复数与复变函数第五章留数课件

1、复数与复变函数第五章留数,第五章 留数,复数与复变函数第五章留数,主 要 内 容,本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算.,复数与复变函数第五章留数,5.1 孤立奇点,一、引言,二、零点,三、孤立奇点,四、孤立奇点的分类,五、如何进行孤立奇点的分类,复数与复变函数第五章留数,回顾复积分的计算方法：,（4）柯西-古萨基本定理：,（5）Cauchy积分公式,（6）Cauchy高阶导数公式,一、引言,复数与复变函数第五章留数,问题：如何转化成含有的形式？,一、引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,(1) 若 在 G 上连续，在

2、 D 上解析，,则,(2) 若 在 D 上有唯一的奇点,此时,复数与复变函数第五章留数,一、引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,(1) 若 在 G 上连续，在 D 上解析，,则,(2) 若 在 D 上有唯一的奇点,则,此时，将函数 在 点的邻域内进行洛朗展开，,由,则积分 “不难? ” 得到。,复数与复变函数第五章留数,所谓函数 的零点就是方程 的根。,则称 为 的 m 阶零点。,二、零点,复数与复变函数第五章留数,二、零点,(1) 为 的 m 阶零点。,(2),其中，,(3) 在 内的泰勒展开式为,充要条件 (如何判断零点的阶数? ),复数与复变函数第五章留数,其中，,二、零点

3、,充要条件 (如何判断零点的阶数? ),(1) 为 的 m 阶零点。,(2),(3) 在 内的泰勒展开式为,复数与复变函数第五章留数,是 的三阶零点。,是 的三阶零点。,方法一,方法二,复数与复变函数第五章留数,三、孤立奇点,邻域 内解析，,则称 为 孤立奇点。,例,为孤立奇点。,例,原点及负实轴上的点均为奇点，,但不是孤立奇点。,复数与复变函数第五章留数,例,(1) 令,为孤立奇点；,但不是孤立奇点。,复数与复变函数第五章留数,x,y,o,这说明奇点未必是孤立的.,函 数 的 实 部,注: 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.,复数与复变函数第五章留数,四、孤立奇点的分类,根据函数

4、在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类,将 在 内,展开为洛朗级数：,则称 为 的可去奇点。,( 即不含负幂次项 ),复数与复变函数第五章留数,则称 为 的 N 阶极点；,( 即含有限个负幂次项 ),特别地，当 时，称 为 的简单极点。,复数与复变函数第五章留数,( 即含无限个负幂次项 ),则称 为 的本性奇点。,复数与复变函数第五章留数,小结,复数与复变函数第五章留数,五、如何进行孤立奇点的分类,定理若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：,可去奇点的判定方法,复数与复变函数第五章留数,(不含负幂次项),由,如果约定 在 点的值为 1，,则 在 点,就解析了，,因此称 为 的可

5、去奇点。,复数与复变函数第五章留数,定理 若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价 （都是N阶极点的特征）：,(iii)z0 是 的N阶零点.,(可去奇点作为解析点看),N阶极点的判定方法,复数与复变函数第五章留数,定理 若z0为f (z)的孤立奇点，则,z0为f (z)的极点的充要条件是,与不存在极限的区别,零点，,(2) 当 时，,即,为 的可去奇点。,为 的 (n - m) 阶极点。,且 为 的 n 阶零点，为 的 m 阶,复数与复变函数第五章留数,(含有限个负幂次项，且最高负幂次为 2 ),由,可见， 为 的二阶极点。,复数与复变函数第五章留数,本性奇点的判定方法,定理 z0为

6、 f (z) 的本性奇点,复数与复变函数第五章留数,考察极限,(含无穷多个负幂次项),由,复数与复变函数第五章留数,是 的一阶极点。,是 的二阶极点。,复数与复变函数第五章留数,故 是 的二阶极点。,将 在 的去心邻域内展成洛朗级数，有,因此， 为 的二阶极点。,且是 的二阶零点，,复数与复变函数第五章留数,总结:,孤立奇点,可去奇点,N阶极点,本性奇点,Laurent级数的特点,存在且为 有限值,不存在 且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,复数与复变函数第五章留数,小结,复数与复变函数第五章留数,一、引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,(1) 若 在 G 上连续，在 D 上解析

7、，,则,(2) 若 在 D 上有唯一的奇点,则,此时，将函数 在 点的邻域内进行洛朗展开，,由,则积分 “不难? ” 得到。,复数与复变函数第五章留数,5.2 留数,一 留数的概念,二 留数的计算方法,复数与复变函数第五章留数,5.2 留数,复数与复变函数第五章留数,一、留数的概念,将 在 的去心邻域,称 为 在 处的留数，,记作：,内展开成洛朗级数：,(两边积分),其中，C 是 的去心邻域内绕 的一条简单闭曲线。,复数与复变函数第五章留数,而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。,二、留数的计算方法,1. 可去奇点,2. 本性奇点,则 “只好” 将 在 的去心,邻域内展开成洛朗级数。,只

8、需将其中负一次幂的系数 求出来就可以了。,(2) 对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，,则,复数与复变函数第五章留数,则,(2) 若,且 在 点解析，,则,二、留数的计算方法,3. 极点,复数与复变函数第五章留数,复数与复变函数第五章留数,(罗比达法则),复数与复变函数第五章留数,将 在 的去心邻域内洛朗展开，,有,复数与复变函数第五章留数,将 在 的去心邻域展开，,得,复数与复变函数第五章留数,由于 是 三阶极点，,解,方法二 利用极点的留数计算法则求解,(罗比达法则),因此有,(好麻烦!),复数与复变函数第五章留数,解,方法二 利用极点的留数计算法则求解,巧合?,复数与复变函数

9、第五章留数,那么,注 (1) 此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。,(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，,而不一定非得使用后面即将介绍的留数定理。,复数与复变函数第五章留数,5.3 留数定理及其应用,一 留数定理,二 留数在定积分计算中的应用,复数与复变函数第五章留数,一、留数定理,处处解析，且连续到边界 C ，,根据复合闭路定理有,则,复数与复变函数第五章留数,利用留数定理计算复围线积分的步骤：,1 明确积分曲线及内部奇点,2 确定奇点类型,计算留数,3 应用留数定理,求积分,复数与复变函数第五章留数,复数与复变函数第五章留数,复数与复变函数第五章留数,(罗比达法则),为被

10、积函数 的二阶极点，,方法二,利用高阶导数公式求解,复数与复变函数第五章留数,方法三 利用洛朗展式求解,解,将被积函数 在 的去心邻域展开，,复数与复变函数第五章留数,极点z=3在 的外部.,分别是f (z)的3级和1级极点, 都在 的内部. 而,是 的正向.,复数与复变函数第五章留数,于是，根据留数基本定理,复数与复变函数第五章留数,在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如,或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如,二、留数在定积分计算中的应用,复数与复变函数第五章留数,根据留数定理，用留

11、数来计算定积分是计算定积分,显得有用。即使寻常的方法可用，如果用留数，也往往,首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。这一,的一个有效措施，特别是当被积的原函数不易求得时更,感到很方便。当然这个方法的使用还受到很大的限制。,点，一般讲来，关系不大，因为被积函数常常是初等函,数，而初等函数是可以推广到复数域中去的。其次，,定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把,问题化为沿闭曲线的积分。这是比较困难的一点。下面,来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值。,复数与复变函数第五章留数,二、留数在定积分计算中的应用,复数与复变函数第五章留数,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工

12、作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,复数与复变函数第五章留数,1、 形如 的积分,则,即 是以 u, v 为变量,的二元多项式函数或者分式函数。,复数与复变函数第五章留数,方法,其中， 是 在 内的孤立奇点。,(2),复数与复变函数第五章留数,例 计算积分,解 积分可以转化为,在复平面内有两个零点:,在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.,下面用复变函数的方法求解该题.,复数与复变函数第五章留数,由于 因此 从而被积函数,1级极点z1. 所以,在单位圆周 内只有一个,复数与复变函数第五章留数,其中，P (x) , Q(x) 为多项式；,(2)

13、分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高二次；,(3) 分母 Q(x) 无实零点。,推导 (略),其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。,要求,(1),方法,2 、形如 的积分,复数与复变函数第五章留数,2. 积分区域的转化:,在上半平面取一条分段光滑的曲线, 使其与实轴的,一部分构成一条简单闭曲线, 包含 f (z) 在上半平面,的所有有限孤立奇点，并使 f (z) 在其内部除去,这种方法称为围道积分法.,1. 被积函数的转化:,当 z 在实轴上时 , f (z)=f (x).,f (x),f (z),有限孤立奇点外处处解析.,复数与复变函数第五章留数,(2),(3),在上半平面

14、内，i 与 3i 为 一阶极点 。,复数与复变函数第五章留数,3、 形如 的积分,(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次；,(3) 分母 Q(x) 无实零点。,其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。,方法,复数与复变函数第五章留数,即：,复数与复变函数第五章留数,在上半平面内，1+3 i 为一阶极点。,(2),复数与复变函数第五章留数,(3),(2),复数与复变函数第五章留数,留数,计算方法,留数定理,留数在定积分 计算中的应用,本章内容总结,复数与复变函数第五章留数,若 为 的 m 阶极点，,附：关于极点的留数计算法则的说明,(其中 ),则,复数与复变函数第五章留数

15、,附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,回顾,则 对应于,对应于,复数与复变函数第五章留数,附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式?,由 在原点 的邻域 内的洛朗展式：,得 在无穷远点 的邻域 内的洛朗展式：,其中，,复数与复变函数第五章留数,函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式?,附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,(1) 可去奇点：,(2) N 阶极点：,(3) 本性奇点：,无穷远点的奇点类型的划分,不含正幂项；,含有限多的正幂项, 且最高幂次为 N ，,含有无穷多的正幂项。,此时，,复数与复变函数第五章留数,函数 在无穷远点的邻域内的洛朗