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文档简介
1、例如:, 电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的。, 电子光学系统的静电透镜内部,电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。,这些问题的特点是:,自由电荷只出现在一些导体的表面上,在空间中没有其他自由电荷分布。,在许多实际问题中,静电场是由带电导体决定的,一、拉普拉斯方程,2.3 拉普拉斯方程和分离变量法,如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界,则V 内部自由电荷密度0,电势所满足的泊松方程化为比较简单的情形:,注意:求解区域内0,产生电场的电荷全部分布于V 的边界上,他们的作用通过边界条件反映出来。所以,这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的解。,这就是拉普拉斯方程。
2、,二、分离变量法,分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相互分离,即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式,求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实际问题的特解。,不同坐标系中拉氏方程的通解不同。,拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式,1、直角坐标,(1)令,令,(2)若,注意:在(1)、(2)两种情况中若考虑了某些边界条件, 将与某些正整数有关,它们可取1,2,3, ,只有对它们取和后才得到通解。,2. 球坐标中的通解:,anm, bnm, cnm, dnm为积分常数,在具体问题中由边界条件确定。,若问题具有轴对称性,电势不依赖于,通解为,若问题具有球对称性,其中,-为勒让德函数,3. 柱坐
3、标一般用于二维问题:,二维问题的解:,或写成:,若二维问题又具有轴对称性,则电势与无关,三. 分离变量法的解题步骤:, 根据界面的形状选择适当坐标系。, 建立坐标系,写出场量所满足的方程,写出通解。, 写出边界条件和衔接条件(即:不同区域分界面上的边值关系)。, 根据定解条件,求出通解中的积分常数。, 将求出的积分常数代入通解表达式,得到实际,问题的解。,关键步骤:, 充分利用对称性,写出简单的通解。, 正确写出边界条件,不能有遗漏。,四应用举例,1、两无限大平行导体板,相距为 ,两板间电势 差为V (与 无关),一板接地,求两板间的 电势 和 。,四应用举例,1、两无限大平行导体板,相距为
4、,两板间电势 差为V (与 无关),一板接地,求两板间的 电势 和 。,(4) 定常数:,例 2 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带,电荷Q,同心地包围一个半径为R1的导体球(R1 R2)。使这个导体球接地,求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。,解:以球心为原点建立球坐标系,导体壳外和壳内,和壳内的电势分别为,边界条件为:,(1)内导体接地,(2)整个导体球壳为等势体,(3)球壳带总电荷Q,因而,由这些边界条件得,其中,利用这些值,得电势的解,导体球上的感应电荷为,两区域内部都没有自由电荷,因此电势,设球的半径为,,球外为真空。介质球的存在,使空间分为两均匀区域球外区域和球内区域
5、。,足拉普拉斯方程。,解:,均满,以,代表球外区域的电势,,代表球内的电势。,两区域的通解为:,以介质球的球心为坐标原点,以E0方向为极轴建立球坐标系。,例3:电容率为,求电势。,的介质球置于均匀外电场E0中,,无穷远处,,因而,处,,应为有限值,因此,在介质球面上(R=R0),,比较Pn的系数,得:,所有常数已经定出,因此本问题的解为,在球内总电场作用下,介质的极化强度为,介质球的总电偶极矩为,所产生的电势,球外区域电势,的第二项就是这个电偶极矩,例4 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中,,求电势和导体上的电荷面密度。,解:用导体表面边界条件,照上例方法可解出导体,球外电势,导体面上电荷
6、面密度为,解:电荷分布在无限远,电势零点可选在有限区,为简单可选在导体面 r = a 处,即 选柱坐标系。,对称性分析:,例6 导体尖劈电势V,分析它的尖角附近的电场。,解:用柱坐标系。取Z轴沿尖边。,柱坐标下的拉氏方程为,的通解形式为,在尖劈=0面上, =V与r无关,由此,因r 0时有限,得,在尖劈=2- 面上, =V与r无关,必须,因此v的可能值为,考虑这些条件,可以重写为,在尖角附近r 0 ,上式求和式的主要贡献来自r的最低次幂项,即n=1项,电场为:,尖劈两面上的电荷面密度为:,很小时,v1趋于1/2, 面电荷密度很大,趋于1/r1/2,5如图所示的导体球(带电Q)和不带电荷的导体球壳,用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。,解:(1)边界为球形,选球坐标系,电荷分布在有限区,选,若将Q移到壳上,球接地为书中P64例题,(3)确定常数, 在导体壳上,(5)球壳上的感应电荷,壳内面,以上结果均与高斯定理求解一致。,6均匀介质球(介电常数为 )的中心置一自由电偶极子 ,球外充满另一种介质(介电常数为 ),求空间各点电势和束缚电荷分布。,解: (1) 与 的边界为球面,故选球坐标系,电荷分布在有限区,选,(2)设球内电势为 ,球外电势为 ,球外无自由电荷分布,电势满足 。但球内有自由偶极子,不满足拉普拉斯方程,
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