高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换学案（含解析）新人教A版必修4

1、32 简单的三角恒等变换导入新知半角公式化解疑难对半角公式的理解(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos 的值及相应的条件，sin，cos，tan便可求出(3)由于tan及tan不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2，cos2.求值问题例1已知sin ，求sin，cos，tan的值解，sin ，cos ，且，sin ，cos ，tan2.类题通法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：

2、(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值活学活用已知sincos，450540，求tan的值答案：2三角函数式的化简例2化简：(180360)解原式.又180360，90180，cos0，原式cos .类题通法化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆角、凑角等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等活学活

3、用化简：(1)；(2)2cos()答案：(1)2sin(2)三角恒等式的证明例3证明：(1)sin (1cos 2)sin 2cos ；(2).证明(1)左边sin 2cos2(2sin cos )cos sin 2cos 右边原等式成立(2)右边，分子、分母同除以cos cos ，得右边左边原等式成立类题通法盘点三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，化异求同；(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”；(5)分析法：从被

4、证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立活学活用求证：.证明：左边右边原等式成立典例(12分)如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值解题流程规范解答如图，连接AP，设PAB，延长RP交AB于M，则AM90cos ，MP90sin .(2分)所以PQMB10090cos ，PRMRMP10090sin .(4分)所以S矩形PQ

5、CRPQPR(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .(7分)令tsin cos (1t)，则sin cos ，(8分)所以S矩形PQCR10 0009 000t8 1002950.(10分)故当t时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t时，S矩形PQCR有最大值(14 0509 000)m2.(12分)名师批注矩形PQCR的面积取决于P点位置，而P点的位置取决于的大小，因此应考虑利用表示PQ，PR的大小，对于AM及PM的值可实现此转化.在解题过程中常发生不知如何作辅助线进行转化，导致无法后续解题的情况.采用换元法实现

6、了sin cos 与sin cos 间的转化，从而将问题转化为熟知的一元二次函数，但要注意换元后的定义域此处易忽视t的取值范围而导致答案错误. 活学活用有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？解：如图所示，设AOB，则ABasin ，OAacos .设矩形ABCD的面积为S，则S2OAAB，即S2acos asin a22sin cos a2sin 2.，2(0，)，当2，即时，Smaxa2，此时，A，D距

7、离O点都为a时，矩形ABCD的面积最大随堂即时演练1已知cos ，3，那么sin 等于()A.BC. D答案：D2化简的结果是()Acos 1 Bcos 1C.cos 1 Dcos 1答案：C3设5bc BabcCacb Dbca答案：C4化简22sin2得()A2sin B2sinC2 D2sin答案：C5设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递减Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递增答案：A二、填空题6若cos 2cos 0，则sin 2sin _.答案：0或7等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余

8、弦值为_答案：或8在ABC中，若cos A，则sin2cos 2A等于_答案：三、解答题9若，化简 .解：，cos0.原式cos.10点P在直径AB1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT1，PAB，问为何值时，四边形ABTP面积最大？解：如图所示，AB为直径，APB90，AB1，PAcos ，PBsin .又PT切圆于P点，TPBPAB，S四边形ABTPSPABSTPBPAPBPTPBsin sin cos sin2sin 2(1cos 2)(sin 2cos 2)sin(2).0，2，当2，即时，S四边形ABTP最大11设函数f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xR)的图象关于直线x对称其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域解：(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xs