线性回归模型的矩阵方法

1、第四章 线性回归模型的矩阵方法,教师：卢时光,本章介绍用矩阵代数符号来表示经典线性回归模型。本章除矩阵模型之外，不涉及新概念。 矩阵代数最大的优越性在于，它为处理任意多个变量的回归模型提供了一种简洁的方法。 本章需要具有行列式和矩阵代数的数学基础，请各位同学自行复习相关知识。在本章的讲授过程中所遇到的有关矩阵计算的定理和结论，不再一一证明，请自行参考有关书籍。,4.1 k变量的线性回归模型 如果我们把双变量和三变量的回归模型进行推广，则包含应变量Y和k-1个解释变量X2，X3，Xk的总体回归函数（PRF）表达为： 其中，1截距， 2 到k是偏斜率（回归）系数，u是随机干扰项，i是第i次观测，n

2、为总体大小。 总体回归函数如同以前那样解释：给定了X2，X3，Xk的固定值（在重复抽样中）为条件的Y的均值或期望值。PRF还可以表达为：,上述表达式，如果写出矩阵的形式： 这样，我们把下述方程表达称之为：一般（k变量）线性模型的矩阵表现： 如果矩阵和向量的各个维数或阶不会引起误解，则可以简单写作： y ：对应变量Y观测值的n1列向量。 X：给出对k-1个变量X2至Xk的那次观测值的nk矩阵，其全为1的列表示截距项。此阵又称为数据矩阵。 ：未知参数1 到k的k1列向量。 u ： n个干扰ui的n1列向量。,4.2 经典回归模型的假定的矩阵表达 1. 残差期望为零 2. 同方差性和无序列相关性 u

3、是列向量u的转置或者一个行向量。做向量乘法：,由于同方差性和无序列相关性，我们得到干扰项ui的方差-协方差矩阵。 此阵的主对角线（由左上角到右下角）上的元素给出方差，其他元素给出协方差。注意方差-协方差矩阵的对称性。 其中I是一个恒等矩阵。,3.X是非随机的。我们的分析是条件回归分析，是以各个X变量的固定值作为条件的。 4.无多重共线性 无多重共线性是指矩阵X是列满秩的，即其矩阵的秩等于矩阵的列数，意思是，X矩阵的列是线性独立的。 存在一组不全为零的数12k，使得： 用矩阵来表示： 5.向量u有一多维正态分布，即：,4.3 OLS估计 我们先写出k变量样本回归函数： 如同前面的分析，我们也是从

4、残差平方和的最小化来进行的：,为了使得残差平方和 尽可能的小，我们仍然是对参数1 到k微分，并令微分的结果表达式为零，同样得到最小二乘理论的正则方程：k个未知数的k个联立方程。,整理后： 注意(XX)矩阵的特点：1.主对角线是元素的平方和；2.因为X2i与X3i之间的交叉乘积就是之间X3i与X2i的交叉乘积，因此矩阵的对称的；3.它的阶数是（kk），就是k行与k列。,上述方程是用矩阵符号来表示的OLS理论的一个基本结果。 上述方程也能够通过uu对的微分直接求得，请大家自行参考相关文献。,一个例子： 收入-消费,的方差-协方差矩阵 矩阵方法不仅能使我们导出 的任意元素 的方差公式，还求出 的任意

5、两元素 和 的协方差。我们需要用这些方差和协方差来做统计推断。 定义： 参考相关资料，上述方差-协方差矩阵可以从下述公式计算：,其中 是ui的共同方差，而 就是出现在OLS估计量方程中的逆矩阵。 和前面一样， 用其无偏估计量 来替代： 的计算 原理上 可以从估计的残差中算出，但实践中更愿意按照下述方法直接得到。 回顾：,一项被称为均值校正值。因此： 一旦得到 则 就容易计算。回到我们的例子中：,4.4 用矩阵来表示判定系数R2,4.5 关于个别回归系数的假设检验的矩阵表达 我们曾经假设每一个ui都服从均值为0和不变方差的正态分布。用矩阵符号来表示，为： 其中，u和0都是n1列向量，I是nn恒定

6、矩阵，0是零向量。 在k阶回归模型中，我们可以证明： 由于实际的 未知，我们使用估计量 ，就要用到从正态分布到t分布的的转换，这样 每一个元素都遵循n-k个自由度的t分布。 利用t分布来检验关于真值 的假设，并建立它的置信区间，具体的方法我们在前面已经讨论过，这里不再重复。,4.6 检验总体回归的总显著性：用矩阵表示的方差分析 方差分析（ANOVA）用以（1）检验回归估计的总显著性，即检验全部（偏）回归系数同时为零的虚拟假设。（2）评价一个解释变量的增量贡献。 方差分析很容易推广到k变量情形。 假定干扰ui是正态分布的，并且虚拟假设： 则可以证明： 是服从自由度为（k-1, n-k）的F分布。,在前面的讨论中，我们发现F与R2之间存在紧密联系， 因此，上面的方差分析表还可以表达为： 这么做的好处是全部分析都通过R2来进行，这样我们不需考虑F变量中被消掉的 。,小结 本章的主要目的是介绍线性回归模