高中数学 第一章 导数及其应用章末质量评估检测 新人教A版选修2-2

1、第一章 导数及其应用章末质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若f(x)sincosx，则f(x)等于()Asinx BcosxCcossinx D2sincosx解析：函数是关于x的函数，因此sin是一个常数答案：A2函数f(x)sinxcosx在点(0，f(0)处的切线方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：f(x)cosxsinx，f(0)cos0sin01，f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y11(x0)即xy10.答案：A3已知函数f(x)fcosxs

2、inx，则f()A. B.1C1 D0解析：f(x)f(sinx)cosx，ffcos，f1，f(1)cossin1.答案：C4函数f(x)x2ln2x的单调递减区间是()A.B.C.，D.，解析：f(x)2x，当0x时，f(x)0.答案：A5函数f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A1 B.C0 D1解析：f(x)312x2，令f(x)0，则x(舍去)或x，f(0)0，f(1)1，f1，f(x)在0,1上的最大值为1.答案：A6函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3处取得极值，则a()A2 B3C4 D5解析：f(x)3x22ax3，f(3)0.3(3)22a(3)30，a

3、5.答案：D7做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)1ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x10处运动到点x21处，力F(x)所做的功是()A1e BeC. De1解析：WF(x)dx(1ex)dx(xex)(1e)1e.答案：B8设ab，函数y(xa)2(xb)的图象可能是()A BC D解析：当xa或b时，f(x)0，f(x)(xa)(3xa2b)，令f(x)0得xa或x，ab，ab，f(x)在(，a)及上是增函数，在上是减函数，xa是函数f(x)的极大值点，x是函数f(x)的极小值点故选C.答案：C9设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的

4、极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：利用导数的乘法法则求解f(x)xex，f(x)exxexex(1x)当f(x)0时，即ex(1x)0，即x1，x1时函数yf(x)为增函数，同理可求，x1时函数f(x)为减函数x1时，函数f(x)取得极小值答案：D10已知yx3bx2(b2)x3是R上的单调增函数，则b的取值范围是()Ab1或b2 Bb2或b2C1b2 D1b2解析：yx22bx(b2)由于函数在R上单调递增，x22bx(b2)0在R上恒成立，即(2b)24(b2)0，解得1b2.答案：D11某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2，生产

5、成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A6千台 B7千台C8千台 D9千台解析：设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)18x22x3，y36x6x2，令y0得x6或x0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，)上是减函数，x6时y取得最大值答案：A12已知定义在R上的函数f(x)，f(x)xf(x)0，若ab，则一定有()Aaf(a)bf(b) Baf(b)bf(a)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)解析：xf(x)xf(x)xf(x)f(x)xf(x)0，函数xf(x)是R上的减函数，ab，af(a)bf(b)答案

6、：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知yln，则y_.解析：先将函数式化简后再求导数答案：14设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析：Sdxxaa2，a.答案：15已知函数f(x)x34ax25x(aR)(1)当a1时，函数在区间0,2上的最大值是_；(2)若函数f(x)在区间(0,2上无极值，则a的取值范围是_解析：(1)a1时，f(x)3x28x5，令f(x)0得：x1或x，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表x0(0,1)12f(x)00f(x)022f(x)在区间0,2上的最大值为2.(2)函数f(x)在区间0,2上无极

7、值，即f(x)3x28ax50在(0,2上无解或有两个相同的解，当f(x)0在(0,2上无解，由8a2，)，则8a2即a，当f(x)0在(0,2上有两个相同的解，得a，综上，所求a的取值范围是a.答案：(1)2(2)a16若函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增，则实数m的取值范围是_解析：f(x)，令f(x)0，得1x1，即函数f(x)的增区间为(1,1)又f(x)在(m,2m1)上单调递增，所以解得1m0.答案：(1,0三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知函数f(x)x3x2axb的图象在点P(0，f(0)处的切线方程

8、是3xy20.(1)求a、b的值；(2)设t2，1，函数g(x)f(x)(m3)x在(t，)上为增函数，求m的取值范围解析：(1)f(x)x22xa，所以切线的斜率kf(0)a，又切线方程为3xy20，故a3.而点P(0，b)在切线上，则b2.(2)因为f(x)x3x23x2，所以g(x)x3x23x2(m3)xx3x2mx2，所以g(x)x22xm，又g(x)是(t，)上的增函数，所以g(x)0在t2，1上恒成立，即t22tm0在t2，1上恒成立，又函数h(t)t22tm在t2，1是减函数，则h(x)minh(1)m30，所以m3.18(本小题满分12分)若函数yf(x)在xx0处取得极大值

9、或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点解析：(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x1时，g(x)0，故2是g(x)的极值点当2x1或x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.19(本小

10、题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)a(x1)2，g(x)6ln(xb)(a0，b0)已知投资额为零时收益为零(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润解析：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)a20，g(0)6lnb0，解得a2，b1.(2)由(1)可得f(x)2x，g(x)6ln(x1)设投入经销B商品的资金为x万元(0x5)，则投入经销A商品的资金为(5x)万元，设所获得的收益为S(x

11、)万元，则S(x)2(5x)6ln(x1)6ln(x1)2x10(0x5)S(x)2，令S(x)0，得x2.当0x2时，S(x)0，函数S(x)单调递增；当2x5时，S(x)0，函数S(x)单调递减所以，当x2时，函数S(x)取得最大值，S(x)maxS(2)6ln3612.6万元所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元20(本小题满分12分)设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时，f(x)0，求a的取值范围解析：(1)a时，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(

12、，1)时，f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax，则g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.若a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.综上，得a的取值范围为(，121(本小题满分12分)已知函数f(x)x3x，如果过点(2，m)可作曲线yf(x)的三条切线，求m的取值范围解析：f(x)

13、3x21，曲线yf(x)在点M(t，f(t)处的切线方程为yf(t)f(t)(xt)，即y(3t21)x2t3.如果有一条切线过点(2，m)，则存在t，使m2t36t22.若过点(2，m)可作曲线yf(x)的三条切线，则方程2t36t2m20有三个相异的实数根记g(t)2t36t2m2，则g(t)6t212t6t(t2)令g(t)0，得t0或t2.当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(，0)0(0,2)2(2，)g(t)00g(t)增函数极大值2m减函数极小值m6增函数由g(t)的单调性，当极大值2m0或极小值m60时，方程g(t)0最多有一个实数根；当2m0或m60时，方程g(t)0只有两个相异的实数根；当时，方程g(t)0有三个相异的实数根，解得2m6.即如果过(2，m)可作曲线yf(x)的三条切线，得m(2,6)22(本小题满分12分)已知函数f(x)x2mlnx，h(x)x2xa.(1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围解析：(1)由f(x)h(x)，得m在(1，)上恒成立令g(x)，则g(x)，当x(1，e)时，g(x)0；当x(e，)时，g(x)0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，)上递增故当xe时，g(x)的