线代期末考试题

1、河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷A一、选择题：（共20分，每小题2分）(一)、设为3阶方阵，且行列式，则（ ） A B C8 D（二）、已知均为阶矩阵，且，下列结论必然成立的是（ ）A. B. C. D. （三）、为矩阵，下列结论正确的是（ ）A.齐次线性方程组只有零解 B. 非齐次线性方程组有无穷多解 C. A中任一个阶子式均不等于零 D. A中任意个列向量必线性无关。（四）、设4阶方阵A的行列式0，则A中（）A必有一列元素为零 B必有一列向量是其余向量的线性组合C必有两列元素对应成比例 D任一列向量是其余列向量的线性组合（五）、已知都是可逆的对称矩阵，则不一定对称的矩阵是 （ ）.

2、. . . （六）、若向量组线性无关；线性相关，则（ ）A. 必可由线性表示 B.必不可由线性表示C. 必可由线性表示 D. 必不可由线性表示（七）、设都是非齐次线性方程组的解向量,若是导出组的解， 则k=( ). 0 . 1 . 2 . 3（八）、设向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，则向量组( )也是的一个基础解系。A. B. C. D. （九）、设是矩阵，是n阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则( ) A. B. C. D. 与的关系由而定(十)、是正定矩阵的充要条件是（ ）A. B. 负惯性指数为零 C. 存在n阶矩阵C，使 D. 各阶顺序主子式均为正数二、填空题：（共20分，每小

3、题2分）（一）、已知四元非齐次线性方程组，是它的三个解向量，其中，则对应齐次线性方程组的通解为_。（二）、设向量组线性无关，则常数满足_ _ 时，向量组线性无关。（三）、设为阶方阵，为阶方阵，已知，则行列式 。（四）、已知A为3阶方阵，A的两个特征值为3，6，并且A的迹为5，则 。（五）、有唯一解的充要条件是 。（六）、设，则向量与的内积为 。（七）、当满足 时，二次型是正定的。（八）、已知三维向量空间的基底为，则向量在此基底下的坐标是 。（九）、设矩阵其中均为四维列向量，已知行列式，则行列式 。（十）、已知向量组的秩为2，则t= 。三、计算题：（共45分）（一）、计算n阶行列式。（7分） （

4、二）、已知其中求矩阵。（8分）（三）、当为何值时，方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并求出其通解。（10分）（四）、求向量组 的秩及其极大无关组。（10分）（五）、设实对称矩阵求正交矩阵，使为对角矩阵。（10分）五、证明题：（共15分）（一）、设为矩阵，证明:若任一个维向量都是的解，则。（8分）（二）、已知A，B均为n阶方阵，并且，试证可逆，并求其逆矩阵。（7分）河北大学课程考核参考答案及评分标准 A 一、选择题（共20分，每小题2分）考察基础概念和理论(一) (五)、C C B B A （六） - (十)、C C D C D二、填空题：（共20分，每小题2分）考察基础概念和理论(一)、(为任

5、意常数)，(二)、，（三）、，（四）、，（五）、的列数，（六）、，（七）、，（八）、，（九）、，（十）、。三、计算题：（共45分）(一)、考察行列式的计算解： 3分 7分(二)、考察利用初等变换的方法解矩阵方程解：由由矩阵可逆，得 2分故利用初等行变换，将 4分所以。 6分所以。 8分（三）、考察非线性方程组有解的条件及用初等变换求方程组的解，在有无穷多解的情况下能求其通解解：2分（1）当时，方程组有唯一解。4分（2）当且时，方程组无解。6分（3）当且时，方程组有无穷多解。8分此时取为自由未知量， 令，得方程组的一个特解为。令或，得其对应导出组的基础解系为故，非齐次线性方程组的通解为，其中为任意常数。10分（四）、考察用初等变换的方法求向量组的极大无关组及秩解：以为列向量构造矩阵 2分利用初等行变换把化为行简化阶梯形矩阵，即 4分所以，（1）当时，向量组的秩为2，极大无关组为，7分（2）当时，向量组的秩为3，极大无关组为。10分 （五）、考察矩阵的特征值及特征向量的求解，矩阵的对角化，施密特正交化方法解：矩阵的特征方程为。 2分解得。 4分对由，解得基础解系。 6分对由，解得基础解系 8分由于正好正交，所以两两正交。再将单位化，得。故所求得正交矩阵且。10分五、证明题：（共15分）（一）、考察线性方程组的解的知识，及向量组等价的知识证明：由已知，任一维向量都是的解，可知也是齐次