函数与方程教案

1、函数与方程教案第四章：函数应用1:函数与方程教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识,使新知识与原有知识形成联系。教学目标：、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念。复习引入：同学们好,今天我们来进行第四章函数应用的学习，

2、这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程:axb(a0) 这是一个一元一次方程,我们能很容易求出方程的解是x=.+bx+c=(a0) 这是一个一元二次方程,在对一元二次方程求解时我们会先用判别式-4来判断方程是否有实解。当时，一元二次方程有两个不相等的实数根,xx;当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根，x=x；当0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时,我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根:x=。x4x+2x=0 我们知道这是一个一元五次方程,对于这样一个高次方程大家会不会求解?能不能知道这

3、个方程是否有解？下面我们就来学习怎样判断一个给定方程的解是否存在的问题?(写标题).1利用函数性质判定方程解的存在一、 例：给出三个方程:x-23=0; x2+1=0 ；-2x+3=0分析:这三个都是简单的一元二次方程,我们可以通过判别式来判断方程是否有解,若有解,也能很容易的求出。解:0 x=3，=-；对应函数:(x） x-=0 x= 1;对应函数:f(x) = x-2x+10 无实解;对应函数：(x) x-+3图像：提问：观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系?总结：一元二次方程的根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。一元二次方程根的个数与对应函数图像与x轴交点的个数相等。对于函

4、数图像与x轴的交点，我们来学习一个新的数学名词函数零点。二、 函数零点1 概念:我们把函数y(x）的图像与横轴交点的横坐标称为这个 函数的零点。说明：零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。零点是一个实数,并不是一个点。函数的零点就是相应方程的根。函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。学习过零点概念及以上4点说明,我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。2 判断零点的方法：方程（x）=0有实根函数=(x)的图像与x轴有交点函数f(x）有零点。可得出:方程f（x)的实根与函数y=(x)的零点是一一对应的。那如果所给的函数

5、的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？观察例中第一个方程的对应图像:(x） =x-2-3从图像上看，我们知道函数f() = x-x-3有两个零点:-1,.而能找到区间-2,0使零点-1在-2，0内,区间2,4使零点在,4内。且有f(-2)=50,f(0)-30,f()()0； （2）=-30,f(2)f(4)0；当x=-1时，(1)=-4-2+=-0 (0）f(-1）则函数f(x) = x+4x+x+2x+1在区间（-1,0）内至少有一个零点,即方程在（-1,0）内至少有一个实数解。三、 举例:例2：已知函数f（x）=-，问:方程f(x)=在区间-，0内有没

6、有实数解?分析:问方程在区间内有没有实数解，意味着什么？即要判断相应函数在这个区间-，0内有没有零点,由零点存在性定理，我们只需验证(）f（-1）是否小于0。解：(-)=-(- 1)-1-, (0) 3-（0）=,f（0)()0而函数f() =3-x的图像是连续曲线，(x) 在区间-1,0内有零点,即方程f(x)0在区间-1,0内有实数解。例3:判定方程(x-2)(-5)1有两个相异的实数解,且一个大于5，一个小于2。分析：转化判断函数f（x) =(x-2）(x-5)1在区间(-,2)和（, ） 内各有一个零点。解：考虑函数(x） =(x2)(x-5）-1，有f（) =(2-2)(2-5)1-1,（5) （-2)(-5）-=-0,又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在（，2）内存在一点，使f（）0;在（5,+)内存在一点b,使f（),所以抛物线与横轴在(a，）内有一个交点，在（5, b)内也有一个交点,而该交点即是方程的解。所以方程（x-2)（x-5）=有两个相异的实数解,且一个大于5，一个小于2。四、 零点存在性定理说：“若f(a）（b)0，则在区间（a,）内，函数y=f()至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a,b)内至少有一个实数解”,它只指出了方程()=实数解的存在,并不能判断具体有多少个实数解。那改为f（a)(b)0时,问题:如果函数y