2.3 拉普拉斯方程

1、例如：, 电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的。, 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。,这些问题的特点是：,自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布。,在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的,一、拉普拉斯方程,2.3 拉普拉斯方程和分离变量法,如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则V 内部自由电荷密度0，电势所满足的泊松方程化为比较简单的情形：,注意：求解区域内0，产生电场的电荷全部分布于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的解。,这就是拉普拉斯方程。

2、,二、分离变量法,分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实际问题的特解。,不同坐标系中拉氏方程的通解不同。,拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式,1、直角坐标,（1）令,令,（2）若,注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件， 将与某些正整数有关，它们可取1，2，3， ，只有对它们取和后才得到通解。,2. 球坐标中的通解：,anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边界条件确定。,若问题具有轴对称性，电势不依赖于，通解为,若问题具有球对称性,其中,-为勒让德函数,3. 柱坐

3、标一般用于二维问题：,二维问题的解：,或写成：,若二维问题又具有轴对称性，则电势与无关,三. 分离变量法的解题步骤：, 根据界面的形状选择适当坐标系。, 建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通解。, 写出边界条件和衔接条件(即：不同区域分界面上的边值关系)。, 根据定解条件，求出通解中的积分常数。, 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际,问题的解。,关键步骤：, 充分利用对称性，写出简单的通解。, 正确写出边界条件，不能有遗漏。,四应用举例,1、两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势 差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 。,四应用举例,1、两无限大平行导体板，相距为

4、，两板间电势 差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 。,(4) 定常数：,例 2 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带,电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。,解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内,和壳内的电势分别为,边界条件为：,（1）内导体接地,（2）整个导体球壳为等势体,（3）球壳带总电荷Q，因而,由这些边界条件得,其中,利用这些值，得电势的解,导体球上的感应电荷为,两区域内部都没有自由电荷，因此电势,设球的半径为,，球外为真空。介质球的存在,使空间分为两均匀区域球外区域和球内区域

5、。,足拉普拉斯方程。,解：,均满,以,代表球外区域的电势，,代表球内的电势。,两区域的通解为：,以介质球的球心为坐标原点，以E0方向为极轴建立球坐标系。,例3：电容率为,求电势。,的介质球置于均匀外电场E0中，,无穷远处，,因而,处，,应为有限值，因此,在介质球面上（R=R0），,比较Pn的系数，得:,所有常数已经定出，因此本问题的解为,在球内总电场作用下，介质的极化强度为,介质球的总电偶极矩为,所产生的电势,球外区域电势,的第二项就是这个电偶极矩,例4 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，,求电势和导体上的电荷面密度。,解：用导体表面边界条件，照上例方法可解出导体,球外电势,导体面上电荷

6、面密度为,解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面 r = a 处，即 选柱坐标系。,对称性分析：,例6 导体尖劈电势V，分析它的尖角附近的电场。,解：用柱坐标系。取Z轴沿尖边。,柱坐标下的拉氏方程为,的通解形式为,在尖劈=0面上， =V与r无关，由此,因r 0时有限，得,在尖劈=2- 面上， =V与r无关，必须,因此v的可能值为,考虑这些条件，可以重写为,在尖角附近r 0 ，上式求和式的主要贡献来自r的最低次幂项，即n=1项,电场为：,尖劈两面上的电荷面密度为：,很小时,v1趋于1/2， 面电荷密度很大，趋于1/r1/2,5如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。,解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选,若将Q移到壳上，球接地为书中P64例题,（3）确定常数, 在导体壳上,（5）球壳上的感应电荷,壳内面,以上结果均与高斯定理求解一致。,6均匀介质球（介电常数为 ）的中心置一自由电偶极子 ，球外充满另一种介质（介电常数为 ），求空间各点电势和束缚电荷分布。,解: (1) 与 的边界为球面，故选球坐标系，电荷分布在有限区，选,(2)设球内电势为 ，球外电势为 ,球外无自由电荷分布，电势满足 。但球内有自由偶极子，不满足拉普拉斯方程，