等比数列的基本性质及其应用全面版

1、教学设计2.4.2等比数列的基本性质及其应用从容说课这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教学重点 1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点 渗透重要的数学思想.教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性

2、质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的

3、分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师 教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生 由学习小组汇报探究结果.师 对各组的汇报给予评价.师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列an的前k项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,.令bi=ak+i,i=1,2,则数列a k+1,ak+2,可视为b1,b2，.因为 (i1),所以，bn是等比数列，即a k+1，ak+2,是等比数列.(2)an中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a 11,a 21，

4、,则 (k1).所以数列a1,a 11,a21,是以a1为首项，q10为公比的等比数列.猜想：在数列an中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、qm为公比的等比数列.本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.第4题解答：(1)设an的公比是q，则a52=(a1q4)2=a12q8,而a3a7=a1q2a1q6=a12q8,所以a52=a3a7.同理,a52=a1a9.(2)用上面的方法不难证明an2=a n-1a n+1(n1).由此得出，an是a n-1和a n+1的等比中

5、项，同理可证an2=a n-kan+k(nk0).an是an-k和an+k的等比中项(nk0).师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课合作探究师 出示投影胶片1例题1(教材P61B组第3题)就任一等差数列an，计算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列an”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生 用等差数列1，2，3，师 很好，这个数列最便于

6、计算，那么发现了什么样的一般规律呢？生 在等差数列an中，若k+s=p+q(k,s,p,qN *)，则ak+as=ap+aq.师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？生 思考、讨论、交流.师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.教师精讲师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列an的图象，可以看出,根据等式的性质，有.所以ak+as=ap+aq.师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列an，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,tN*)，则akas=apat.师 让学生给出上述猜想的证明.证明：设等比数列an公比

7、为q，则有aka s=a1qk-1a1qs-1=a12qk+s-2,apat=a1q p-1a1qt-1=a12qp+t-2.因为k+s=p+t,所以有akas=apat.师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.即等比数列an中，若k+s=p+t(k,s,p,tN*)，则有akas=apat.师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情形；结论(2)就是上述性质

8、中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.师 上述性质有着广泛的应用.师 出示投影胶片2：例题2例题2（1）在等比数列an中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18;（2）在等比数列bn中，b4=3,求该数列前七项之积；（3）在等比数列an中，a2=-2,a5=54,求a8.例题2三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程.解答：(1)在等比数列an中，已知a1=5，a9a10=100，求a 18.解：a1a 18=a9a 10，a 18= =20.(2)在等比数列bn中，b4=3，求该数列前

9、七项之积.解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b42=b1b7=b2b6=b3b5，前七项之积(32)33=37=2 187.(3)在等比数列an中，a2=-2，a5=54，求a8.解：.a5是a2与a8的等比中项，542=a8(-2).a8=-1 458.另解：a8=a5q3=a5=-1 458.合作探究师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.例题3：已知anbn是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.anbnanbn判断anbn是否是等比数列例-52n-1是自选1自

10、选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果an、bn是两个项数相同的等比数列，那么anbn也是等比数列.证明如下：设数列an的公比是p，bn公比是q，那么数列anbn的第n项与第n1项分别为a1p n-1b1qn-1与a1pnb1qn，因为,它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以pq为公比的等比数列.教师精讲除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：证法二：设数列an的公比是p，bn公比是q，那么数列anbn的第n项、第n-1项与第n1项(n1,nN *)分别为a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2与a1p

11、nb1qn，因为(anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),(a n-1bn-1)(a n+1bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),即有(anbn)2=(a n-1bn-1)(a n+1bn+1)(n1,nN *),所以anbn是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列an的公比是p，bn公比是q，那么数列anbn的通项公式为anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1,设cn=anbn,则cn=(a1b1)(pq) n

12、-1,所以anbn是一个等比数列.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3习题详解（课本第60页习题2.4）A组1.(1)a7=a4q3=27(-3)3=-729.(2)设等比数列an的公比是q(q0),，整理得6q2-15q+6=0,解方程得q=2或.由a4-a2=6，得a3(q-q-1)=6,所以，当q=2时，由得，a3=4当时，由得a3=-4.2.设n年后，需退耕an，则an是一个等比数列，其中a1=8,q=0.1.那么2005年需退耕a5=a1

13、(1+q)5=8(1+0.1)5=13(万公顷).3.若an是各项均为正数的等比数列，则首项a1和公比q都是正数，由an=a1q n-1，得，所以数列an是以a1为首项，为公比的等比数列.4.这张报纸的厚度为0.05 mm，对折一次后厚度为0.052 mm，再对折后厚度为0.0522mm，再对折后厚度为0.0523 mm，设a0=0.05，对折n次后报纸的厚度为an，则an是一个等比数列，公比q=2，对折50次后，报纸的厚度为a 50=a0q50=0.052505.631013=5.631010 (m).这时报纸的厚度已经超过地球和月球之间的平均距离(约3.84108 m)，所以能够在地球和月

14、球之间建一座桥.5.设年平均增长率为q，a1105，n年后空气质量为良的天数为an，则an是一个等比数列，由a3=240，得a3=a1(1+q)2=105(1+q)2=240,解得q= -10.51.6.由已知条件，知,G=，且0，所以有AG，等号成立的条件是a=b.而a,b是互异正数，所以一定有A G.7.(1)2(2)ab(a2+b2)8.略B组1.证明略2.(1)设生物死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为q，n年后的残留量为an，则an是一个等比数列，由碳14的半衰期为5 730，则an=a1q 5 730=q 5 730=，解得0.999 879.(2)设动物约在距

15、今n年前死亡，由an=0.6，得an=a1qn=0.999 879n=0.6,解得n4 221，所以动物约在距今4 221年前死亡.3.略备课资料备用例题1.已知无穷数列, , ,.求证：(1)这个数列成等比数列；(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的；(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.证明：(1) (常数)，该数列成等比数列.(2),即：.(3)apaq=，p,qN，p+q2.p+q-11且(p+q-1)N. (第p+q-1项).2.设a,b,c,d均为非零实数，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,求证：a,b,c成等比数列且公比为d.证法一：关于d的二次方程(

16、a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0有实根，=4b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)0.-4(b2-ac)20.-(b2-ac)20.则必有：b2-ac=0，即b2=ac，a,b,c成等比数列.设公比为q，则b=aq,c=aq2代入(a2+a2q2)d2-2aq(a+aq2)d+a2q2+a2q4=0.(q2+1)a20，d2-2qd+q2=0，即d=q0.证法二：(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,(a2d2-2abd+b2)+(b2d2-2bcd+c2)=0.(ad-b)2+(bd-c)2=0.ad=b，且bd=c.a,b,c,d非零，d.a,b

17、,c成等比数列且公比为d.你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。 （舞低杨柳楼心月 歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。 你必得一个人和日月星辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择

18、，尽量不留下后悔而已。看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后，大家焦虑地等待，却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月亮的夜晚，世界变得清冷幽寂但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。 灼灼其华，非我桃花。苍苍蒹葭，覆我其霜。芦荻不美，桃花艳妖。知我怜我，始觉爱呵。只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独，寂静，在两条

19、竹篱笆之中，篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。 一袭粉色拖地蝶园纱裙，长发垂至脚踝，青丝随风舞动。眸若点漆，水灵动人，冰肤莹彻，气质脱俗，眼波转动间却暗藏睿智锋芒。淡雅如仙，迎风而立的她，宛若来自天堂的。暖有时候猛烈地指责别人说谎，其实是太渴望那消息真实。 原来时间也会失误和出现意外，并因此迸裂，在某个房间里留下永恒的片段。尘世里，总有些什么，让我们不自觉地微笑，使我们的坚硬，在一瞬间变得柔软。婴儿的梦呓，幼童的稚语，夕阳下相互搀扶的老人.那天黄昏，紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。余晖变幻着色调，嫣红、水红、玫瑰红，转瞬便消失在天涯尽头；草原被铅灰色的暮霭垄断了，苍

20、茫沉静。 孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。 原来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。能忘掉结果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄昏。风。无垠的旷野。一棵树。-就那么一棵树，孤零零的。风吹动它的每一片叶子，每一片叶子，都在骨头里作响。天高路远，是永不能抵达的摸样. 孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影的地方，必定有光 最好的时光，是经由记忆粉饰的过往。我们会不由自主地忘记伤痛，欢天喜地地投向下一个天国。过往的人事，在前行的途中偶尔显身于记忆，又不可挽留地悄然远去。谁也阻止不了忘记的步伐每一次的离别都在夏天，明明是最火热的季节，却承

21、载着最盛大的离别。睡着你的秘密，醒着你的自由。它的篱笆结实而疏朗，有清风徐徐穿过。人生有很多选择，一个选择又决定下个选择，所以，选择的时候只要是自己内心所想的，也值了，怕的就是，明明不愿意，又不得不选择。人生最遗憾的，莫过于轻易地放弃了不该放弃的，固执地坚持了不该坚持的 早春二月，乍暖还寒的时候，鹅黄隐约，新绿悄绽，昭示着生命的勃勃，那是旭日般的青春；阳春三月，杏花春雨时节，桃红柳绿，柔风扶雨，飘扬着自然的伟力，那是如火的中年；晚春四月，芳菲渐尽之际，远山幽径，柳暗花明，辉煌着黄昏的执著，这是晚晴的暮年人都说顺其自然，其实一点都不是，而是实在别无选择的选择。 有个地方，名为汴梁，那年桃花肆意，

22、旧年，桃花消散在汴梁。桃花十八年，繁华再现，桃花盛开三千夜，只需花颜亦墨离。那个汴梁有个童谣：桃花屋外飞满天，桃花谷里醉缠绵。桃花屋内冷桃茶，夭夭桃花葬桃恋。问桃花十八为几年，不谈墨离负花颜，江河暗流痴情魂，温柔十里桃花人。竹马青梅，亦是无猜，满眼繁花，只为那十八年的傻傻等候，公子俊秀，书画幔纱，唯有流逝一瞬，继过千年。1、起地你出小起时，我们手牵手，看过声地你一棵树的叶子，闻过声地你一朵花香。夏日如格成我实每我们一实每吃孩把发一冰激凌一实每在绿茵道上玩会也嬉闹。我们不实把发一零食和啤酒，坐在广时说的大草作把上看电影。冬日午实每好如我躺在在作腿上晒把发一太阳的慵懒时光我躺在在作怀如格成我实每，

23、风着一格光透格成我就为吃孩风着一格玻璃窗，温暖一格那他的开清亮。实每好如来作把图上几公分的距离，成了我们那他也也天过却法跨越的海角开天觉涯。 小小的白纸上记录着我们的曾经虽然有的时候真的相信的未必开花结果可是那本子里记录的快乐与我们的青春与泪水与那时的我们，还谈论着自己的青春、年少与梦想记得那一年你的离开我在夜里痛哭了一场那天，你的作文被贴在最显眼的地方当我们蜂拥来到你的作文旁却只得到你要走了的消息可你却不彻底磨灭我们的希望你说过你会回来我相信你所以我就傻傻的等着一年又一年，就这样两年时光飞逝正当我要忘记你时，你回来了那时我真的很高兴好像冲上讲台，拥抱一下你问问你，这几年过得好吗本上的荷花提醒着我们要出淤泥而不染更要濯清涟而不妖是你让我懂得了友情的可贵我们一定会再见的“你想要我追那只风筝给你吗?”他的喉结吞咽着上下蠕动。风掠起他的头发。我想我看到他点头“为你，千千