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1、无重根,拉氏反变换：分式分解法/分离法,系数计算公式：,或,例 求 的反变换,q阶重根,Review:,单位阶跃响应的性能指标,3.3 二阶系统时域分析,一阶系统时域分析,二阶系统时域分析,td,延迟时间td,tr,上升时间tr,峰值时间tp,tp,超调量%,%,调节时间ts,误差带5%或2%,ts,稳态误差ess,典型单位阶跃响应,ess=1-h(),动态性能,稳态性能,返回,r(t)=1(t),性能指标: td=0.69T tr=2.20T ts=3T (5%) 或 ts=4T (2%),单位阶跃响应,r(t)=(t),单位脉冲响应,ts=3T (5%),返回,一阶系统的时域分析:,二阶系

2、统时域分析,数学模型,其根决定了系统的响应形式。,二阶系统特征方程,j,0,j,0,j,0,j,0,1,1,0 1,0,2,(s)=,s2+2 ns+n2,定性分析,单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间,阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间,(1)上升时间 tr,(2) 峰值时间 tp,单位阶跃响应,即,由 ,得,此时 ,3 欠阻尼二阶系统的动态性能指标,单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。,(3)超调量 %,单位阶跃响应进入误差带的最小时间。,(4)调节时间 ts,有,根据定义,因为,则,%的大小完全决定于， 越小，%越大。,解得,若取=5%,若取 =2%,当阻尼比 0.8时

3、，近似取为,或,表明：ts与闭环极点的实部与反比,由以上的分析可归纳出二阶系统性能分析要点： 1) 平稳性 主要由决定，越大则%越小，平稳性越好。=0时，系统等幅振荡，不能稳定工作。一定时，n越大则d越大，系统平稳性变差。 2) 快速性 n一定时，若较小，则越小，ts越大， 而当0.7之后又有越大则ts越大。即太小或太大，快速性均变差。在控制工程中，是由对超调量的要求来确定的。一定时， n越大则ts越小。,例 设单位反馈系统的开环传递函数 当给定为单位阶跃时，试计算放大器增益KA=200时，输出响应特性的性能指标：峰值时间tp、调节时间ts和超调量。如果将放大器增益增大到KA=1500或减小到

4、KA=13.5，那么对响应的动态性能有何影响？,解：由于系统是单位负反馈，所以闭环传递函数,将KA=200代入上式,对照标准形式,得到,故峰值时间,调节时间,超调量,如果KA增大到KA=1500，同样可计算出,则,当KA减小到13.5时，可以算出,系统成为过阻尼二阶系统，峰值和超调量不复存在，而调节时间ts等效为大时间常数T1的一阶系统来计算，得到的值为,通过对二阶系统的分析得知，系统性能对系统结构和参数的要求往往是矛盾的。 工程中，通过在系统中增加一些合适的附加装置来改善二阶系统的性能。 (1) 比例微分控制 图3-22为采用比例微分控制的二阶系统。 二阶系统的开环传递函数为,4 改善二阶系

5、统性能的措施,闭环传递函数,(3-37),其中,称为等效阻尼比,的设置等效于加大了阻尼比，从而使超调减弱，改善了系统的平稳性。,同时增加了一个零点,设没有采取性能改善措施之前，系统的单位阶跃响应曲线如图a所示, 则采用比例微分控制后系统性能的改善如曲线b所示。,(2) 微分负反馈控制 在二阶系统中加入微分负反馈环节。,闭环传递函数,(3-39),开环传递函数,其中, 2n=2n+2n 即有,称为等效阻尼比。可见，与加微分负反馈之前相比，系统的阻尼比增大，超调量减少，平稳性变好。较小时，在n不变的前提下，阻尼比的加大将使ts减少。,1. 稳定性的基本概念,图(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡

6、位置为A，当小球受到外力作用后偏离A,例如到B,当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图 (b)就是不稳定的。,3.5 稳定性分析,单摆,稳定性定义,任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。 稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。,2. 稳定性的数学描述（充要条件）,稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，因而可以用系统的脉冲响应函数

7、来描述，如果脉冲响应函数是收敛的，则系统稳定，反之，系统不稳定。,则脉冲响应为：,设系统传递函数有 个实根,对共轭复根,如果 则系统稳定，反之，系统不稳定；,（1）若 系统最终能够恢复平衡状 态，由于有复数根存在，系统输出呈振荡曲 线衰减。 （2）若 系统输出按指数曲 线衰减。 （3）若 有任一个大于零， 时系统 输出 系统不稳定。 （4）只要 中有一个为零， 系统不能 恢复原来平衡状态或为等幅振荡。这时仍认 为系统是不稳定的。,充要条件：特征方程的所有根具有负实部,3.劳斯赫尔维茨判据,由上面分析可以看出，上面的方法必须求出闭环传函的所有极点。 这对二阶以下的系统是有用的，但是对于三阶以上系

8、统，求解极点一般来说是比较困难的。 因此人们希望不求解高阶方程而进行稳定性的间接判断。 1877年，英国学者劳斯（ROUTH）提出了利用特征方程的系数进行代数运算，得到全部极点具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。,线性系统特征方程为： 稳定判据则只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。,系统闭环稳定的充分必要条件: 1) 特征方程各项系数均大于零,即 ai0 2) 古尔维茨行列式全部为正,即,已经证明，在特征方程各项系数均大于零时，古尔维茨奇次行列式全 为正，则古尔维茨偶次行列式必全 为正；反之亦然。,（1) 古尔维茨稳定判据,劳斯判据采用表格形式，即劳斯表：,当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。,(2) 劳斯判据(Routh stability criterion),L,L,L,L,判别系统稳定性。,例 设特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试,注意两种特殊情况的处理： 1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全