第四章一般测量问题中的数据处理方法ppt课件

1、Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,研究数据处理的目的 恰当地处理测量所得的数据，可以最大限度地 减少测量误差的影响，给出一个尽可能精确的结 果，并对这一结果的精确程度作出评价。 本部分主要讨论 几个基本的数据处理方法，它们分别用来解决 不同的数据处理问题。,1 算术平均值原理 2 加权算术平均值原理 3 测量数据的修正 4 实用谐波分析法 5 异常数据的剔除,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,1 算术平均值原理 使用范围 对同

2、一量进行多次等精度重复测量而得到的数 据的处理。所谓“等精度”是指各次测量的标准差 相同，而并非指各测量数据具有相同的误差。 事实上，各测量数据的误差 并不相同。 优点 测量的随机误差的影响是最小。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,局限性 1 算术平均值仍为随机变量，它不可能完全排除 随机误差的影响，只是减小这一影响。 2 由于系统误差不具有随机抵偿性，算术平均值 原理的功效只是减小随机误差的影响。在一般情 况下，不能指望通过取算术平均值减小系统误差 的影响。 3 算术平均值原理在提高精度的效果上是有限的.,Harbin In

3、stitute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,一、算术平均值原理 若对某个量X 进行n 次等精度重复测量( 各次测量的标准差 相同)，得到n 个测量数据 ，则被测量X 的最佳估计量 应为 全部测量数据的算术平均值。即,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,等精度的多次重复测量结果xi 的算术平均 值 作为被测量X 的估计量 ，具有一致性、 无偏性和最优性。 (1)一致性(概率极限) 设测量数据xi 的测量误差为 ，应有 即 故,Harbin Institute of Technology,第四章

4、一般测量问题中的数据处理方法,式中: 为算术平均值 的误差 若测量误差 为服从正态分布的随机误差， 则其数学期望为零，即 当测量次数足够多时，有,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,即 可见，以算术平均值 作为X 的估计量具有 一致性。 (2)无偏性(数学期望) 算术平均值的误差 是各测量误差 的线性和，因而 也是正态分布的随机变量，且具有对称性，数学期望为零。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,即 因此 可见， 是X 的无偏估计(即 的波动中心是 X )。,Har

5、bin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(3)最优性 可以证明，当测量误差服从正态分布时，算 术平均值的方差恰好达到估计量的方差下界， 即 式中: 测量数据的标准差； 正态分布的概率密度。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,因此,算术平均值 是被测量X 的最佳估计量. 一般来说，无论测量误差具有何种分布，只要具有对称性，其数学期望就为零，以算术平均值作为被测量的估计量就具有最优性。这是随机误差抵偿性的必然结果，按算术平均值原理处理等精度重复测量数据可充分利用这一抵偿性，从而使

6、随机误差对最终结果的影响减小到最低限度。 随机误差抵偿性是算术平均值原理的基础。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,二、等精度测量数据的残差及其性质 1 残差的定义 通常，被测量的真值是未知的，由测量误差 定义获得的真误差也是未知的，因而无法用测 量的真误差对测量的精度作出估计。 考虑到算术平均值 接近于被测量X，定义 为测量数据xi 的残差(剩余误差)。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,更一般地，残差的定义可推广为 式中， 为X 的估计量，可由包括算术平均值

7、原理在内的某一方法给出。 2 残差的应用 由于残差易于获得，所以它广泛地应用于精度 估计、粗差的判断及某些系统误差的判别规则 中。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,2 残差的性质(由算术平均值给出的等精度测量 数据的残差 ) (1)残差的代数和为零，即 这一性质常用于检验所计算的算术平均值和残 差有无差错。 (2)残差的平方和最小，即 测量结果与其他量之差的平方和都比残差平方 和大，这一性质与最小二乘法一致。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,三、算术平均值的标

8、准差 算术平均值仍含有一定的随机误差。为评定这一随机误差的影响，应使用相应的标准差或不确定度。 设对X 进行n 次等精度重复测量，得测量数据 ，将各数据 视为独立的随机变量(而不是具体的数值)，则算术平均值 的方差为,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,即 因为是等精度测量，即 ， 故 即,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,算术平均值的标准差则为 式中,测量标准差 可按用残差估计标准差的 贝塞尔(Bessel)公式估计,Harbin Institute of Tec

9、hnology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,由于测量的标准差为估计量s，故公式 应写为 上式表明，算术平均值的标准差为测量数据 标准差的 。因此，测量次数n 越大，所 得算术平均值的标准差就越小，其可靠程度就 越高。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,靠增加测量次数n 来给出更高精度的结果是有一定限度的。这是因为： (1)算术平均值的标准差 与测量次数的平方根成反比。如图 1所示，随着n 的增加， 的减小速度下降。当n 较大时(如n20)，靠进一步增大n 来减小 ，其效果并不明显。,Harbin Institute o

10、f Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(2)测量次数n 过大，不仅经济上耗费大，而且测量时间增长，易于因测量条件变化而引入新的误差。 (3)当随机误差远远小于系统误差时，进步增大n 已无实际意义，应从减小系统误差着手进一步提高测量结果的精度。 因此，测量次数的规定要适当，应顾及到实际效果，一般取n10。在较高精度测量中，若以随机误差为主，并且测量条件较好，则测量次数可大些。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,算术平均值的精度也可用扩展不确定度来表示，即 式中k 为置信系数。对于正态分布，常取k=3。,H

11、arbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,四、算术平均值的简便算法 设对被测量X 进行n 次等精度的重复测量，得测量数据 ，为简化算术平均值的计算，任选一接近测量数据 的数值 ，相减得 则有,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,故 即算术平均值可表示为 与 的算术平均值 之和。应注意 值的选取应使 的值尽可能 小，并且便于计算。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 1 已知测量的标准差为s=8mg，欲使最终结

12、果的标准差小于5mg，问需要重复测量多少次? 解 由题意，算术平均值的标准差 5mg，由式( 11) ，可得 所以，至少需测量3次。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 2 对某量进行8次连续测量，所得结果如下(单位略)：39.285，39.288，39.282，39.286，39.284，39.286，39.287，39.285。试计算其算术平均值。 解 (1)按定义直接计算 =(39.285+39.288+39.282+39.286+39.284 +39.286+39.287+39.285)=39.2854,Harbin

13、Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(2)按简便算法计算，取x0=39.285， 则 =39.285+ 10-3(0+3-3+l-1+1+2+0) =39.2854,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 3 对某圆柱体外径尺寸连续测量10次，所得结果如下(单位mm)：3.985，3.986，3.988，3.986，3.984，3.982，3.987，3.985，3.989，3.986，求最佳结果及其精度(不考虑系统误差)。 解 测量结果的最佳估计量应为算术平均值。按简便算法，取d

14、0=3.985mm，列表计算(见表 1)，得,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,表 1,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,= 3.985mm+ 810- 3mm =3.9858mm 按贝塞尔公式，测量标准差为 mm,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,算术平均值的标准差为 mm 其扩展不确定度为 =1.910-3mm 最终结果为:3.9858+0.0019mm,Harbin Institute of

15、Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,2 加权算术平均值原理 不等精度测量 当对某一量进行多次测量时，由于仪器精度和 测量方法的优劣、测量者熟练程度及测量条件等 方面的差别，各次测量可能具有不同的精度，这 就是不等精度测量。 使用范围 在不等精度测量中，所得各测量数据具有不同 的可信程度，采用加权算术平均值原理处理数据.,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,一、测量数据的权 在不等精度测量的数据处理过程中，精度较高 的数据应给予较多的重视，而精度较低的数据则 相反。为便于数据处理，这一差别应以数值来表 示，这

16、一数值就是测量数据的权。它表示该数据 相对其他数据的可信程度。 权的确定原则 测量数据精度越高(即其可靠程度越高)，其权就 越大；反之，测量数据精度越低，权就越小。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,确定权大小的基本出发点 测量数据精度的高低 测量数据的权的确定 由于测量数据的精度以其标准差(方差)来衡量, 故测量数据xi的权pi可按其标准差确定。 设不等精度测量数据 的标准差分 别为 ,相应的权 应满足,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,或 上两式给出了确定权的

17、一般方法, 即测量数据的权与相应标准差的平方成反比。 实际上，只能给出标准差的估计量(子样标准差 )si，代人上式得，,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,或 权的相对性 权本身是无量纲的,它只反映各测量数据之间的 相对可信程度,只要能满足上两式,其绝对数值的大小是无关紧要的。 权的数值一经确定，在数据处理过程中就不允 许再随意改变。一般为了简化处理，应使权的数 值尽可能约简。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,算术平均值的权与各组测量次数的关系 若测量的标准差为s

18、，现进行m组测量，各组测 量次数分别为 ，则各组的算术平均 值 (i=1,2,m)的标准差为 于是各组算术平均值的权pi应满足下式,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,即 由此可知，各组算术平均值的权之比等于各组 测量次数之比。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,有时不能确切知道各测量数据的标准差，这时可依据影响测量数据可靠性的各因素的具体情形作出判断，直接给出权的数值。 例 4 现对一级钢卷尺进行检定，进行三组不等精度测量，所得结果为 =2000.45mm, =2

19、000.15mm, =2000.60mm， =0.05mm， =0.20mm， =0.10mm，试确定各 组测量结果的权。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,解 由前面式可得 因此,可取权为 =16， =1， =4。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,二、加权算术平均值原理 定义 设对某量X 进行n 次不等精度测量,得数据 ,各测量数据的权分别为 ,则被测量X 的最佳估计量 应为全部测量数据的 加权算术平均值 这就是加权算术平均值原理。,Harbin Instit

20、ute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,可以证明，加权算术平均值是被测量X 的无偏估 计。特别地，当各测量数据的权均相等时(即 )，则有 这正是等精度测量数据的算术平均值。显然，算 术平均值原理是加权算术平均值原理的特例。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,加权算术平均值原理也以随机误差抵偿性为基础，并使随机误差的影响减至最低限度。对于各次测量中的同一系统误差则无此效果。 不等精度的测量结果常是采用不同的测量方法而获得的，因此各测量结果中常含有不同的系统误差。由于这些系统误差不是由同一因素造成的

21、，因此互不相同。这类系统误差在各测量结果中相互间具有一定程度的抵偿作用。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,加权算术平均值计算的简便算法 式中x0为:与xi接近的任意数值, 。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 5 求例 4中三组数据的加权算术平均值。 解 1按（19）式计算 mm =2000.46mm,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,2 按( 20)式计算，取x0=2000.00mm =20

22、00.00mm+ mm =2000.46mm,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,三、单位权及单位权标准差 定义 若某一数据 的权 ，则 称为单位权，而 的标准差 称为单位权标准差，记为 。显然， 则有,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,单位权不一定对应着一个具体的测量数据。 由权的相对性可知,单位权标准差也具有相对性。随着权数值的改变,单位权标准差也将有相应的改变。 例如:设三个测量数据的方差分别为 =1, =0.5, =2,则三个测量数据的权应满足下式,Harb

23、in Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(1)若取 =2， =4， =1，则单位权标准差 ； (2)若取 =4， =8， =2，则单位权不再是 ，而此时 用残差计算单位权标准差 设有不等精度测量数据 ，相应的权分别为 ，则各测量数据的残差为,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,将各残差 分别乘以各自的权的平方根 ，得加权残差 将加权残差代人贝塞尔公式，便可得单位权标准差估计量(子样单位权标准差)的计算公式。,按上式计算的结果应为单位权标准差的估计量。,Harbin Institu

24、te of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,四、加权算术平均值的精度估计 加权算术平均值本身含有随机误差，其精度应以其标准差来评定。 在加权算术平均值的表达式中，测量数据 为随机变量，而相应的权 为常量，则加权算术平均值的方差为,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,即 可知,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,即 的估计标准差为,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,若将单位权标

25、准差的两个计算公式（21）、（22）代入上式，可得到加权算术平均值标准差估计量的两个计算公式 及,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,注意： 1 分别按公式( 24)和( 25)计算加权算术平均值的标准差,所得结果应该相同。但由于对测量数据标准差估计不准以及测量数据中存在系统误差等原因,特别是系统误差的影响,导致 值常常不同 。 2 当测量数据中存在不同的系统误差时,按照式( 25)计算的 值通常比按式( 24)计算的要大些。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,3

26、计算 按式( 25)计算，能在一定程度上反映系统误差的影响；按式( 24)计算，一般不反映这一系统误差的影响。通常以式( 25)的计算结果为准(特别是测量数据较多时)。 4 但为把握起见，有时取数值较大的一个作为计算结果(特别是在测量数据较少时，按式( 25)计算精度较低)，但给出的精度估计偏于保守。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 6 现对角 进行三次测量,所得数据及标准差分别为： , ; , ; , ,试求最后结果及其标准差。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处

27、理方法,解 列表计算如下,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(1)确定各测量数据的权。由式( 16)得 取 =9， =4， =4。 (2)计算加权算术平均值 。取 ，作 ，按简便算法，则有,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(3)求 的标准差。 按式( 24) 按式( 25),Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(4)最后结果为 例 7 根据文献发表的结果，真空中的光速及其标准差如表 3(单位km/s

28、)： 解 列表 4计算：,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,表 4,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(1)取各测量数据的权为 ,令C0=299792.0, ,则加权算术平均值为 (2)加权算术平均值标准差为,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(3)若取置信系数是k=3，则其扩展不确定度为 (4)最后结果为C=299792.990.36(km/s). 这一结果表明，光速值应以99.73的概率包 含在

29、299792.63km/s与299793.35km/s之间。而光 速的最新测量结果是C0=299792.458km/s。 (5)讨论 如果按式( 24)计算标准差，此时可得 =0.2km/s。这一结果比前面计算出的值要大.,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,但即使按 =0.2km/s计算，所给光速值与其准确值之差超过0.532km/s(本例给出的光速最佳值与C0相差)的概率也仅为0.8。这说明例中所给结果与预期值有显著差异。可见，标准差或扩展不确定度并未完全反映所给结果的可信程度。 原因:测量中存在着系统误差。在求加权算术平均值

30、时，部分系统误差不能像随机误差那样有抵偿作用，使所得结果产生偏移。在计算测量的标准差时，这类误差却没有被如实地反映出来。导致所得标准差较小。 结论：不能指望通过求算术平均值或加权算术平均值来减小所有的系统误差，其标准差也不能全面地反映系统误差的影响。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,3 测量数据的修正 定义：当系统误差的数值已知时，若将其从测量 结果中扣除，则可以得到相对准确的结果，这就 是测量数据的修正。 一、测量数据的修正方法及其意义 1 方法 若不考虑随机误差的影响，则系统误差为 式中x为测量数据，X为被测量真值。因而有

31、,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,式中 为修正值， 。 上式表明:测量的真实值应为测量数据(测得值)与修正值之和。 2 意义 采用修正法消除已知系统误差简便易行，效果显著，因而在计量领域内获得广泛应用。 修正法可有效地减小测量数据的误差。 3 局限性 一般情况下难以获得绝对准确的修正值，因为修正值本身也常含有误差，使被修正的那项系统误差也常常残留部分误差。如果修正值本身的误差太大，则将失去修正的意义。 修正法对于消除随机误差是无能为力的。 不能期望通过修正获得绝对准确的结果。,Harbin Institute of Techn

32、ology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,二、修正值的获得方法 修正法的关键是如何获得相对准确的修正值。 修正值的获得方法有两类,测量实验方法和理论分 析方法。 1 通过测量获得修正值 (1)检定 利用高一级精度的测量基准,测量仪器和测量 方法(及相应的测量条件)给出标准量(相对真值) ,通过比较获得测量结果的修正值。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,注意:必须保证标准量具有足够的精度(与测量 结果的误差相比，标准量的误差是微小的)。 应用:基准的传递，标准件及高精度仪器的修正 等。 (2)间接测量 先通过实验找出误差

33、因素，再按已知的函数关 系计算出待求量的修正值。还可以利用特殊的测 量方法和数据处理方法将某项系统误差分离出来,得到修正值。 (3)局限性:需要有高一级精度的检定器具。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,2 通过理论分析获得修正值 (1)原理:具体问题具体分析，找出系统误差所遵 从的规律性，计算出测量的系统误差，将其改变 符号即为修正值。 (2)优点:修正值比较准确，也不需要更高一级精 度的检定仪器，十分方便、经济。 (3)应用:通过间接测量确定修正值时的分析计算. (4)局限性:在很多情况下无法通过分析计算给出 修正值。,Ha

34、rbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 8 用相对法测量公称尺寸L=80mm的石英玻璃棒的尺寸。设量块材料的线膨胀系数 =11.5l0-6/，石英玻璃的线膨胀系数 =0.410-6/，分析该测量结果关于温度偏差的修正值。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,解 当测量时的环境温度偏离标准温度t0=20, 标准件与被测件都产生变形。设测量的环境温度 为t,则量块的变形量为 ;石英玻 璃棒的变形量为 。 由温度偏差引入的测量误差为 则修正值 ，若测得环境温度t=20.3, 相

35、应的修正值为 =-80mm (0.410-6/-11.510- 6/)(20.3- 20)=0.2710-3mm,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 9 分析利用天平衡量物体质量时关于空气浮力的修正值。 解 利用天平衡量物体质量时，考虑到空气浮力的影响，天平平衡条件应为 式中: m1，m2分别为标准砝码与被测 物体的质量； V1，V2分别为标准砝码与被测 物体的体积； l1，l2天平二臂长；,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,g测量地点的重力加速度； 测量地点的空气密度。 考虑到等臂天平l1=l2，由上式可得衡量结果 应为 ;若不考虑空气浮力, 衡量结果为 ;该结果的误差为: 可见其修正值应为:,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,4 实用谐波分析法 系列测量结果中往往含有周期误差，这是一种常见的系统误差，可利用谐波分析的方法将周期误差的各谐波分量分解开来，分别给出各分量的幅值和相角。 一、谐波分析法原理 谐波分析法的基本依据 若函数f(x)在某区间