函数的对称性

1、.函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） 常数函数;一次函数;二次函数;反比例函数;指数函数;对数函数;幂函数;正弦函数;正弦型函数既是轴对称又是中心对称;余弦函数;正切函数;耐克函数;绝对值函数：这里主要说的是和两类。前者显然

2、是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称。形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】1、函数图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称的图象关于直线对称 的图象关于直线对称.特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.（2）中心对称 的图象关于点对称 。 的图象关于点对称.特别地，函

3、数的图像关于原点对称的充要条件是.（3）对称性与周期性之间的联系若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；特别地：若是偶函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数； 若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期；若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期。特别地：若是奇函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。典例精讲关于直线对称例1. （）已知二次函数满足条件

4、且方程有等根，则 例2.（）已知函数对一切实数x满足条件，已知时，求时的解析式.巩固练习（自对称）1.（）已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，则 .2. （）设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 （ ） 3. （）设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，求时，的解析式.例3. （）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A B C D例4. （）已知函数，函数与的图像关于轴对称，求函数在区间上的最值.巩固练习1.（）若函数图像与函数的图像关于直线对称，则； 2.在同一直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图

5、像与的图像关于轴对称，若，则的值是（ ）； ； ； 3.若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 4.（）函数的反函数的图象大致是 （A） （B） （C） （D）关于点对称例5.（）已知函数满足：，则函数的图象（ ） A关于点对称 B关于点对称 C关于点对称 D关于点对称例6.（）设，函数的图像与函数的图像关于点对称求函数的解析式练习1.（）是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A7B3C4D52. （）已知函数f(x)的反函数的图象的对称中心是(1，)，则函数g(x)的单调递增区间是 ；函数对称性与周期性的联系例7.（）若函数在上是

6、奇函数，且在上是增函数，且.求的周期；证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称, ;讨论在上的单调性；练习1.（）设是定义在R上的奇函数,的图象关于直线，则 .2.（）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)23.（）设是定义在R上的偶函数，且，当时，则_练习1. 函数与函数的图象关于关于_对称。2. 设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_对称。3. 设的定义域为R，且对任意 ，有，则图象关于_对称，关于_对称。4. 已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（ ） A、5 B、10 C、15 D、185. 函数定义域为R，且恒满足和，当时，求解析式。总结现在，总结一下本节课的收获吧？ 函数图像的对称性1、(1) 一个图关于点对称：()奇函数关于原点对称() 的图象关于点对称(2) 一