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文档简介

1、直线与圆经典题型题型一:对称性求最值例题:已知点M(3,5),在直线l:x2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使MPQ的周长最小解:由点M(3,5)及直线l,可求得点M关于l的对称点M1(5,1)同样容易求得点M关于y轴的对称点M2(3,5)据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y7=0得交点P(,)令x=0,得到M1M2与y轴的交点Q(0,)解方程组x+2y7=0,x2y+2=0,故点P(,)、Q(0,)即为所求题型二:反射光线问题已知光线经过已知直线l1:3xy+7=0和l2:2x+y+3=0的交点M,且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标;

2、(2)求反射光线所在的直线l3的方程(3)求与l3距离为的直线方程【分析】(1)联立方程组,求出M的坐标,从而求出P的坐标即可;(2)法一:求出直线的斜率,从而求出直线方程即可;法二:求出直线PN的方程,根据对称性求出直线方程即可;(3)设出与l3平行的直线方程,根据平行线的距离公式求出即可【解答】解:(1)由得,M(2,1)所以点M关于x轴的对称点P的坐标(2,1) (4分)(2)因为入射角等于反射角,所以1=2直线MN的倾斜角为,则直线l3的斜斜角为180.,所以直线l3的斜率故反射光线所在的直线l3的方程为:即(9分)解法二:因为入射角等于反射角,所以1=2根据对称性1=3,2=3所以反

3、射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程直线PN的方程为:,整理得:故反射光线所在的直线l3的方程为(9分)(3)设与l3平行的直线为,根据两平行线之间的距离公式得:,解得b=3,或,所以与l3为:,或(13分)题型三:直线恒过点问题已知直线方程为(2+m)x+(12m)y+43m=0()证明:直线恒过定点M;()若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求AOB面积的最小值及此时直线的方程【分析】()直线方程按m集项,方程恒成立,得到方程组,求出点的坐标,即可证明:直线恒过定点M;()若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,说明直线的斜率小于0,设出斜率根据直线过的定点,写出直

4、线方程,求出AOB面积的表达式,利用基本不等式求出面积的最小值,即可得到面积最小值的直线的方程【解答】()证明:(2+m)x+(12m)y+43m=0化为(x2y3)m=2xy4(3分)得直线必过定点(1,2)(6分)()解:设直线的斜率为k(k0),则其方程为y+2=k(x+1),OA=|1|,OB=|k2|,(8分)SAOB=OAOB=|(1)(k2)|=|.(10分)k0,k0,SAOB=4+()+(k)4当且仅当=k,即k=2时取等号(13分)AOB的面积最小值是4,(14分)直线的方程为y+2=2(x+1),即y+2x+4=0(15分)2.已知直线l的方程为2x+(1+m)y+2m=

5、0,mR,点P的坐标为(1,0)(1)求证:直线l恒过定点,并求出定点坐标;(2)求点P到直线l的距离的最大值【分析】(1)把直线方程变形得,2x+y+m(y+2)=0,联立方程组,求得方程组的解即为直线l恒过的定点(2)设点P在直线l上的射影为点M,由题意可得|PM|PQ|,再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】(1)证明:由2x+(1+m)y+2m=0,得2x+y+m(y+2)=0,直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q,解方程组,得Q(1,2),直线l恒过定点,且定点为Q(1,2)(2)解:设点P在直线l上的射影为点M,则|PM|PQ|,当且仅当直线l与P

6、Q垂直时,等号成立,点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度,等于 =2题型四:动直线问题已知点A(1,2)、B(5,1),(1)若A,B两点到直线l的距离都为2,求直线l的方程;(2)若A,B两点到直线l的距离都为m(m0),试根据m的取值讨论直线l存在的条数,不需写出直线方程【分析】(1)要分为两类来研究,一类是直线L与点A(1,2)和点B(5,1)两点的连线平行,一类是线L过两点A(1,2)和点B(5,1)中点,分类解出直线的方程即可;(2)根据A,B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较,得到满足条件的直线【解答】解:|AB|=5,|AB|2,A与B可能在直线l的同侧

7、,也可能直线l过线段AB中点,当直线l平行直线AB时:kAB=,可设直线l的方程为y=x+b依题意得:=2,解得:b=或b=,故直线l的方程为:3x+4y1=0或3+4y21=0;当直线l过线段AB中点时:AB的中点为(3,),可设直线l的方程为y=k(x3)依题意得:=2,解得:k=,故直线l的方程为:x2y=0;(2)A,B两点到直线l的距离都为m(m0),AB平行的直线,满足题意得一定有2条,经过AB中点的直线,若2m|AB|,则有2条;若2m=|AB|,则有1条;若2m|AB|,则有0条,|AB|=5,综上:当m2.5时,有4条直线符合题意;当m=2.5时,有3条直线符合题意;当m2.

8、5时,有2条直线符合题意题型五:斜率取值范围已知点A(1,1),B(2,2),直线l过点P(1,1)且与线段AB始终有交点,则直线l的斜率k的取值范围为k3,或k1【分析】由题意画出图形,数形结合得答案【解答】解:如图,A(1,1),B(2,2),直线l过点P(1,1),又,直线l的斜率k的取值范围为k3,或k1故答案为:k3,或k1题型六:对称问题已知直线l:y=3x+3求(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标;(2)直线y=x2关于l对称的直线的方程【分析】(1)设点P(4,5)关于直线y=3x+3对称点P的坐标为(m,n),得到关于m,n的方程组,求得m、n的值,可得P的坐标;(2)求出

9、交点坐标,在直线y=x2上任取点(2,0),得到对称点坐标,求出直线方程即可【解答】解:(1)设点P(4,5)关于直线y=3x+3对称点P的坐标为(m,n),则由 ,求得m=2,n=7,故P(2,7)(2)由,解得:交点为,在直线y=x2上任取点(2,0),得到对称点为,所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0题型七:截线段长问题已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l1;x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线l的方程【分析】法一如图,若直线l的斜率不存在,直线l的斜率存在,利用点斜式方程,分别与l1、l2联立,求得两交点A、B的坐标(用k表示),再利用|AB|

10、=5可求出k的值,从而求得l的方程法二:求出平行线之间的距离,结合|AB|=5,设直线l与直线l1的夹角为,求出直线l的倾斜角为0或90,然后得到直线方程就是用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解法三:设直线l1、l2与l分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则通过求出y1y2,x1x2的值确定直线l的斜率(或倾斜角),从而求得直线l的方程【解答】解:解法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1、l2的交点分别为A(3,4)或B(3,9),截得的线段AB的长|AB|=|4+9|=5,符合题意若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x3)+1解方程组得A(,)解方程组得B(,)由|AB|=5得()2+(+)2=52解之,得k=0,直线方程为y=1综上可知,所求l的方程为x=3或y=1题型八:直线夹角问题已知直线l:5x+2y+3=0,直线l经过点P(2,1)

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