数学：研究性学习-欧拉定理

1、高二数学研究性学习案例作者姓名 唐万成任职单位宜昌市外国语学校学科数学年级高二单元标题 欧拉定理研究性学习名称 发现与研究小组成员组长：余可为一班：杨爵辉、黄超红、梁凤丽、魏婕、刘芷璇二班：姜颖文、王亚文、李思思、刘蕊嘉、姚媱、喻梦琪、蔡佳丽、余可为所需时间 12课时【学习目标】（或概述）一、课题的提出的背景1、理论背景： 按照教育部基础课程改革的设想，新课程计划中增加了一项必修课研究性学习，这是为中小学课程动的第一个大手术。研究性学习把培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力摆在十分突出的位置，课程的实施大量地依赖教材、教师和校园以外的资源。这种学习突破原有学科教学的封闭状态，把学生置于一

2、种动态、开放、生动、多元的学习环境中，它改变的不仅是学生学习的地点和内容，更重要的是提供给学生更多的获取知识的方法和渠道，使他们在自主学习、自主探索中获得一种新的学习体验。研究性学习给了学生更多的自主性和选择权，使学生的潜力得到充分发挥，学生在课题研究中涌现出不少奇思妙想，用科学、创新的精神去学习、探索成了学生最大的乐趣。研究性学习课程不仅仅是改变学生的学习方式，而是通过改变学习方法促进每个学生的全面发展，它尊重每个学生的独特个性，为每个学生的发展创造空间。因此，研究性学习洋溢着浓郁的人文精神，体现着鲜明的时代特色。2、学科背景：（1）立体几何的教学特点为立体几何研究性学习的开展提供了广阔的空

3、间和极大研究价值。 立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力。教学内容的设计应遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识柱、锥、台、球及其简单组合体等空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系，抽象出空间线、面位置关系的定义；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判

4、定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。（2）现行的高中数学教学体制的不足需要研究性学习的合理补充。现行的高中数学教学仍然是一种大班式的教学，教师面对全班50多个学生，难以兼顾每个学生的个性特点，也不利于对每个学生进行有针对性的能力的培养与提高。此外，历史教材所涵盖的内容，必须依赖于它的体例，无论怎样改革和巧妙处理，都只能展示一种序列结构，而且一经形成，相对于教学而言，就是固定不变的，那又不利于学生的综合能力的培养和千姿百态的个性的发展，研究性学习的开展就正好可以对以上的不足起到一个合理的补充的作用。（3）研究性学习的开展符合高中数学新课改的

5、要求。与传统的立体几何的结构体系相比，新课程中的立体几何的体系结构有重大改革。传统的立体几何内容，常从研究构成空间几何体的基本要素：点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征、体积、表面积等等，基本上按照从局部到整体的原则。新的中学数学课程中立体几何部分，分成两块，知识部分和能力部分（空间想象能力）。知识部分包括空间几何体的初步认识和点、线、面之间的关系。立体几何初步的定位是培养学生的空间想象力为主的一个课程载体。通过了解空间图形、画直观图、建立三视图这样一些内容，来支撑这样的一个

6、载体。而空间向量是解决立体几何的一个非常有用的工具，尤其对于关平行与垂直问题。能力部分主要是几何直观的培养，就是空间想象力的培养。研究性学习的开展可激发学生的学习兴趣，提高空间想象力。【情境】二、活动主题设计 美国著名心理学家布鲁纳说过：“学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣”。立体几何中数学模型已引起师生越来越多的重视。高中立体几何初步的教学中，建立良好的空间想象能力是学习高中立体几何初步的关键，也是最大的难点。让学生自主设计、大胆想象，制作了各种类型的几何模具，通过互动的模型，将平面几何与立体几何有机的联系在一起，体现了化归平面，升维降维，以直代曲的思想。通过模型中的点、线、面之间的位置关

7、系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。1、充分利用学生的兴趣，确定研究的主题 同学们刚接触数学必修二，对于立体几何有一定的感性认识，有利于课题的更好开展。2、运用头脑风暴法，决定研究的子课题 运用头脑风暴法，同学们集思广益提出对欧拉定理的焦点问题，并从中提炼出研究的子课题，确定在研究过程中打算开展的活动。 【任务与预期成果

8、】通过对该课题的研究，希望能达到以下成果（1）通过学生对欧拉定理材料的搜集与筛选，使其熟悉多面体的一些基本性质。 （2） 通过学生对欧拉定理的内容的概括与分析 ， 促进学生主动、独立地进行思考，并在此基础上，形成自己的观点。（3）通过学生对课题的研究，使学生掌握基本的研究问题的方法与能力。（4）通过学生对同学和教师的访谈与问卷调查，培养学生与老师之间的关系和人沟通交流的能力，感受进行探究式学习的乐趣。（5）培养学生的合作意识和交往技能。【过程】（过程要体现研究性学习的主要环节）活动过程设计第一阶段：知识准备阶段： 学习目标：1、使学生对研究性学习的理念、课程实施的目的有一个初步的认识。2、使学

9、生对即将开展的研究性学习产生期待感。3、使学生初步了解摘录、保存网上的信息、资料，并对各种资料进行分类筛选的方法。 活动流程：结合实际生活，分别制作不同的多面体模型，分别记录不同多面体的顶点数、面数、棱数。第二阶段：接触课题阶段 学习目标： 通过对多边形的顶点数、面数、棱数的内在关系探究，发现其内在规律，由此研究此规律的本质和相关应用，并可以加以证明。 活动流程 分别计算不同多面体的顶点数、面数、棱数，列表发现其中的规律。第三阶段：确定课题阶段 学习目标：1、在教师的引导下确定研究的主题。2、建立共同的学习小组，分配好各小组的研究任务，并制订研究计划表。 活动流程：1、运用制作模型的方法，在制

10、作过程中激发同学的学习兴趣和思考，同学们提出感兴趣的问题，通过对这些问题的提炼与归纳，最终确定研究的主题是欧拉定理的研究，具体要解决的问题是：欧拉定理的本质规律及其成立的条件，知道其相关应用案例。例如对什么样多面体成立，对什么样多面体不成立。还有其相关证明方法和其相关应用案例。2、建立学习小组，并分配各个小组要研究解决的具体问题。第四阶段：课题研究阶段 学习目标：1、培养学生资料搜集、筛选和整理的能力；2、培养学生对欧拉定理的描述和分析能力，提升历史思维能力；3、培养学生的合作与沟通的能力。 活动流程：1、对不同多面体的顶点数、面数、棱数分别进行计算；2、探究其规律，发现规律；3、探究其证明方

11、法4、寻找生活中实际案例第五阶段：成果展示阶段 学习目标：1、展示交流中，学习他人的研究成果，充实自己的研究成果。2、对自己所研究的成果有喜悦感和成就感，感受到与他人交流、争辩、讨论的乐趣。 活动流程：1、各组将研究成果通过模型、图片、照片、Powerpoint课件等形式进行展示交流；2、进行研究成果的评价（小组互评、教师点评）；3、最终把各组的研究成果归纳汇总。第六阶段：交流总结阶段 学习目标：通过同学们的对开展研究性学习的心得体会的汇报与交流，总结这次活动的得与失，为以后研究性学习的开展打下坚实的基础； 活动流程：1、各组代表对整个研究过程作总结性的汇报发言；2、各组间交流在开展研究的过程

12、中所遇到的问题以及问题解决的方法，交流各自的想法与感悟。3、指导老师作总结性发言，肯定同学们的研究成果，总结研究过程中的不足，并鼓励各位同学再接再励，在总结成败得失的经验与教训后，将研究性学习的活动开展得更好，更精彩。五、活动成果展示设计本课题的活动成果展示分为三个部分：第一部分：成果展示在这一部分中学生所展示的成果主要是他们经过对欧拉定理进行研究后而得到的一些数学证明方法和解决立体几何中一些问题思路方法。 一、引入1、欧拉生平事迹：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家.1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士

13、学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝.2、多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线3、凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体如图的多面体则不是凸多面体4、凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.5、简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经

14、过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。二、模型制作，探讨关系五种正多面体的顶点数、面数及棱数：正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：。上述关系式对简单多面体都成立.三、欧拉定理的证明：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：证明:(方法一)如图：将多面体的底面ABCDE剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABCDE表示）均没有变，故所有面的内角总和不变.设左图中共有F个面，分别是边形，顶点数为V，棱数为E,则.左图中，所有面的内角总和为右图中，所有面

15、的内角总和为整理得.（方法二）以四面体为例来说明：将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变.因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面.例如去掉，就减少一个面。同理，去掉棱、，也就各减少一个面、。所以、的值都不变，因此的值也不变。（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点.例如去掉，就减少一个顶点同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下（如图）。在此过程中的值不变，但这时面数是，所以的值也不变。由于最后只剩下，所以，最后加上去掉的一个面，就得到。四、引申-欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。说明：（1）简单多面体的欧拉示性数。（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数。例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体。五、应用1、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别