经济数学――微积分――中值定理的答案

1、第四章 中值定理，导数的应用4.1 中值定理一、单项选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 (A) .(A) (B) (C) (D) 2、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是 (B) .(A) (B) (C) (D) 3、函数在上满足拉格朗日中值定理的 (B) .(A) (B) (C) (D) 4、设是内的可导函数，是内任意两点，则 (C) .(A) (B) 在之间恰有一点，使(C) 在之间至少有一点，使(D) 对于之间任意一点，均有5、设在上有定义，在内可导，则 (B) .(A) 当时，存在，使得 (B) 对于任何，有(C) 当时，存在，使得(D) 存在，使得析：A

2、BC均要求在上连续.二、证明题1、已知在上连续，在内可导，且.求证至少存在一点，使.证明 令，则，由题设知在上连续，在内可导，且.所以根据罗尔定理，至少存在一点，使得，即，从而.2、设在上连续，在内可导，.试证明存在两点，使得.证明 令,则均在上连续，在内可导.且在内，.根据拉格朗日中值定理,至少存在一点，使得 ；又由柯西中值定理，至少存在一点，使得 ，即， 亦即 .所以存在两点，使得.3、用拉格朗日中值定理证明：时，.证明 令，.显然在上连续，在内可导.根据拉格朗日中值定理,，即，又 ，所以当时，有.4、证明方程只有一个正实根.证明 存在性 令，在上连续,，据零点定理，至少存在一点，使得，即

3、方程至少有一实根.唯一性 用反证法，假设方程有两个实根且，则有，又在上连续，在内可导，根据罗尔定理知，至少存在一点，使得，即，矛盾.所以只有一个实根.综合知，方程只有一个正实根.4.2洛必达法则一、填空题1、；是型未定式.2、；是型未定式.3、；是型未定式.4、；是型未定式.5、；是型未定式.析： 二、单项选择题1、设为未定式，则存在是也存在的 (A) 条件.(A) 充分非必要 (B) 必要非充分 (C) 充要 (D) 既非充分也非必要2、求时，下列各种解法正确的是 (C) .(A) 用法洛必达则后，求得极限为零(B) 因为不存在，所以上述极限不存在(C) 原式(D) 因为不能用洛必达法则，所

4、以极限不存在3、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是 (C) .(A) (B) (C) (D) 三、用洛必达法则计算下列极限1、 .2、.或.3、 .4、,而 ，所以 .5、 .4.3 导数的应用（一） 函数的单调性一、单项选择题1、函数在内 (A) .(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不单调 (D) 不连续2、设，则的单调递减区间为 (A) .(A) (B) (C) (D) 二、求函数的单调区间.解 定义域，令，得，列表如下： 三、求函数的单调区间.解 定义域，,令，得，又为的不可导点，列表如下：四、利用单调性证明不等式1、时，.证明 令，则，所以在内单调递增，于是有，从而在内

5、单调递增，所以，即，亦即.2、时，.证明 令,则从而又有在内单调递增，所以，即 ，亦即.4.3 导数的应用（二） 函数的极值一、单项选择题1、若函数的极值点是，则必有 (D) .(A) (B)不存在 (C) (D)或不存在2、设，则是的 (D) .(A) 间断点 (B) 可导点 (C) 驻点 (D) 极值点3、设，则在处 (A) .(A) 必有极大值 (B) 必有极小值 (C) 没有极值 (D) 是否有极值不能确定析：,，即,在处取得极大值二、求函数的极值.解 定义域，令，得驻点，列表如下： 极大值点所以的极大值为,无极小值.三、求函数的极值.解 定义域，令，得驻点，列表如下：不存在不是极值点

6、间断极小值点所以的极小值为，无极大值.四、试求为何值时，函数在点处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出该极值.解 ，据题设知，即，.,从而，所以是的极大值点，极大值.4.3 导数的应用（三） 凸性与拐点一、单项选择题1、若在区间内，则在该区间内 (D) .(A) 单调减少，曲线是凹的 (B) 单调增加，曲线是凹的(C) 单调减少，曲线是凸的 (D) 单调增加，曲线是凸的2、若点是曲线的拐点，则 (B) .(A) (B) (C) (D) 3、曲线的拐点个数为 (C) .(A) (B) (C) (D) 4、曲线的图形在 (A) .(A) 内是凹的 (B) 内是凸的 (C) 内是凹的，内是凸的 (

7、D) 内是凸的，内是凹的5、设在处连续，又，则 (B) .(A) 是的极小值点 (B) 是的极大值点 (C) 是曲线的拐点 (D) 不是的极值点，也不是曲线的拐点二、求曲线的凹凸区间与拐点.解 定义域，令，得，列表得结论如下：拐点拐点三、已知曲线在点处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，试求的值，并写出该曲线的方程.解 ，由题设知，即 ，解得 ，所以曲线的方程为.4.3 导数的应用（四） 函数图形的描绘一、填空题1、曲线有条渐近线，其方程为.2、曲线的垂直渐近线为，斜渐近线为.3、曲线有斜渐近线.4、曲线有垂直渐近线，斜渐近线.5、曲线有条渐近线.析：，是水平渐近线； 是垂直渐近线.二、求函数的

8、单调区间与极值及此函数曲线的凹凸区间与拐点，并求其渐近线，作出函数的图形.解 定义域.令，得；令，得，无一阶导数和二阶导数不存在的点.列表得结论如下：极大值点拐点极大值，拐点.因为，所以为曲线的水平渐近线，曲线无垂直渐近线和斜渐近线.选取辅助点，做出函数的图形如下：无垂直渐近线和斜渐近线. 选取辅助点，做出函数的图形如下：4.4函数最大值与最小值及其在经济中的应用一、填空题1、在区间上的最大值为，最小值为.2、在区间上的最大值为，最小值为. 取得最大值的点为，取得最小值的点为.3、设在区间上的最大值为，最小值为，又，则，.析: (舍) ， ，最大值为，最小值为.二、单项选择题1、设，则是在上的

9、 (B) .(A) 极小值点，但不是最小值点 (B) 极小值点，也是最小值点(C) 极大值点，但不是最大值点 (D) 极大值点，也是最大值点2、设，则 (B) .(A) 一定是的最小值 (B) 一定是的极小值(C) 一定是的最大值 (D) 一定是的极大值3、设在某区间内可导且只有一个驻点，则 (C) .(A) 一定是的极值 (B) 一定不是的极值(C) 当是的极小值时，一定是在该区间上的最小值；当是的极大值时，一定是在该区间上的最大值 (D) 以上结论均不正确三、求函数在上的最大值和最小值.解 ，令，得，因为，所以在上的最大值为,最小值为.四、一商家销售某种商品的价格满足关系（万元/吨），其中为销售量，该商品的成本函数为（万元）.（1）若每销售一吨商品，政府要征税万元，求该商家获最大利润时的销售量；（2）为何值时，政府税收总额最大？解 (1) 设政府税收总额为，商品销售收入为，则，利润函数为 ；.令，得，又，所以当销售量为（吨）时，该商家可获得最大利润.(2) ，令，得，又，所以当为万元时，政府税收总额最大.五、某商品进价为（元/件），根据以往经验，当销售价为（元/件）时，销售量为件（均为正常数,且）.市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价.试问当销售价定为多少时，可获