函数奇偶性的六类经典题型

1、 奇偶性 类型一：判断奇偶性例1 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且 奇函数（2），关于原点对称 奇函数 （3），关于原点对称 既奇又偶（4）考虑特殊情况验证： ；无意义； 非奇非偶（5）且，关于原点对称 为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)f(x)(1)，即x0时，x0的x的集合为_解析：由奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f 0，得函数yf(x)在(，0)上递增，且f 0，f(x)0时，x或x0的x的集合为.答案：3.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)，

2、则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)解析：选D设x0，则x0.x0)，f(x)其图象如图所示由图象知，函数f(x)在R上是增函数f(2x2)f(x)，2x2x，即2x1.所以实数x的取值范围是(2,1)4.定义在R上的奇函数f(x)，当x(0，)时，f(x)log2x，则不等式f(x)1的解集是_解析：当x0时，x0，f(x)f(x)log2(x)，f(x)f(x)1或或0x或x2.5.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x23x2.若当x1，3时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A. B2C. D解析：选A.设x0，则x0，所以

3、f(x)f(x)(x)23(x)2x23x2.所以在1，3上，当x时，f(x)max；当x3时，f(x)min2.所以m且n2.故mn.6.已知f(x)是定义在2,2上的奇函数，且当x(0,2时，f(x)2x1，又已知函数g(x)x22xm.如果对于任意的x12,2，都存在x22,2，使得g(x2)f(x1)，那么实数m的取值范围是_解析由题意知，当x2,2时，f(x)的值域为3,3因为对任意的x12,2，都存在x22,2，使得g(x2)f(x1)，所以此时g(x2)的值域要包含3,3又因为g(x)maxg(2)，g(x)ming(1)，所以g(1)3且g(2)3，解得5m2.类型五：奇偶性+

4、周期性1.f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x2)f(x)，当x(0,1)时，f(x)2x2，则f(6)的值等于()A B C. D解析：f(6)f(6)f(log26)f(log262)(2log2622)，故选C.2. 定义在R上的偶函数f(x)满足对任意xR，都有f(x8)f(x)f(4)，且x0,4时，f(x)4x，则f(2 011)的值为_解析：f(4)0，f(x8)f(x)，T8，f(2 011)f(3)431.类型六：求值1.已知函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数，当x(0,2)时，f(x)2x1，则f的值为()A2 B C2 D.1解析：当x(2,0)时，x(0,2)

5、，又当x(0,2)时，f(x)2x1，f(x)2x1，又因为函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数，f(x)f(x)2x1，x(2,0)时，f(x)1.2log20，f(log2)12.故选A.答案：A2.已知f(x)为奇函数，g(x)f(x)9，g(2)3，则f(2)_.解析：根据已知g(2)f(2)9，即3f(2)9，即f(2)6.答案：63.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)xex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为_由f(x)是奇函数得f(ln 6)f(ln 6)(ln 6)eln 6ln 6.答案：ln 64.已知函数存在最大值M和最小值N, 则MN的值为_5.设函数，若函数的最大值是M，最小值是m，则_.分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对求导.事实上，理科学生，求导得，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因此，须从考察函数的性质下手，事实上，令，易求得，所以是奇函数，所以的最大值与最小值之和是0，从而的最大值与最小值之和是6. 答案是：6.6.已知定义