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文档简介
1、2.3.1 抛物线及其标准方程课时作业A组基础巩固1经过点(2,4)的抛物线的标准方程为()Ay28x Bx2yCy28x或x2y D无法确定解析:由题设知抛物线开口向右或开口向上,设其方程为y22px(p0)或x22py(p0),将点(2,4)代入可得p4或p,所以所求抛物线标准方程为y28x或x2y,故选C.答案:C2已知抛物线C:y2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|x0,则x0()A1 B2C4 D8解析:由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0,根据抛物线的定义可得x0|AF|x0,解得x01,故选A.答案:A3若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x
2、40的距离,则M点的轨迹方程是()Ax40 Bx40Cy28x Dy216x解析:根据抛物线定义可知,M点的轨迹是以F为焦点,以直线x4为准线的抛物线,p8,其轨迹方程为y216x,故选D.答案:D4已知双曲线C1:1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析:抛物线的焦点,双曲线的渐近线为yx,不妨取yx,即bxay0,焦点到渐近线的距离为2,即ap44c,所以,双曲线的离心率为2,所以2,所以p8,所以抛物线方程为x216y.故选D.答案:D5(2015高考浙江卷)
3、如图,设抛物线y24x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C. D.解析:由图形可知,BCF与ACF有公共的顶点F,且A,B,C三点共线,易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0),作准线l,则l的方程为x1.点A,B在抛物线上,过A,B分别作AK,BH与准线垂直,垂足分别为点K,H,且与y轴分别交于点N,M.由抛物线定义,得|BM|BF|1,|AN|AF|1.在CAN中,BMAN,.答案:A6已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,则p的值为_解析:依
4、题意得,直线x与圆(x3)2y216相切,因此圆心(3,0)到直线x的距离等于半径4,于是有34,即p2.答案:27设抛物线y22px(p0)的焦点为F,定点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为_解析:抛物线的焦点F的坐标为,线段FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得 12p,解得p,故点B的坐标为,故点B到该抛物线准线的距离为.答案:8对于抛物线y24x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|a|,则a的取值范围是_解析:设Q(x0,20)(x00),则|PQ|a|对x00恒成立,即(x0a)24x0a2对x0恒成立化简得x(42a)x00.当42a0时,对
5、x00,x(42a)x00恒成立,此时a2;当42a0时,0x02a4时不合题意答案:(,29已知圆A:(x2)2y21与定直线l:x1,且动圆P和圆A外切并与直线l相切,求动圆的圆心P的轨迹方程解析:如图,作PK垂直于直线x1,垂足为K,PQ垂直于直线x2,垂足为Q,则|KQ|1,所以|PQ|r1,又|AP|r1.所以|AP|PQ|.故点P到圆心A(2,0)的距离和到定直线x2的距离相等所以点P的轨迹为抛物线,A(2,0)为焦点直线x2为准线2.p4.点P的轨迹方程为y28x.10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管OP1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水
6、面2 m,P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到整数位)解析:如图所示,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x22py(p0),依题意有P(1,1),在此抛物线上,代入得p,故得抛物线方程为x2y.又因为B点在抛物线上,将B(x,2)代入抛物线方程得x,即|AB|,则水池半径应为|AB|11,因此所求水池的直径为2(1),约为5 m,即水池的直径至少应设计为5 m.B组能力提升1已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2x1x3,则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2
7、|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|解析:|FP1|x1,|FP2|x2,|FP3|x3,2x2x1x3,2|FP2|FP1|FP3|.答案:C2已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()A2 B2 C4 D2解析:设抛物线方程为y22px(p0),则焦点坐标为,准线方程为x,M在抛物线上,M到焦点的距离等于到准线的距离,即23,p2,抛物线方程为y24x,M(2,y0)在抛物线上,y8,|OM|2.答案:B3已知抛物线y22px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为
8、5,双曲线y21的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a等于_解析:由抛物线定义知15,p8,抛物线方程为y216x,所以m216,m4,即M(1,4),又因为A(,0),双曲线渐近线方程为y x,由题意知,a.答案:4如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(ab),原点O为AD的中点,抛物线y22px(p0)经过C,F两点,则_.解析:正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b,O为AD的中点,C,F.又点C,F在抛物线y22px(p0)上,解得1.答案:15已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A,B两点(1)求证:OAOB;(2)当OAB的面积等
9、于时,求k的值解析:(1)证明:设A(y,y1),B(y,y2)则y1k(y1),y2k(y1),消去k得y1(1y)y2(1y)(y2y1)y1y2(y1y2),又y1y2,y1y21,y1y2yyy1y2(1y1y2)0,OAOB.(2)SOAB1|y2y1|,由得ky2yk0,SOAB1|y2y1|,k.6已知抛物线y22px(p0)试问:(1)在抛物线上是否存在点P,使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等?(2)在抛物线上是否存在点P,使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等?解析:(1)假设在抛物线上存在点P,使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等那么根据抛物线定义,得点P到准线的距离与点P到y轴的
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