椭圆知识点总结

1、椭圆知识点总结椭圆知识点知识要点小结：知识点一:椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形.知识点二:椭圆的标准方程 1当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:,其中；注意:1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；在椭圆的两种标准方程中，都有和； .椭圆的焦点总在长轴上当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,；当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,知识点三:椭圆的简单几何性质椭圆

2、：的简单几何性质(1)对称性：对于椭圆标准方程：说明:把换成、或把换成、或把、同时换成、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。（2)范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 , 线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4）离心率:椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。 因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近，从而越小，因

3、此椭圆越扁;反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。注意： 椭圆的图像中线段的几何特征(如下图)：(）;； (）;；; （3)；;知识点四:椭圆 与 的区别和联系标准方程 图形性质焦点，焦距 范围，,对称性关于轴、轴和原点对称顶点,，轴长长轴长，短轴长离心率准线方程焦半径,注意:椭圆，的相同点:形状、大小都相同；参数间的关系都有和,；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法： 1.如何确定椭圆的标准方程? 任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴,椭圆

4、的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量的几何意义 椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,且。可借助右图理解记忆： 显然：恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、为两条直角边。3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是:看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。4.方程是

5、表示椭圆的条件方程可化为，即,所以只有a、c同号，且b时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5.求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法:由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点,则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为,此类问题常用待定系数法求解。7.判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称;若把曲线方程中的换成,方程不变，则曲线

6、关于轴对称； 若把曲线方程中的、同时换成、,方程不变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形pf1f（为椭圆上的点）有关的计算问题? 思路分析：与焦点三角形pf2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角 (）结合起来，建立、之间的关系. 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为,用表示为。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。（一)椭圆及其性质1、椭圆的定义(1）平面内与两个定点f1，的距离的和等于常数（大于|f1 2|）的点

7、的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。(）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率、椭圆的标准方程、椭圆的参数方程4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 椭圆的准线方程左准线 右准线（二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式:(左焦半径） （右焦半径） 其中是离心率 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： (其中分别是椭圆的下上焦点)（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点,则 弦长 例1.已知椭圆及直线y+m。(1）当直线和椭圆有公共点时，求实数

8、m的取值范围;（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。、已知弦a的中点,研究a的斜率和方程ab是椭圆+1（ab0)的一条弦，中点坐标为(x，0),则ab的斜率为.运用点差法求的斜率，设a(1，y1),b(x2，2）a、b都在椭圆上,两式相减得+=，0，即=-.故ab例、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。（四)、四种题型与三种方法四种题型1:已知椭圆c：内有一点（，1），是椭圆c的左焦点,p为椭圆c上的动点,求pa+pf|的最小值。2:已知椭圆内有一点a(，1)，f为椭圆的左焦点,是椭圆上动点，求|p|pf的最大值与最小值。3:已知椭圆外一点（5,6），l为椭圆的左

9、准线,p为椭圆上动点,点p到l的距离为d，求|pa+的最小值。4：定长为（）的线段b的两个端点分别在椭圆上移动,求的中点到椭圆右准线的最短距离。三种方法1:椭圆的切线与两坐标轴分别交于a，两点,求三角形b的最小面积 。2:已知椭圆 和直线 l:x-y+0 ，在l上取一点m，经过点m且以椭圆的焦 点为焦点作椭圆，求m在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。:过椭圆的焦点的直线交椭圆a,b两点 ,求面积的最大值。 课后同步练习1.椭圆的焦点坐标是 ， 离心率是_,准线方程是_2.已知f1、f2是椭圆的两个焦点，过f的直线与椭圆交于m、两点，则mn2的周长为( )a.8 b1 25 32.椭圆

10、上一点p到一个焦点的距离为5，则p到另一个焦点的距离为（ ）.5 b.6 c.4 d.104.已知椭圆方程为，那么它的焦距是 ( ） 6 b.3 c3 d. 5.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 a.（，+) .(0,2) c.(1,+） d.(0,) 6设为定点，|=6，动点m满足,则动点的轨迹是（ ).椭圆 b.直线 c.圆 d.线段 7已知方程+=1,表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为 .8.已知椭圆的两个焦点坐标是f1(2，0）,2(2，0），并且经过点p（)，则椭圆标准方程是_ _9.过点a(1，-）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是_ _ 10.过点p（,-2)，q（-，1)两点的椭圆标准方程是_ _ _11.若椭圆的离心率是,则k的值等于 .12已知abc的顶点、c在椭圆y2=1上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上,则bc的周长是 .13.f1、f2分别为椭圆=1的左、右焦点，点在椭圆上,pof2是面积为的正三角形,则b的值是 14.设m是椭圆上一点，f1、f2为焦点，,则 1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为() （b） () (d)16.设是右焦点为的椭圆上三个不同的点,则“成等差数列”是“”的（ )（a)充要条件 (b)必要