布计算分布列和数学期望。试题解析：（1）依题意，50人中喜欢户外运动的人为人，列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男员工20525女员

13、工101525合计302050所以该公司男员工人数为，则女员工人。（2），有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关。（3）最先挑出的5人的编号为：199，507，175，128，580，其中有男员工3人，女员工2人，设从中任取2人是男员工的随机变量为，的取值为0,1,2，则，。其分布列为X012P故数学期望或。【考点】1.独立性检验；2.超几何分布。20已知离心率为的椭圆，右焦点到椭圆上的点的距离的最大值为3。（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上两个动点，直线与椭圆的另一交点分别为，且直线的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由。【答案】（1）；（2）四边形的面积为定值。【解

14、析】试题分析：（1）由题意知：，又，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，设点，可得，。当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆得，写出根与系数关系，根据化简得.利用弦长公式和点到直线距离公式，计算。试题解析：（1）由题意知：，又，所以椭圆的方程为。（2）（1）当直线的斜率不存在时，设点，可得，。（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆得，设，有，。，得，化简得：。，原点到直线的距离，综上，四边形的面积为定值。【考点】直线与圆锥曲线位置关系。【方法点晴】第一问是方程的思想，已知椭圆的离心率，也就是知道，那么我们只需要再有一个条件，就可以求出椭圆的方程，本题中另一个已知条件

15、是“右焦点到椭圆上的点的距离的最大值”，这个距离的最大值为，在解题中我们可以直接运用。第二问是设而不求的方法，先设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用根与系数关系计算面积，化简得到面积为。21已知函数，。（1）若在处和图象的切线平行，求的值；（2）设函数，讨论函数零点的个数。【答案】（1）；（2）时，没有零点；时，有个零点；时，有个零点；时，有个零点；时，有个零点。【解析】试题分析：（1），切线平行，即斜率相等，把零代入可计算得；（2）对分成三类进行分类讨论.当时，在单增，故时，没有零点. 当时，显然有唯一的零点.当时，又分成三类进行讨论。试题解析：（1），由，得，所以，即。（2）（

16、1）当时，在单增，故时，没有零点。（2）当时，显然有唯一的零点。（3）当时，设，令有，故在上单调递增，在上单调递减，所以，即。，在上单调递减，在上单调递增，（当且仅当等号成立），有两个根（当时只有一个根），在单增，令，为减函数，故，只有一个根。时有3个零点；时有2个零点；时，有3个零点。综合以上讨论：时，没有零点；时有1个零点；时有3个零点；时有2个零点；时，有3个零点。【考点】1.函数导数与不等式；2.函数零点问题。【方法点晴】有关切线的问题，主要突破口就在斜率和切点，本题中，已知条件“在处和图象的切线平行”翻译过来也就是说在处，这两个函数的导数相等，这样我们分别求出这两个函数的导数，列出方

17、程，就可以求解出.注意到第一问的结论不能用在第二问，但是第二问在分类讨论的时候，有一种情况就是。22选修4-1：几何证明选讲如下图，已知与圆相切，为切点，为割线，弦，相交于点，为上一点，且。（1）求证：四点共圆；（2）若，求的长。【答案】（1）证明见解析；（2）。【解析】试题分析：（1）要证明四点共圆，也就是证同弦所对的圆周角相等，本题中也即是证通过证明，可有，又，故；（2）由相交弦定理得：，由，有，由切割线定理得：，。试题解析：（1），又，。又，故，所以四点共圆。（2）由相交弦定理得：，。，。又，。由切割线定理得：，所以为所求。【考点】几何证明选讲.23选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线上的点按坐标变换得到曲线。（1）求曲线的极坐标方程；（2）若射线和与曲线的交点分别为点，求。【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1），即，代入，得，即曲线的方程为.由，所以的极坐标方程为；（2）由（1）得，将代