整式综合提高

1、暑假专题整式综合提升【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 认真思考运算性质、法则、公式的形成过程，做到深刻理解，切实掌握. 2. 在解题实践中逐步学习使用数学思想方法.【知识掌握】【知识点精析】一、认真思考运算性质、法则、公式的形成过程，做到深刻理解，切实掌握. 例如多项式乘以多项式的法则，从几何上求具体矩形面积入手；再从代数上使用代换思想转化为多项式乘以多项式，得到相同的结果.这样，在计算时，就会掌握“有序”、“不重”、“不偏”. 与上面法则直接相关的就是完全平方公式；利用多项式乘以多项式的乘法法则，结合几何模型，在理解、记忆的基础上就能导出两数差的平方公式.最后达到对公式要会“三用”：

2、“顺用”（展开）、“逆用”（把二次三项式写成完全平方式）和“变用”（配成完全平方）.二、在解题实践中逐步学习使用数学思想方法. 1. 转化思想 转化就是把不熟悉的问题化为熟悉的问题，把不规范的问题化为规范的问题，把复杂问题化为简单问题.例如，多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式，单项式除以单项式可转化为同底数幂的除法；在因式分解中，分组分解法就是为了把问题转化为用提公因式法、公式法或十字相乘法. 换元法是转化的一条途径，也是转化的一种思想.例如，要能使用换元的思想把一个式子看作一个字母，从而能够广泛地应用因式分解方法解决问题；要能够把一个数看作一个字母，以便能应用乘法公式或因式分解的方法快

3、速、简便地解决问题.总来说之，掌握这种思想，能扩大公式、法则的使用范围，以便灵活使用它们解决问题. 恒等变形也是转化的一种方法.恒等变形是在数学解题中把一种数学对象“恒等”地变成所需要的形式，例如，去括号、添括号、整式加减法、整式乘除法、因式分解、配方等都是恒等变形.恒等变形的作用一是化简，二是定向变形.恒等变形也是一种重要的数学水平，必须在解题实践中，通过一定的训练、总结，才能达到熟练和敏锐的水准.【解题方法指导】 例1. 求值：（1）已知：，求的值.（2）已知：，求的值.分析：本题没有给出已知字母的值，应先将原式变形，再回过头来看已知的关系式应如何变形.解：（1）由已知，得原式（2）原式

4、而由已知，得原式 点评：本例两个小题都是在给出条件的情况下求代数式的值的问题.但是两个小题的难度是逐渐增大的.第（1）题考查综合观察和分析的水平：把所给已知条件（整式）变形后，得到一个较简单的整式，然后再把原式变形“挂靠”到已知的整式.第（2）题则是既考查综合观察和分析水平，又考查恒等变形的水平：首先应敏锐地看到已知条件虽然x、y、z各自孤立，但都与a有联系，消去a就建立了x、y、z的两两差的关系；由此启发把原式变形成x、y、z两两差的代数式，加上观察原式的结构，采用“乘以2又除以2”的特殊手法，将原式实行配方（注意：这是一个重要的手段！），也是有目的地化简，立即求得原式的值.建议同学们仔细体

5、会这两个小题的结构特点、解题方法，因为这些方法在将来解题时很有用处.【考点突破】【考点指要】 整式的概念和运算、乘法公式、因式分解在中考说明中是C级知识点，它常与分式、根式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有48分左右.解决这类问题需熟练掌握整式的概念和运算法则，熟练掌握乘法公式，明确因式分解的概念，并能灵活本讲知识解决相关问题.【典型例题分析】 例1. （2006年江苏省中考题）已知：，其中a1.（1）求证：；（2）试比较A、B、C三者之间的大小关系，并说明理由.解：（1）（2分）.（4分）（2） ，.，即AC. （6分） ，.即CB. （8分）由，得. （9分

6、） 例2. （2006年安徽省中考题）老师在黑板上写出有三个算式：，王华接着又写出两个具有同样规律的算式： （1）请你再写出两个（不同于上面的算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的准确性.解：（1）写出两个准确的算式.（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数.（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示为和，则，当m，n同是奇数或偶数时，一定为偶数，所以一定是8的倍数.当m，n一奇一偶时，则一定为偶数，所以一定是8的倍数.所以，任意两奇数的平方差是8的倍数.说明：规律说成是“两奇数的平方差是4的倍数”，且证明准确，给8分. 例3. （2001年中考

7、题）选择题：下列多项式中，不是完全平方式的是（ ）A. B. C. D. 分析：完全平方公式展开式的特点是：都是三项式；其中两项是这两个数的平方和；第三项是这两个数乘积的2倍，前面数上加号或减号.显然不是完全平方式.故选B. 例4. （2001年中考题）选择题：多项式分解因式的结果是，则m：n的值是（ ）A. B. C. D. 解法1：，取，.故选D.解法2：由，得，比较等式两边同次项的系数，得，即.点评：解法1是抓住完全平方公式的特点：“中间项”是第一、二两数乘积的2倍，即，所以分析出：既然第一数为x，则第二数必然是，即，于是.解法2是把完全平方公式展开，用待定系数法.这两个解法的思考方向是

8、互逆的：前者是“配方”（收拢），后者是“展开”（放开）.例5. 一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称a为完全平方数，如，36就是一个完全平方数.若，求证：a是一个完全平方数.分析：要证明a是一个完全平方数，只须证明（b是正整数），也就是要证明，由前面例题的“数字用字母代换”方法，可通过设，把数字式子化成关于x的代数式的平方，甚至能够预测要用到配方法.证明：设，则，于是a是一个完全平方数. 例6. 若实数x满足，则_. 分析：先由已知式求出x的值，再代入原式求值. 解：由，得，.即.x是实数，从而，即.原式. 例7. 求证：31302928+1是一个完全平方数. 分析：把数字用字母代换

9、，变原数为多项式，使用因式分解或配方法变成完全平方式. 证明：设k=30，则 31302928+1是一个完全平方数. 例8. （天津市初中生数学竞赛题）选择题：设，则下列各数中一定不是某个自然数的平方的是（ ）A. B. C. D. 分析：A. 当n=2时，C. 当n=3时，D. 当n=3时，选B.点评：因为数学考试的选择题（除去有特别说明的）都是四选一型，即在所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，所以只需排除不符合要求的选项，就能够确定符合要求的选项. 例9. 代数式的最小值是多少？当这个代数式取得最小值时，a和b要满足什么条件？ 分析：所给代数式可变形为，注意. 解：. 是非负

10、数， 不论a、b取什么有理数，总有. 又如果ab，那么. 只有当，即a=b时，/ 即取到最小值，最小值为10. 所以，代数式的最小值为10.当这个代数式取得最小值时，a和b要满足的条件是a=b. 代数式的最小值是多少？当这代数式取到最小值时，a和b要满足什么条件？ 略解： . 只有当，即a=b时，. 当取到最大值2时，a=b. 所以，当取到最小值时，.【模拟试题】一、选择题： 1. （2006年沈阳市中考题）下列运算中，准确的是（ ） A. B. C. D. 2. （2006年呼和浩特市中考题）下列运算中，准确的是（ ） A. B. C. D. 3. （2002年河北省中考题）在下列计算中，准

11、确的是（ ） A. B. C. D. 4. （2001年湖北省武汉市中考题）下列计算中，准确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 1. 已知：_. 2. 已知，则_. 3. _. 4. _. 5. （海南省）今年市场上荔枝的价格比去年便宜了5%，去年的价格是每千克m元，则今年的价格是每千克_元.三、计算题： 1. 2. 四、将下列各式分解因式： 1. 2. 五、解方程：六、三角形的边长为a、b、c，且满足，判断三角形的形状，并说明理由.七、求证：四个连续整数的积加上1，一定是一个奇数的平方.八、考查下列式子，归纳规律并填空._（n1且为整数）九、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设

12、如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子多少枚（用含有n的代数式表示）十、某校师生到天安门广场观看升国旗仪式，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车则能够少租一辆且余30个空座位. （1）求该校到天安门广场观看升国旗仪式的人数.（2）已知45座客车租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次活动同时租用了这两种客车，其中60座客车比45座客车多租一辆，所以租金比单独租用一种客车要省，按这种方案，需要租金多少元？试题答案】一、选择题： 1. D 2. D 3. D 4. B二、填空题： 1. 2. 3. 4. 5. 95%m三、计算题： 1. 原式 2. 设，则 四、1. 原式 2. 原式 五、 六、三角形为等边三角形 此三角形为等边三角形七、证明：设四个连续整数为n，n+1，n+2，n+3， 当n为偶数时，为奇数 当n为奇数时，也为奇数 四个连续整数的积加上1，一定是一个奇数的平方.八、九、解：十、解：（1）设单独租用45座客车为x辆（人）答：该校到天安门广场观看升国旗仪式的人数有270人.（2）设租用60座客车为y辆（元）答：按该方案，需要租金1400元.【励志故事】远山苏格拉底和拉克苏相约，到很远很远的地方去游览一座大山。据说，那里风景如画，人们到了那里，会产生一种飘飘欲仙的感觉。很多年以后，两人相遇了