难点7-双变量的“任意性”“存在性”问题

1、难点7双变量的“任意性”与“存在性”问题1.“存在=存在”型x1D1,x2D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集不为空集,即AB.其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.典例1已知函数f(x)=x2-23ax3,a0,xR.g(x)=1x2(1-x).若x1(-,-1,x2-,-12,使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.解析f(x)=x2-23ax3,f (x)=2x-2ax2=2x(1-ax).令f (x)=0,得x=0或x=1a.a0,1a0,当x(-,0)时, f (x)0,f(x

2、)在(-,-1上单调递减, f(x)在(-,-1上的值域为1+2a3,+.g(x)=1x2(1-x),g(x)=3x2-2x(x2-x3)2=3x-2x3(1-x)2.当x0,g(x)在-,-12上单调递增,g(x)g-12=83,g(x)在-,-12上的值域为-,83.若x1(-,-1,x2-,-12,使得f(x1)=g(x2),则1+2a383,a52.故实数a的取值范围是0,52.对点练已知函数f(x)=-16x+112,0x12,x3x+1,120),若存在x1,x20,1,使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是() A.12,32B.1,2)C.12,2D.1,32答案

3、C设函数f(x),g(x)在0,1上的值域分别为A,B,则“存在x1,x20,1,使得f(x1)=g(x2)成立”等价于“AB”.当0x12时, f(x)=-16x+112单调递减,所以0f(x)112;当120,所以f(x)=x3x+1单调递增,1120,所以g(x)=asin6x-a+1在0,1上单调递增,其值域B=1-a,1-a2.由AB,得01-a12或01-a212,解得12a2.故选C.2.“任意=存在”型x1D1,x2D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B的子集,即AB.其等价转化的基本思想:函数f(x)的任意一个函数值

4、都与函数g(x)的某一个函数值相等,即f(x)的函数值都在g(x)的值域之中.典例2已知函数f(x)=4x2-72-x,x0,1.(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x0,1.若对于任意的x10,1,总存在x00,1,使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解析(1)f (x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2,x0,1.令f (x)=0,解得x=12或x=72(舍去).当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表所示:x00,121212,11f (x)-0+f(x)-72-4-3所以f(

5、x)的递减区间是0,12,递增区间是12,1.f(x)min=f12=-4,又f(0)=-72, f(1)=-3,所以f(x)max=f(1)=-3.故当x0,1时, f(x)的值域为-4,-3.(2)“对于任意的x10,1,总存在x00,1,使得g(x0)=f(x1)成立”等价于“在x0,1上,函数f(x)的值域B是函数g(x)的值域A的子集,即BA”.因为a1,且g(x)=3(x2-a2)0),xR.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1(2,+),都存在x2(1,+),使得f(x1)f(x2)=1.求a的取值范围.解析(1)由已知,有f (x)=2x-2ax2(a0).

6、令f (x)=0,解得x=0或x=1a.当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x(-,0)00,1a1a1a,+f (x)-0+0-f(x)013a2所以, f(x)的单调递增区间是0,1a;单调递减区间是(-,0),1a,+.当x=0时, f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=1a时,f(x)有极大值,且极大值f1a=13a2.(2)由f(0)=f32a=0及(1)知,当x0,32a时, f(x)0;当x32a,+时, f(x)2,即0a34时,由f32a=0可知,0A,而0B,所以A不是B的子集.当132a2,即34a32时,有f(2)0,且此时f(x)在(2,+)

7、上单调递减,故A=(-, f(2),因而A(-,0);由f(1)0,有f(x)在(1,+)上的取值范围包含(-,0),即(-,0)B.所以,AB.当32a32时,有f(1)、g(x2)恒成立,等价于f(x)ming(x)max,或等价于f(x)g(x)max恒成立,或等价于f(x)ming(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均大于函数g(x)的任何一个函数值.x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)恒成立,等价于f(x)maxg(x)min,或等价于f(x)g(x)min恒成立,或等价于f(x)maxk恒成立,等价于f(x1)-g(x2)mink恒成立,也等价于f(

8、x)min-g(x)maxk.x1D1,x2D2,f(x1)-g(x2)k恒成立,等价于f(x1)-g(x2)maxk恒成立,也等价于f(x)max-g(x)min0时,x23,f (x)0时,0x0,2xln x0,所以u(x)在12,1上递增;当x(1,2)时,1-x0,则u(x)g(x2)恒成立,通常等价转化为f(x)ming(x)max.这是两个独立变量双变量问题,不等式两边f(x1),g(x2)中自变量x1,x2可能相等,也可能不相等;(2)对任意的xm,n,不等式f(x)g(x)恒成立,通常等价转化为f(x)-g(x)min0.这是单变量问题,不等式两边f(x),g(x)的自变量x

9、相等.对点练函数f(x)=mxx2+1+1(m0),g(x)=x2eax(aR).(1)直接写出函数f(x)的单调区间;(2)当m0时,若对于任意的x1,x20,2, f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围.解析(1)当m0时,f(x)的递增区间是(-1,1);递减区间是(-,-1),(1,+).当m0时,“对于任意的x1,x20,2,f(x1)g(x2)恒成立”等价于“对于任意的x0,2,f(x)ming(x)max成立”.当m0时,由(1)知,函数f(x)在0,1上单调递增,在1,2上单调递减,因为f(0)=1,f(2)=2m5+11,所以f(x)min=f(0)=1,故应满足1g(x

10、)max.因为g(x)=x2eax,所以g(x)=(ax2+2x)eax.当a=0时,g(x)=x2,此时g(x)max=g(2)=4,不满足1g(x)max.当a0时,令g(x)=0,得x=0或x=-2a.(i)当-2a2,即-1a0时,在0,2上,g(x)0,g(x)在0,2上单调递增,g(x)max=g(2)=4e2a.由14e2a,得a-ln 2,所以-1a-ln 2.(ii)当0-2a2,即a-1时,在0,-2a上,g(x)0,g(x)递增;在-2a,2上,g(x)0,g(x)递减.g(x)max=g-2a=4a2e2,由14a2e2,得a-2e,所以a-1.(iii)当-2a0时,

11、显然在0,2上,g(x)0,g(x)单调递增,于是g(x)max=g(2)=4e2a4,此时不满足1g(x)max.综上,a的取值范围是(-,-ln 2.4.“任意(、g(x2)成立,等价于f(x)ming(x)min.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任意一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值,但并不要求大于函数g(x)的所有函数值.x1D1,x2D2,使得f(x1)g(x2)成立,等价于f(x)maxk成立,等价于f(x)min-g(x)mink.x1D1,x2D2,使得f(x1)-g(x2)k成立,等价于f(x)max-g(x)maxk.典例4函数f(x)=ln x-14x+34x-

12、1,g(x)=x2-2bx+4,若对任意的x1(0,2),存在x21,2,使得f(x1)g(x2)成立,求实数b的取值范围.解析“对任意的x1(0,2),存在x21,2,使得f(x1)g(x2)成立”等价于“f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在1,2上的最小值,即f(x)ming(x)min(*)”.f (x)=1x-14-34x2=-(x-1)(x-3)4x2,当x(0,1)时, f (x)0, f(x)单调递增.故当x(0,2)时, f(x)min=f(1)=-12.又g(x)=(x-b)2+4-b2,x1,2,当b3,此时与(*)矛盾;当b1,2时,g(x)min=g(b)=4

13、-b20,同样与(*)矛盾;当b(2,+)时,g(x)min=g(2)=8-4b,由8-4b-12,得b178.综上,实数b的取值范围是178,+.对点练已知函数f(x)=13x3+x2+ax.(1)若f(x)在区间1,+)上单调递增,求a的最小值;(2)若g(x)=xex,x112,2,x212,2,使得f (x1)g(x2)成立,求a的取值范围.解析(1)由题设知f (x)=x2+2x+a0,即a-(x+1)2+1在1,+)上恒成立,而y=-(x+1)2+1在1,+)上单调递减,则ymax=-3,a-3,amin=-3.(2)“x112,2,x212,2,使f (x1)g(x2)成立”等价

14、于“x12,2时,f (x)maxg(x)max恒成立”.f (x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在12,2上递增,f (x)max=f (2)=8+a,又g(x)=ex-xexe2x=1-xex,g(x)在(-,1)上递增,在(1,+)上递减.当x12,2时,g(x)max=g(1)=1e,由8+a1e得,a1e-8,所以a的取值范围是-,1e-8.5.“存在(、g(x2)成立,等价于f(x)maxg(x)min.其等价转化的基本思想是函数f(x)的某一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值,即只要有这样的函数值即可.若x1D1,x2D2,使得f(x1)g(x2)成立,等价于f(x)

15、mink成立,等价于f(x1)-g(x2)maxk,也等价于f(x)max-g(x)mink.若x1D1,x2D2,使得f(x1)-g(x2)k成立,等价于f(x1)-g(x2)mink,也等价于f(x)min-g(x)maxg(x2),求实数a的取值范围.解析(1)当a=0时,函数f(x)的递减区间为0,34,递增区间为34,+.当0ag(x2)”等价于“ 当x12,2时, f(x)maxg(x)min”.由(1)知,当x12,2时, f(x)max=f12=-4ln 2+32a+6,由g(x)=2ex-40,得xln 2,所以g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+)上单调递

16、增,故当x12,2时,g(x)min=g(ln 2)=4-4ln 2+2a,由f(x)maxg(x)min,得-4ln 2+32a+64-4ln 2+2a,又a1,所以1a4.对点练设函数f(x)=xlnx-ax.(1)若函数f(x)在(1,+)上为减函数,求实数a的最小值;(2)若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f (x2)+a成立,求实数a的取值范围.解析(1)由题设知f (x)=lnx-1(lnx)2-a0在(1,+)上恒成立,则只需f (x)max0.又f (x)=lnx-1(lnx)2-a=-1lnx-122+14-a,所以当1lnx=12,即x=e2时, f (x)max=14-a,由14-a0得a14,故a的最小值为14.(2)“存在x1,x2e,e2,使f(x1)f (x2)+a成立”等价于“当x1,x2e,e2时, f(x1)minf (x2)max+a”.由(1)知,当xe,e2时, f (x)max=f (e2)=14-a,所以f (x)max+a=14.则问题等价于“当xe,e2时, f(x)min14”.当a14时,由(1)得f (x)max=14-a0,