计算方法习题集及标准答案

1、练习一班级 学号姓名1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？2. 试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。 解： 此算法是数值稳定的。3. 试证明 及 证明：（1）令即又即 设，不妨设，令即对任意非零，有下面证明存在向量，使得，设，取向量。其中。显然且任意分量为，故有即证。4. 已知，_，_ 。5. 已知矩阵，试计算A的谱半径。解： 6. 已知，试计算，7.8. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？解：该近似值具有7为有效数字。9. 若T(h)逼近其精确值T的截断误差为其中，系数与h

2、无关。试证明由所定义的T的逼近序列的误差为，其中诸是与h无关的常数。证明：当m=0时 设m=k时等式成立，即当m=k+1时 即证。练习二班级 学号姓名 1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程：（1）; (2)。解：（1）迭代公式，公式收敛k012300.250.250980.25098（2）， 局部收敛k0123456789101.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.3861.3862. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：（1）,对应迭代公式;（2），对应迭代公式;（3）,对应迭代公式。判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式

3、求出附近的根到4位有效数字。解：（1） 局部收敛（2） 局部收敛（3） 不是局部收敛迭代公式（1）：0123456781.51.444441.479291.1.471081.462091.467791.44161.466479101112131415161.46501.465931.46531.465721.465481.465631.1.迭代公式（2）：k01234561.51.4811.4731.4691.4671.4661.4663. 已知在a,b内有一根，在a,b上一阶可微，且，试构造一个局部收敛于的迭代公式。解：方程等价于构造迭代公式令由于在a,b上也一阶可微 故上述迭代公式是有局部

4、收敛性.4. 设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有局部收敛性。证明：在邻近有连续一阶导数，则在附近连续，令则取则 时 有 从而 故 令 ，由定理2.1知，迭代公式是有局部收敛性。5. ，要使迭代法局部收敛到，则的取值范围是_。6. 用牛顿法求方程在3,4中的根的近似值（精确到小数点后两位）。解： y次迭代公式k01233.53.643.633.637. 试证用牛顿法求方程在1,3内的根是线性收敛的。解：令 y次迭代公式故 从而 ，时，故，故牛顿迭代公式是线性收敛的8. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。解： 相应的牛顿迭代公式为迭代函数，则，练习三班

5、级 学号姓名1. 设有方程组(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；(2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。解：（1） A是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。（2）雅克比法：，取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3），高斯-塞德尔法：，取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3），2. 设有方程组, ,迭代公式： , .求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.证明：迭代公式中的矩阵，由迭代收敛的充要条件知 即证。3. 给定方程组，确定的取值范围，使方程组对应的Jacobi迭代收敛。4.

6、用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求.解：SOR方法 故，迭代初值k00.0.10.-1.21.-0.30.-1.41.-0.50.-1.61.-0.70.-0.81.-0.90.-1.101.-0.110.-1.121.-0.130.-1.141.-0.150.-1.161.-0.5. 给定线性方程组AX=b，其中，1）求出使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛的的取值范围。2）当时，给出这两种迭代法的收敛速度之比。6. 用Gauss消去法解方程组7. 用选列主元高斯消去法求解方程组解： 解得 8. 用追赶法解三角方程组解：高斯迶元回代得 解为 9. 用三角分解法求解方程组解：系数

7、矩阵三角分解为： 原方程可表为： 解 得 解 得10. 用选主元法去法计算下列行列式的值.解： 11. 设计算 .解： 12. 设方程组Ax=，其中A=，= 计算，判断方程组是否病态。 用全主元消元法求解，结果如何？ 用105除第一个方程所得方程组是否病态？解： 105+1 又 =（1+105）=1该方程组是病态 用全主元消元法求解。=1出现大数吃小数的现象，结果失真。 用105除第一个方程得：A1=，=方程组是良态的。练习四班级 学号姓名1. 给出概率积分的数据表：试用二次插值计算.X0.460.470.480.49f(x)0.0.0.0.解：取插值节点： 2. 已知y=sinx的函数表X1

8、.51.61.7sinx0.997490.999570.99166试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.解：由题意得如下差商表故 又 故：3. 设为互异节点(),求证(1) (2) 证明： 令 又 所以 故 原等式左边用二项式展开得： 由结论 得 即证4. 若，则 ， 。5. 若,求和.解： 6. 设为互异节点，为对应的5次Lagrange插值基函数，则_。7. 证明两点三次Hermite插值余项是证明： 且 即 为的二阶零点 设 令 易知 又 由微分中值定理（Rolle定理），使得 进而 有三个零点，有两个零点，有一个零点，即 使

9、得得 8. 设是Lagrange基函数，则 。9. 求一个次数不超过4次的多项式，使它满足，并写出其余项表达式。10. 求一个四次插值多项式，使时，；而 时，并写出插值余项的表达式。11. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x) X-1013Y-11331428解：已知 边界条件 即从而 解 得当 即 时故 同理，在及上均有 12. 已知实验数据X01235Y1.11.93.13.94.9试用最小二乘法求经验直线。13. 利用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合：x21012y 0.10.10.40.91.614. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合X19

10、25313844Y19.032.349.073.397.8解：依题意 故 正则方程为 解得 故拟合曲线为 练习五班级 学号姓名1 试确定下面求积公式使其具三次代数精度.解：要公式有3次代数精度，需有 解得： 故求积公式为2 设f (x) C a,b，则计算的复化梯形公式是_阶收敛的，其代数精度为_。3 在区间上导出含五个节点的Newton-Cotes公式，并指出其余项及代数精度.解：当时，又 故当时，有求积公式 （）其中由Lagrange差值定理有：故余项对（）至少有四次代数精度时 式（）左边=右边= 时 故（）式具有5次代数精度4 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算, (取步长h

11、=1/6).解：（1）用复合梯形公式 故 （2）用复合Simpson公式：5 用变步长梯形求积公式计算, (精确到).解：由 得：6 用Romberg算法计算积分, (精确到).解：由公式 得： 又即已经达到预定精度取7 试构造两点Gauss公式,并由此计算积分(精确到).解： 二次Lagendre多项式：Gauss点为由公式 得令 即 使得8 利用正交多项式构造三点Gauss型求积公式并问：（1）所得求积公式的代数精度是多少？（2）用所得求积公式计算 时截断误差是多少？练习六班级 学号姓名1 试用三种方法导出线性二步方法解：（1） Taylor展开法 线性k步公式为 得即得且（2） 数值积分

12、法用矩形求积公式令（中矩形公式）即得：（3） 由隐式欧拉法得 由显示欧拉法得 代入得2 用Taylor展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法.解：线性k步公式为 ，在（6.17）中令 即 取。即 满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令可得 方法即为3 形如的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误差主项。解：线性k步公式为 由Gear法的定义知，三步Gear法满足方法为阶，故有得：取得得三步Gear方法：其中 4 试用显式Euler法及改进的Euler法计算初值问题（取步长h=0.2）并比较两者的误差。解：步长 , 真解 显式法： 改进法： 显然

13、改进的法误差小于法。5 给出线性多步法为零稳定的条件，并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的.证明： 线性多步法 的相应多项式 多项式的两根为：，。 由判断零稳定的充要条件 根条件 知：此方法的零稳定的条件为 由于 ， ， 得： 当方法为零稳定时 ，从而，故 方法是二阶收敛的。6 给出题(6.5)题中时的公式的绝对稳定域.解： 6.5中当时，即为方法 其相应的差分方程的多项式为 令 ，即方法的绝对稳定域为 7 指出Heun方法00001/31/3002/302/301/403/4的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤.解：法 中对方法有 类似例将方法应用到得其中 上述步骤可按如下步骤完成：将原问题初值代入得出当前步的， 然后代入，得出，再以，作为第2个计算步的初值重复上述步骤可求出，依次类推即可求出原问题的相继数值序列.经验证方法满足由方法阶相容的充要条件知方法具有三阶相容阶。8 试述刚性问题的基本特征，并给出s级Runge-Kutta方法为A-稳定的条件