映射以及函数概念-总结-复习

1、课次教学计划（教案）课题映射与函数概念教学目标理解映射与函数的关系,会求函数的定义域一 引入课题复习初中已经遇到过的对应：1 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；2 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；3 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5 函数的概念二 新课教学1 我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）2 先看几个例子

2、，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系（1）开平方；（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以2；3 什么叫做映射？一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）记作“f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。4 例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A=

3、P | P是数轴上的点，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A= P | P是平面直角体系中的点，B=（x，y）| xR，yR，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A=三角形，B=x | x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=x | x是新华中学的班级，B=x | x是新华中学的学生，对应关系f：每个班级都对应班里的学生思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： BA是从集合B到集合A的映射吗？函数的概念（）引入问题问题1 初中我们学过哪些函数？（正

4、比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）问题2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。（）函数感性认识教材例子（1）、例子（2）。例子（3）给出了两个非空数集A、B的元素之间的一些对应关系. 例子（1）中的对应法则是“乘2”、例子（2）中的对应法则是“求平方”、例子（3）中的对应法则是“求倒数”.它们的共同特点是：对于集合A中的任意一个数,集合B中都有唯一的数和它对应.（III）归纳总结给函数“定性”归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一

5、种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作。（IV)理性认识函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range)。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的

6、乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样； y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+32+1=11。注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。（2）定义域是自变量x的取值范围； 注意：定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如

7、：y=x2(xy=x2(x0)； y=1与y=x0 若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围； 如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x0,而不是。（3）值域是全体函数值所组成的集合，大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。(V)区间的概念设a、b是两个实数，且ab，规定：（1）满足不等式的实数的x集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的x集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为；（4）满足不等式的实数的x集合叫

8、做也叫半开半闭区间，表示为；说明： 对于，都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度； 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：3xa, xb, xb的实数x的集合分别表示为a,+、（a,+）、(-,b)、(-,b)。 知识点一：函数与映射的概念思考1.判断下列是否是映射?映射的理解判断9413-32-21-1304560901-12-23-3149123123456开平方求正弦求平方乘以2 归纳:(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一（可以多对一，不能一对多，可

9、以没有原象，不可没有象）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的一个值与它对应，那么就说是自变量，是的函数，自变量的取值的集合叫做定义域，自变量的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。映射函数两集合设是两个 设是两个 对应关系如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的 一个元素，在集合中都有 确定的元素与之对应。如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 一个数，在集合中都有 确定的数和它对应。名称称为从集合到集合的一个映射称为从集合到集合的一个函数记法对应是一个映射， 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函

10、数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。(特殊情况)一一映射(特殊的映射):(1)A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应;(2)A中不同元素的象不同;(3)B中的每一个元素都有原象.【例1】下列对应是不是从到的映射？（1），：； （2），：； （3），：； （4），：； ：； ：； ：. 说明：映射：，都是非空的数集；函数的三要素：定义域、值域、对应法则；函数符号表示“是的函数”，可简记为函数，有时也用。的意义：自变量取确定的值时，对应的函数值用符号表示；

11、1. 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？ 知识点三：区间的概念 设是两个实数，而且，规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为， 这里的实数与都叫做相应区间的端点。在数轴上，这些区间可以用一条以和为端点的线段来表示（如下表），在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，空心点表示不包括在区间内的端点。定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间说明：1.实数集也可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”；2.满足，的实数的集合

12、分别表示为，.已知集合，或，用区间表示，函数的定义域与解析式知能点全解：知能点一：函数定义域的常见题型及解题常用方法1、给出函数解析式，求其定义域如果给出函数解析式却没有单独指明函数的定义域，那么该函数的定义域就是能使这个式子有意义的自变量的取值范围。使解析式有意义的常见形式： 分式的分母不得为零； 偶次根式中被开方数不小于零； 零的零次幂无意义； 当函数由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。特别提醒： 1、求函数的定义域之前，不要对函数的解析式进行化简或变形，以免引起定义域的变化。 2、当解析式是整式时，其定义域为。 3、当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构

13、成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。例 1：求下列函数的定义域，并用区间法表示：（1） （2） （3） 例2求下列函数的定义域。（1）；(2)；(3)例4.己知函数y=的定义域为R,求实数a的取值范围.2、抽象函数的定义域： 所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数。此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则作用下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域，其有三种情况： （1）已知的定义域是，求的定义域。该类题目实质上是由不等式所求的取值范围就是的定义域。例 2：已知函数的定义域是，求函数的定义域

14、 （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域。例 3：已知函数的定义域是，求函数的定义域。 （3）已知函数的定义域是，求函数的定义域。该类题目的解决方法是：先由函数的定义域求出函数的定义域，再由函数的定义域取得函数的定义域。例 4：已知函数的定义域是，求函数的定义域。 3、函数定义域的逆向问题例 5：已知若函数的定义域是R，求实数的取值范围课堂练习：1. 求的定义域 2.函数y=f(x)的定义域为-1,2，求函数g(x)=f(x)+f(-x) 的定义域。 3 已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是 作业：1.己知y=f(x)的定义域为1,2.1 f(2x十1)的定义域; 求f(2x

15、十)十f(2x一)的定义域.知能点二：函数解析式的常见的题型及解题常用方法：1、已知所求函数的类型（如：一次、二次函数、反比例函数等），求函数的解析式：待定系数法例 6： 设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.2、求复合函数的解析式：（1）已知的解析式，求的解析式代换法例 7：已知，求的表达式（2）已知的表达式，求的表达式换元法（ 注意新元的取值范围） 例 8：若,求3、构造方程组已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。例 9： 已知满足，求；求下列函数的解析式1.已知，则_（换元法）2.已知一次函数满足，求f(x)。（待定系数法）3.已知函数f(x)满足2xf(x)-3f(x)-x2+