材料力学第2章轴向拉伸与压缩.ppt

1、第2章 轴向拉伸与压缩,2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例生产、生活中经常遇到承受拉伸或压缩的杆件。例如，内燃机的连杆(见图2.1(a)，油压千斤顶的顶杆(见图2.1(b)、桁架中的杆件、起吊重物的钢索、厂房的立柱，等等。,图2.1,这些受拉或受压的杆件虽然外形各有差异，加载方式也并不相同。但它们的共同特点是：作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合(受力特征)，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短，即杆件任意两横截面沿杆件轴线方向产生相对的平行移动(变形特征)，这种变形形式称为轴向拉伸和轴向压缩。若把这些杆件的形状和受力情况进行简化，可简化成如图2.2所示的受力简图，图中用虚线表示变形后的形状

2、。,图2.2,2.2轴力与轴力图2.2.1轴力以如图2.3(a)所示的拉杆为例，沿横截面mm将拉杆截分为两段，如图2.3(b)所示。由左段(或右段)的平衡条件可知，该截面上分布内力的合力必为一个与杆轴线重合的力N，且有 图2.3,N称为轴力，也常用FN表示。轴力的符号规则是：当轴力的方向与截面外法线方向一致时，轴力为正，杆件发生轴向拉伸变形；反之，轴力为负，杆件发生轴向压缩变形。图2.3中杆件的轴力为正。在计算某一截面的轴力时，也可采用“设正法”。即先假设该截面轴力为正，而后通过平衡方程求出轴力。结果为正，表明实际轴力方向与假设方向一致，该轴力为拉力；结果为负，表明实际轴力方向与假设方向相反，

3、该轴力为压力。“设正法”不仅可以用于轴力的计算，也可用于其他变形形式的内力计算。,2.2.2轴力图当杆件受到多个轴向外力作用时，不同横截面上的轴力可能各不相同。表示轴力沿杆件轴线变化的图形称为轴力图。绘制轴力图时，需建立Nx坐标系，横坐标x表示横截面的位置，纵坐标N表示相应截面上轴力的数值。习惯上将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧。下面通过例题介绍轴力图的绘制。,例2.1一等直杆及其受力情况如图2.4(a)所示。试绘制杆的轴力图。 图2.4,解如图2.4(b)所示，由杆的平衡方程 可求得A端支座反力，即在求AB段内任一横截面上的轴力时，应用截面法研究截开后的左段杆，如图2.4(c)所示。

4、假定轴力为正，由平衡方程 可求得AB段内任一横截面上的轴力为结果为正，说明N1的实际方向与假设方向相同。,同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d)为在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单，所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e)，通过平衡方程可求得结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。同理，DE段内任一横截面上的轴力为依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴力发生在BC段内，其值为50 kN。,2.3拉(压)杆的应力与圣维南原理2.3.1横截面上的应力在轴向拉压杆的横截面上，由于只有法向内力(即轴力N)的作用，

5、因此，对应的横截面上的应力是法向应力(即正应力)。但要计算横截面上应力的大小，需要先确定横截面上的应力分布规律。 而应力的分布和杆的变形情况有关，因此，需通过实验观察找出变形的规律，即变形的几何关系；然后利用变形和力之间的物理关系得到应力分布规律；最后由静力学关系方可得到横截面上正应力的计算公式。以下就从这3个方面进行分析。,(1)几何关系取一根等截面直杆未受力之前，在杆的中部表面上画许多与杆轴线平行的纵线和与杆轴线垂直的横线；然后在杆的两端施加一对轴向拉力F，使杆产生伸长变形，如图2.5所示。由平面假设可知，两个横截面间所有纵向“纤维”的伸长是相同的，而这些“纤维”的原长相同，于是可推知它们

6、的线应变相同，这就是变形的几何关系。,图2.5,(2)物理关系根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维”的正应变相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力引起，故可推知横截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力为均匀分布，如图2.6所示。 图2.6,(3)静力学关系由静力学求合力的方法，可得由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力为负。,前面的分析及

7、结论是建立在平面假设成立的基础之上。当拉压杆件端面承受集中载荷或其他非均布载荷时，在靠近外力作用位置的区域，变形较为复杂，平面假设不成立，应力不再是均匀分布。研究表明：静力等效的不同加载方式只对加载处附近区域的应力分布有影响，离开加载处较远的区域，其应力分布没有显著的差别(见图2.7)，这一论断称为圣维南原理，它已被大量实验所证实。 图2.7,2.3.2斜截面上的应力前面讨论了轴向拉压时杆件横截面上的应力。但不同材料的实验表明，拉(压)杆的破坏并不总是沿着横截面。因此，为全面了解杆件在不同方位截面上的应力情况，还需研究杆件斜截面上的应力。,承受轴向拉伸的等直杆如图2.8(a)所示，现在研究与横

8、截面成角的任一斜截面kk上的应力情况。用N表示kk斜截面上的内力(见图2.8(b)，由截面法可得,图2.8,由于杆内各点的变形是均匀的，因而同一斜截面上的应力也是均匀分布的。设斜截面面积为A，以p表示斜截面的全应力(见图2.8(c)，于是有而斜截面面积与杆件横截面面积A的关系为将式(c)代入式(b)，并结合式(a)，得,其中，为杆横截面上的正应力。将斜截面的全应力p分解为垂直于斜截面的正应力和沿斜截面的切应力 ，如图2.8(d)所示，即得从式(2.4)可以看出，和 都是的函数。所以斜截面的方位不同，截面上的应力也就不同。当=0时， ， 即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。当=45时

9、，达到最大值，且,可见，在与杆件轴线成45的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数值上等于最大正应力的1/2。关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90后，其方向和切应力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90后，其方向和切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。 图2.9,2.4典型材料在拉伸与压缩时的力学性能构件的强度不仅与应力有关，而且与制作构件所采用的材料的力学性能也有很大关系。材料的力学性能是指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。这里主要介绍材料在常温、静载下的拉伸和压缩试验，以及通过试验所得到的一些典型材料的力学性能。,2.4.1材

10、料拉伸时的力学性能拉伸试验是研究材料力学性能的常用基本试验。对于金属材料，圆截面的哑铃状标准试件如图2.10所示。在试件中间等直部分取一段长度为l的工作长度，称为标距。对于圆截面试件，常见的符合国家标准规定的试件标距通常为l=5d和l= 10d。 图2.10,试验在拉伸试验机(见图2.11)上进行，试验中把试件装夹在试验机上，使试件受到自零缓慢渐增的拉力F作用，于是在试件标距l长度内产生相应的变形l，变形记录装置记录试件变形，把试验过程中的拉力F与对应的变形l绘制成Fl曲线，称为拉伸图。,图2.11,(1)低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢的统称。根据材料成分不同和力

11、学性能差异，低碳钢又有许多不同牌号，如Q235等。这类钢材在工程中使用较广，在拉伸试验中表现出的力学性能也最为典型。,图2.12为低碳钢的Fl曲线，与试件的几何尺寸相关。为了消除试件尺寸的影响，通常将拉力F除以试件原始的横截面积A得到正应力=FA，而将变形量l除以试件原始的标距长度l，得到正应变=ll(有关轴向拉压时正应变的计算和描述方法，将在2.7节中详细讨论)。这样就可得到材料的正应力与正应变的关系曲线，称为应力应变图或曲线，如图2.13所示。,图2.12 图2.13,根据试验结果，低碳钢的力学性能大致如下：1)弹性阶段图2.13中 曲线的Oa段为直线，这时应力与应变成线性关系，即这就是拉

12、伸与压缩的胡克定律。图中a点对应的应力p称为比例极限，它是应力与应变成线性关系的最大应力。式中比例常数E称为材料的弹性模量或杨氏模量，图2.13中角的正切即直线Oa的斜率等于材料的弹性模量E。,应力超过比例极限以后， 曲线呈微弯，但只要不超过b点，材料仍是弹性的，即试件仍处于弹性变形阶段，卸载后变形能够完全恢复。b点对应的应力e称为弹性极限，它是材料只产生弹性变形的最大应力。由于一般材料a，b两点相当接近，工程中对比例极限和弹性极限并不严格区分。,2)屈服阶段当应力超过b点增加到某一数值时， 曲线上出现一段接近水平线的微小波动线段，应变显著增加而应力基本保持不变，材料暂时失去抵抗变形的能力，这

13、种现象称为屈服(或流动)。在屈服阶段内的最高点和最低点分别称为上屈服点和下屈服点，上屈服点所对应的应力值与试验条件相关，下屈服点则比较稳定，通常把下屈服点c所对应的应力s称为屈服极限(或流动极限)。,屈服阶段，在经过磨光的试件表面上可看到与试件轴线大致成45的条纹(见图2.14)，这是由于材料内部晶格之间产生滑移而形成的，通常称为滑移线。因为拉伸时在与杆轴线成45的斜截面上，切应力值最大，可见屈服现象与最大切应力有关。 图2.14,当应力达到屈服极限时，材料将发生明显的塑性变形。工程中，构件产生较大的塑性变形后就不能正常工作。因此，屈服极限常作为这类构件是否破坏的强度指标。,值得注意的是，并不

14、是所有塑性材料都有明显的屈服阶段。有些材料，如黄铜、铝合金等，没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服极限的塑性材料，可以将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标，用p0.2表示，称为名义屈服极限，如图2.15所示。 图2.15,3)强化阶段超过屈服阶段后，在 曲线上cd段，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形就必须增加拉力，这种现象称为材料的强化。 曲线的最高点d所对应的应力b称为强度极限，是材料能承受的最大应力，它是衡量材料性能的另一个强度指标。,4)局部变形阶段应力达到强度极限后，变形就集中在试件某一局部区域内，截面横向尺寸急剧缩小，形成颈缩现象(见图2.16)。由于颈缩部分的横截面

15、面积迅速减小，使试件继续伸长所需要的拉力也相应减小。最后试件在颈缩处被拉断(见图2.17)。 图2.16 图2.17,5)延伸率与断面收缩率试件拉断后，弹性变形消失，塑性变形仍然保留。试件标距由原长l变为l1，l1-l是残余伸长，它与原长l之比的百分率称为延伸率，用表示，即试件断裂时的塑性变形越大，残余伸长越大，延伸率也就越大。因此，延伸率是衡量材料塑性大小的指标。工程上，通常将5%的材料称为塑性材料，如碳钢、铜、铝合金等，而将5%的材料称脆性材料，如铸铁、玻璃、陶瓷等。低碳钢的值为2030，是典型的塑性材料。,衡量材料塑性的另一指标是断面收缩率，可定义为式中A试件横截面的初始面积；A1试件被

16、拉断后颈缩处的最小横截面面积。其中，低碳钢的值为6070。,6)卸载定律、塑性应变(残余应变)、冷作硬化与名义屈服极限如果试件应力超过屈服极限到达f点后卸除拉力，则应力和应变的关系将沿着与直线Oa近似平行的直线fO1回到O1点，如图2.13所示，即在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化，这就是卸载定律。到达O1点时，应力降为零，试件全部卸载，e为卸载后消失的应变，称为弹性应变，p为卸载后残余的应变，称为塑性应变或残余应变。这样，f点的应变为弹性应变和塑性应变之和，即,若卸载后继续加载，则应力和应变的关系将大致沿着卸载时的同一直线O1f上升到f点，然后沿着原来的 曲线变化。如果把卸载后重新加载的

17、曲线O1fde和原来的 曲线相比较，可以看出比例极限有所提高，而断裂后的残余变形减小了OO1这一段。这种在常温下把材料拉伸到塑性变形，然后卸载，当再次加载时，使材料的比例极限提高而塑性降低的现象称为冷作硬化。,(2)灰铸铁拉伸时的力学性能灰铸铁(简称铸铁)也是工程中广泛应用的一种典型的脆性材料。铸铁拉伸时的 曲线如图2.18(a)所示。图中没有明显的直线部分，即不符合胡克定律，于是无法应用式(2.7)计算弹性模量。工程上常用总应变为0.1时曲线的割线即图2.18(a)中斜向的虚线来代替图中曲线的开始部分，并以割线的斜率作为铸铁的弹性模量，称为割线弹性模量。铸铁试件受拉伸直到断裂变形很不明显，没

18、有屈服阶段，也没有颈缩现象，破坏断口比较平整，如图2.18(b)所示，这表明铸铁试件拉伸破坏的原因是横截面上拉应力超出其承受极限所致。铸铁的延伸率1，是典型的脆性材料，强度极限b是衡量其强度的唯一指标。,图2.18,(3)其他材料拉伸时的力学性能金属材料。图2.19是工程中常用几种金属材料的 曲线。有些材料，如16Mn钢和低碳钢的性能相似，有明显的弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段。有些材料，如黄铜、铝合金等，则没有明显的屈服阶段。这些金属材料有很好的塑性，都是塑性材料。碳素钢随其含碳量的增加，屈服极限和强度极限也相应提高，但延伸率降低。合金钢、工具钢等高强度钢，其屈服极限较高，但塑性性质

19、却较差。,图2.19 图2.20,陶瓷材料。陶瓷材料包括碳化硅、氮化硅及氧化铝等。由于陶瓷材料具有强度高、质量轻、耐腐蚀、耐磨损及原料便宜等优点，因而近年来，国内外工程界展开了大量的研究，一些陶瓷材料已在工业生产中得到广泛应用。陶瓷是脆性材料，在常温下基本上不出现塑性变形，其延伸率和断面收缩率均近似于零，陶瓷材料的 曲线如图2.20所示，图中还画出一般金属材料的 曲线作比较。由图可以看出，陶瓷材料的弹性模量要比金属大得多，如氧化铝陶瓷的弹性模量，在室温下可达到380 GPa以上。在高温下，陶瓷材料有良好的抗蠕变性能，还具有一定的塑性。,2.4.2材料压缩时的力学性能材料在受压时的力学性能与受拉

20、时并不完全相同，因此，除拉伸试验外，还有必要做材料压缩试验。金属材料的压缩试样一般制成圆柱形，高度为直径的1.53.0倍，而混凝土、石料等的试样通常制成立方块。,低碳钢压缩时的 曲线如图2.21实线所示。为便于与拉伸时的力学性能比较，图中用虚线给出了低碳钢拉伸时的 曲线。可见，屈服阶段前，两曲线重合，说明低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限s与拉伸时是相同的。当应力达到屈服点以后，试样出现明显的塑性变形。由于低碳钢的塑性好，在屈服阶段后，如继续增大压力，其长度明显缩短，截面变粗。由于试样两端面与压头间摩擦力的影响，试样两端的横向变形将受到阻碍，所以试样被压成鼓形。随着外力的增加，试样越压越扁，但

21、并不会破坏，因此不存在抗压强度极限。类似情况在一般塑性材料中也存在，这类材料压缩时的力学性能可以通过拉伸试验测定。,图2.21,与塑性材料相反，脆性材料压缩时的力学性能与拉伸时有较大区别。图2.22所示为铸铁压缩时的 曲线。与图2.18(a)比较可知，铸铁的抗压强度远比抗拉强度高，为抗拉强度的25倍。铸铁压缩时也有较大的塑性变形，其破坏断面与横截面大致成4555倾斜角，如图2.22所示，这说明铸铁压缩破坏主要与斜截面切应力有关。,图2.22,综上所述，比较塑性材料与脆性材料的力学性能，可以看出两者主要具有以下区别：塑性材料在断裂前有很大的塑性变形，而脆性材料断裂前的变形很小。塑性材料抗拉压的强

22、度基本相同，因此既可以用于制作受拉构件，也可以用于制作受压构件。而脆性材料的抗压能力远比抗拉能力强，且其价格便宜，因此，适用于制作受压及减震的构件，如建筑物的基础、机器的基座、外壳等。,2.5*温度和时间对材料力学性能的影响下面简略介绍温度和时间对材料力学性能的影响。图2.23给出了低碳钢在高温和短期静载荷下拉伸试验的结果。总的来看，随着温度的升高，材料的塑性指标，增大，而强度指标s，b及弹性模量E均减小。但在300 以前，和b却有相反的现象。需要说明的是，并不是所有金属材料都是这样。 图2.23,试验表明：处于高温及不变的应力作用下，材料的变形会随着时间的延长而不断地缓慢增加，这种现象称为蠕

23、变。蠕变变形是不可恢复的变形，温度越高，蠕变变形越快。不同金属材料的蠕变温度不同，低熔点金属(如铅和锌等)，在常温下就有蠕变；而高熔点金属只有在高温下才有蠕变。一些非金属材料，如沥青、混凝土及塑料等，也有蠕变现象。,材料蠕变所产生的塑性变形，常使构件应力发生变化。一些在高温下工作的构件，如高压蒸汽管凸缘的紧固螺栓，其总变形不允许随时间而改变，但由于蠕变作用，其塑性变形不断增加，弹性变形却随时间而逐渐减小，从而使应力不断降低，螺栓的紧固力也随之降低，最终导致漏气。这种由于蠕变引起应力下降的现象称为应力松弛。因此，对于长期在高温下工作的紧固件，必须定期进行紧固或更换。,2.6拉(压)杆的强度计算构

24、件必须满足强度要求才能正常工作。但是，仅仅知道构件由于外力引起的工作应力，仍不足以判断构件是否安全。构件的强度还和材料所能承受的应力有关。工程中，将使得构件发生断裂或产生显著塑性变形时的应力称为材料的极限应力(或破坏应力)，用表示。在这种条件下，一方面很难精确地计算出作用在构件上的载荷；另一方面材料的均匀度、锈蚀，施工中的误差以及计算时力学模型的简化等也与实际存在着误差。因此，在强调极限应力的同时，还应确保构件具有一定的强度储备。工程中，通常将极限应力除以一个大于1的系数n作为应力的最高限度，称为许用应力，用表示，即,式中n安全系数。对于塑性材料的构件，当工作应力达到材料的屈服极限时，就会产生

25、较大的塑性变形而不能正常工作。因此，塑性材料通常以屈服极限s(或p0.2)为其破坏应力，其许用应力为式中ns按屈服极限规定的安全系数。,因为塑性材料的拉伸和压缩的屈服极限相同，故其拉压许用应力也相同。脆性材料没有屈服极限，以断裂时的强度极限b为其破坏应力，许用应力为式中nb按强度极限规定的安全系数。脆性材料拉伸和压缩的强度极限不同，因而许用拉应力和许用压应力也不相同。,安全系数的选定关系构件的安全性与经济性。过高的安全系数，会消耗过多的材料；而太小的安全系数，则又可能导致构件不安全。因此，在设计构件时，选择安全系数应该全面、合理地考虑。确定安全系数时，一般应考虑以下几个方面因素：载荷估计的准确

26、性。简化过程和计算方法的精确性。材料的均匀性。构件的重要性等。,此外，还应考虑构件的工作条件及使用寿命等因素。一般机械制造中，在静载荷情况下，安全系数的大致范围为ns=1.52.0，nb=2.05.0。基于上述分析，构件轴向拉伸或压缩时的强度条件为最大工作应力不超过材料的许用应力，即对于轴向拉(压)的等直杆，强度条件可改写为,利用强度条件，可以解决以下几类强度问题：校核强度。设计截面。已知拉(压)杆承受的载荷和材料的许用应力，利用式(2.14)的变换式 确定构件所需要的横截面面积的最小值。确定许可载荷。已知拉(压)杆的截面尺寸和材料的许用应力，利用式(2.14)的变换式 计算构件能承受的最大轴

27、力，进而确定构件所能承受的最大载荷。需要指出的是，如果最大工作应力略微大于许用应力，即一般不超过许用应力的5%，在工程上仍然被认为是允许的。,例2.2如图2.24(a)所示，用绳索起吊钢筋混凝土管。已知管子的质量W=10 kN，绳索的直径d=40 mm，材料的许用应力=10 MPa，试校核绳索的强度。 图2.24,解(1)计算绳索的轴力以钢筋混凝土管为研究对象，受力分析如图2.24(b)所示。根据对称性可知左右两段绳索轴力相等，由静力平衡方程有解得(2)校核强度根据强度条件，式(2.14)得所以绳索满足强度条件，能够安全工作。,例2.3如图2.25所示，油缸盖与缸体用6个螺栓连接。已知油缸内径

28、D=350 mm，油压p=1 MPa。螺栓许用应力=40 MPa。求螺栓的直径。 图2.25,解油缸盖受到的力每个螺栓承受的轴力为总压力的 即根据强度条件式(2.14)，得即由此解得螺栓直径为,例2.4简易起重设备如图2.26所示。已知杆AB和BC均为圆截面钢杆，直径均为d=36 mm，钢材的许用应力=170 MPa。试确定吊车的最大许可起质量W。 图2.26,解(1)计算AB，BC杆的轴力取节点B为研究对象，受力分析如图2.26(b)所示。由静力平衡方程有解得上式表明，AB杆受拉伸，BC杆受压缩。,(2)求许可载荷当AB杆达到许用应力时得当BC杆达到许用应力时得两者之间取小值，因此，该吊车的

29、最大许可起重量W=86.5 kN。,2.7拉(压)杆的变形等直杆在轴向力作用下，在平行和垂直于杆轴线方向将产生均匀的线变形，而无角变形。轴向拉伸时，轴向尺寸增大，横向尺寸缩小，如图2.27所示。反之，轴向压缩时，轴向尺寸缩小，横向尺寸增大。 图2.27,2.7.1轴向变形如图2.27所示，设等直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力P的作用下，长度由l变为l1。杆件在轴线方向的伸长即轴向变形为由于杆内各点轴向应力与轴向应变均匀分布，所以一点的轴向线应变即为轴向变形l除以原长l，即,当应力不超过比例极限时，应力与应变之间满足胡克定律式(2.6)，即再结合拉(压)杆横截面上的应力计算式(2.3)，

30、即得,需要说明的是，式(2.15)适用于杆件横截面面积A和轴力N皆为常量的情况。对于阶梯状拉(压)杆，需要将横截面面积A的突变面、轴力N的突变面和材料的突变面均作为控制面，由于相邻两控制面间的横截面面积Ai、轴力Ni和材料弹性模量Ei均为常数，所以阶梯状拉(压)杆的总变形为各段变形的代数和，即,若杆件横截面沿轴线变化，但变化平缓；轴力也沿轴线变化，但作用线仍与轴线重合，这时，可用相邻的横截面从杆中取出长为dx的微段，应用式(2.15)计算微段的变形为式中N(x)和A(x)分别表示轴力和横截面面积，它们都是x的函数。积分上式得杆件的变形量为,例2.5如图2.28所示的变截面杆，已知载荷P1=5

31、kN，P2=10 kN，BD，DA两段的横截面面积分别为A1=2 cm2，A2=4 cm2，材料的弹性模量E=120103 MPa。试求AB杆的变形lAB。 图2.28,解用截面法求得BD，DC，CA三段的轴力分别为根据式(2.15)可计算各段的变形量分别为根据式(2.16)，AB杆的变形其中，负号说明此杆缩短。,例2.6如图2.29所示，变截面杆是圆锥的一部分，杆件两端作用轴向拉力P。已知杆件长度为l，材料弹性模量为E，左右两端的直径分别为d1和d2。不计杆件的自重。试求杆件的变形。 图2.29,解设距左端为x的横截面的直径为d，按比例关系可以求出于是根据式(2.17)，变截面杆的伸长为,例

32、2.7图示三角形架 AB 和 AC 杆的弹性模量 E=200 GPa，求当 P=130 kN 时节点的位移。A1=2 172 mm2，A2=2 548 mm2。 图2.30,解以铰接点A点为研究对象(见图2.30(b)，由平衡方程可求解两杆的轴力且1 杆受拉，2 杆受压。在N1和N2的作用下，杆1将伸长到A1而杆2将缩短至A2，如图2.30(c)所示。根据式(2.15)得,假想在A点将两杆拆开，A点的新位置，是以B为圆心， 为半径所作的圆弧，与C点为圆心，以 为半径所作圆弧的交点。由于实际变形很小，上述两个圆弧可以近似用其切线(分别垂直于BA1和CA2)代替，两条切线的交点A3即为节点A的新位

33、置，AA3为节点A的位移。,由图2.30(d)可知于是A点位移,2.7.2横向变形如图2.27所示，若杆件变形前的横向尺寸为b，轴向拉伸变形后为b1，则杆的横向变形横向线应变为试验结果表明：当应力不超过比例极限时，杆件的横向应变和轴向应变之比的绝对值是一个常数，即其中，称为泊松比(或横向变形系数)，是一个无量纲的量。其值随材料而异，通过试验确定。,对于轴向拉(压)变形，当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩短时横向增大，所以横向应变和轴向应变的符号始终是相反的。因此，和的关系可以写成,弹性模量E和泊松比是材料固有的两个弹性常数。表2.1给出了一些常用材料的E和的约值。 表2.1,2.8拉、压超静定

34、问题2.8.1超静定问题的概念前面所讨论的问题中，约束反力和杆件的内力都可以用静力平衡方程式求得。这种能用静力平衡方程式求解的问题，称为静定问题。相反，仅用静力平衡方程不能求解的问题，就 称为超静定或静不定问题。例如，如图2.31(a) 所示的悬臂吊车，其受力如图2.31(b) 所示，根据 AB 杆的平衡条件可列出个独立的平衡方程，即 ，然而未知力却有4个，即XA，YA,N1和N2，显然，仅用静力平衡方程式不能求出全部的未知量，所以该问题为超静定问题。未知力数比独立平衡方程数多出的数目，称为超静定次数。故上述问题为一次超静定问题。,图2.31,2.8.2超静定问题的解法现以一简单问题为例来说明

35、超静定问题的解法。如图2.32(a) 所示的结构，假设1，2，3杆的弹性模量为E，横截面面积为A，杆长为L。横梁AB的刚度远远大于1 ，2，3杆的刚度，因此可将横梁看成刚体，在横梁上作用的载荷为P。若不计横梁的自重，试确定1，2，3杆的轴力。,图2.32,设在载荷P作用下，钢梁移动到A1B1位置(见图2.32(b)，则各杆皆受拉伸。设各杆的轴力分别为 N1,N2和N3且均为拉力(见图2.32(c)。由于该力系为平面平行力系，只可能有两个独立平衡方程，然而未知力却有个，故为一次超静定问题。解这类问题应先列出静力平衡方程，即,要求出3个轴力，必须还要列出一个补充方程。在P力作用下，3根杆的伸长不是

36、任意的，它们之间必须保持一定的互相谐调的几何关系。这种几何关系称为变形谐调条件。由于横梁AB可视为刚体，故该结构的变形谐调条件为A1，B1，C1 3点仍在一直线上(如变形图2.32(b)所示 )。设L1，L2，L3，分别为1，2，3 杆的变形，根据变形的几何关系可以列出谐调条件为,杆件的变形和内力之间存在着一定关系，称为物理关系。当应力不超过比例极限时，由虎克定律可知将物理关系代入变形谐调条件，即可建立内力之间应保持的相互关系，这个关系就是所需的补充方程。也就是说，将式(d)代入式(c)得,整理后得式(e)就是我们所要建立的补充方程。将式(a)，式(b)，式(e)联立求解，得,由该例题可以看出

37、，所设各杆的轴力是拉力还是压力，要以图形中所反映的变形是伸长或是缩短为依据，两者必须一致。经计算可知，1，2 杆的轴力为正，说明与假设一致，变形为伸长。而 N3为负，说明与假设相反，实际的变形为缩短。,综上所述，求解超静定问题须从3个方面进行考虑，即静力学关系、几何关系及物理关系。利用这些关系列出静力平衡方程和补充方程，即可求解。若对拉压超静定问题作强度计算，应先解出各杆的轴力，然后进行强度计算，其方法与静定问题的解法相同。,2.8.3温度应力在工程实际中，构件或结构物会遇到温度变化的情况。例如，工作条件中温度的改变或季节的变化，这时杆件就会伸长或缩短。对于静定结构，由于可以自由变形，当温度变

38、化时不会使杆内产生应力。但在超静定结构中，由于约束增加，变形受到部分或全部限制，温度变化时就会使杆内产生应力，这种应力称为温度应力。计算温度应力的方法与超静定问题的解法相似，不同之处在于杆内变形包括两个部分：一是由温度引起的变形；二是外力引起的变形。,如图2.33(a) 所示的杆件，两端与刚性支撑面连接。当温度变化时，因固定端限制了杆件的伸长或缩短，因而支承面两端就产生了约束反力，两约束反力用RA和RB表示(见图2.33(b)。 图2.33,由静力平衡方程 得出由于未知支反力有两个，而独立的平衡方程只有一个，因此是一个一次超静定问题。要求解该问题必须补充一个变形谐调条件。假想拆去右端支座，这时

39、杆件可以自由地变形，当温度升高T时，杆件由于升温而产生的变形(伸长)为式中a材料的线膨胀系数。,然后，在右端作用RB，杆由于RB作用而产生的变形(缩短)为式中E材料的弹性模量；A杆横截面面积。事实上，杆件两端固定，其长度不允许变化，因此必须有,这就是该问题的变形谐调条件。将式(b)、式(c)代入式(d)得则由于轴力 NRB，故杆中的温度应力为当温度变化较大时，杆内温度应力的数值是十分可观的。例如，一两端固定的钢杆，12.510-6，当温度变化40 时，杆内的温度应力为,在工程实际中，为了避免过大的温度应力，往往采取某些措施以有效地降低温度应力。例如，在管道中加伸缩节(见图2.34)，在钢轨各段

40、之间留伸缩缝，这样可以削弱对膨胀的约束，从而降低了温度应力。 图2.34,例2.8刚性无重横梁 AB 在 O 点处铰支，并用两根抗拉刚度相同的弹性杆悬吊着，如图 2.35(a)所示，当两根吊杆温度升高T时，求两杆内所产生的轴力。,图2.35,解(1)列静力平衡方程截取如图 2.35(b)所示的研究对象，设 1 杆的轴力为 N1，2 杆的轴力为 N2。由静力平衡方程可得,(2)列变形几何方程假想拆除两杆与横梁间的联系，允许其自由膨胀。这时，两杆由于温度而产生的变形均为lT=Tl。把已经伸长的杆与横梁相连接时，两杆内就分别引起了轴力N1和 N2，并使两杆再次变形。由于两杆变形使横梁绕 O 点转动，

41、最终位置如图2.35(b)中虚线所示，图中的l1和l2分别为1，2杆所产生的总变形，包括温度和轴力所引起的变形。由变形谐调条件得,(3)列出物理方程将式(c)代入式(b)得式(d)即为补充方程。联立求解式(a)和式(d)可得其中，N1为负值，说明 1 杆是受压力，轴力与所设的方向相反。,2.8.4装配应力构件制造上的微小误差是难免的。在静定结构中，这种误差只会影响结构几何形状的微小改变，不会使构件产生应力。如图2.36所示结构，若杆AB比预定的尺寸作短了一点，则与杆AC连接后，只会引起A点位置的微小偏移，如图中虚线所示。 图2.36,但在超静定结构中，情况就不一样了，杆件几何尺寸的微小差异，还

42、会使杆件内产生应力。如图 2.37(a)所示的杆系结构中，设杆3比预定尺寸作短了(与杆件长度相比是一极小量 )，若使三杆连接，则需将杆3拉长，杆1，2压短，强行安装于A点处。此时，杆3中产生拉应力，杆1、2中产生压应力,如图 2.37(b)所示。这种由于安装而引起的应力称为装配应力。计算装配应力的方法与解超静定问题的方法相似，仅在几何关系中考虑尺寸的差异。下面举例说明。,图2.37,例2.9在如图2.37(a)所示的杆系结构中，设杆3的设计长度为l，加工误差为，其实际长度为(l-)。已知杆3的抗拉刚度为E3A3，杆1和杆2的抗拉刚度为E1A1。求3杆中的轴力 N1，N2和N3。,解3杆装配后，

43、杆1，2受压，轴力N1，N2为压力，杆3受拉，轴力N3为拉力。取结点 A为研究对象，受力图如图 2.35(b)所示。由于该结点仅有两个独立的静力平衡方程，而未知力数目为3，故是一次超静定问题。,根据结点A的平衡条件，有由此可得,由图2.37(a)可知，其变形的几何关系为根据物理关系可得,将式(e) 、式(f) 代入式(d)可得补充方程为联立求解式(c)和式(g)可得,由计算结果为正可知，轴力的方向与所设方向相同。由本例的结果可以看出，在超静定问题中，各杆的轴力与各杆间的刚度比有关，刚度越大的杆，承受的轴力也越大。用各杆横截面面积分别去除各杆中的轴力，即可得到各杆的装配应力。,装配应力是结构未承受载荷前已具有的应力，故也称为初应力。在工程实际中，如果装配应力与构件工作应力相叠加后会使构件内应力更高，则应避免它的存在。但有时也可利用它以达到某些预期要求，如在机械制造中的紧密配合和土木结构中的预应力钢筋混凝土等可以提高结构的承载能力。,2.9应力集中的概念等截面直杆在轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。但是，由于工程实际的需要，有些构件必须有圆孔、切口、螺纹等，在这些部位上，构件的截面尺寸发生突然变化。实验结果和理论分析表明，在构件形状尺寸发生突变的截面上，应力不再是均匀分布。如图2.38(a)、(b)所示的开有