双曲线定义及其标准方程

1、2.3.1双曲线的定义及其标准方程1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差: 或,即: ，其中动点的轨迹会发生什么变化呢？ 若，则轨迹是_；若，则轨迹是_；若，则_；在条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做_. （1）当时，双曲线 （2）当时，射线 （3）当时，无轨迹2、概念形成n 双曲线定义定义：平面内到两定点的距离的_等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距.n 双曲线定义中的注意点在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于 .（2）当时，动点的轨迹是与对应的双曲线的一支， 时为双曲线的另

2、一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程如图8-12建系，设，取过点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则，设（x，y）是所求轨迹上的点.依已知条件有， 移项得：， 平方得： （*） 再平方得：，即，令则，即 综上：焦点在轴上双曲线的标准方程是，其中，焦点.同样如果双曲线的焦点在y轴上(图813)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程的x、y互换，就可以得到焦点在轴上双曲线的标准方程是，其中，焦点.【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值 （）【例2

3、】已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程 解：【例3】 已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，在此双曲线上，求双曲线的标准方程【例3】已知双曲线的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大小.【例4】已知F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2=90，求F1PF2的面积.解： 练习题：1.已知点F1（0，-13）、F2（0，13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ）A.y=0 B.y=0(x-13或x13) C.x=0(|y|13) D.以

4、上都不对2.在方程mx2my2=n中，若mn0，则方程的曲线是（ ）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线3.已知双曲线的方程为=1,点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m,F1为另一焦点，则ABF1的周长为（ ）A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m4.已知双曲线的焦距为26，=,则双曲线的标准方程是（ ）A.=1B.=1C. =1D.=1或=15.F1、F2为双曲线y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF2=90,则F1PF2的面积是（ ）A.2B.4C.8D.166.双曲线的焦点在y

5、轴上，且它的一个焦点在直线5x2y+20=0上，两焦点关于原点对称，则此双曲线的方程是（ ）A.=1B.=1C.=1D.=17.双曲线2x2y2=k的焦距是6，求k的值.8.一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A（-2，-3）、（7，6），求双曲线的方程.9.已知曲线C：x2y21及直线l：y=kx1.若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；10.已知双曲线=1，P为双曲线上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，并且F1PF2=60，求F1PF2的面积.椭圆与双曲线定义及性质对比名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数2（2）的动点的轨迹叫椭圆.即当22时，轨迹是椭圆，当2=2时，轨迹是一条线段当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数2（）的动点的轨迹叫双曲线.即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来