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文档简介
1、湘教版SHUXUE八年级下,角平分线的性质(一),1、角是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?,2、什么是角平分线 一条射线将一个角分成为两个相等的角, 这条射线就叫做这个角的角平分线。,如图AOB沿射线OC对折, AOC 和COB重合。,如上图,射线OC是AOB的平分线。,A,你能证明吗?,3、用尺规作已知角的平分线:,作法:1以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N,3作射线OC,射线OC即为所求,如图:画AOB平分线OC,在OC上任取一点P,作PDOA,垂足为D,PEOB,垂足为E,试问PD与PE相等吗?你能得出什么结论?,PDOPEO(AAS),在OP上再取一个P点试一
2、试,结论成立吗?,将AOB沿OC对折,发现PD与PE重合,即:PD=PE.,已知:OC是AOB的平分线, 点P在OC上,PD OA ,PE OB, 垂足分别是D、E. 求证:PD=PE.,角平分线上的点到角的两边的距离相等,题设:一个点在一个角的平分线上,结论:它到角的两边的距离相等,用符号语言表示为:,1= 2,PDOA ,PEOB PD=PE.,交换定理的题设和结论得到的命题为:,到角的两边的距离相等的点,在角平分线上。,角平分线的性质,注意:性质的三个条件必须齐全,缺一不可。,角的内部到角的两边距离相等的点,在角平分线上。,角平分线的判定定理:,用符号语言表示为:,PD OA ,PE O
3、B,PD=PE 1= 2 .,分析:如何量化表示结论?(连接OP,证明1= 2 . 则OP是角平分线,即点P在AOB的平分线上),证明:RtPDORtPEO(HL)即可,角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.,如图:已知P点是AOB内一点,PD OA ,PE OB,垂足分别是D、E,且PD=PE. 求证: 点P在AOB的平分线上。,举 例,1、如图,BAD= BCD=900 ,1= 2 . (1)求证:点B在ADC的平分线上 . (2)求证:BD是ABC的平分线 .,证明:(1) 1= 2 BA=BC,,点B在ADC的平分线上,(2)在RtBAD和RtBCD中,, BA=BC BD=B
4、D, RtBADRtBCD (HL),ABD= CBD, BD是ABC的平分线,BAD= BCD=900, BA AD,BC CD,例2、如图,在RtABC 中,C=90,BD是AB C的平分线 ,DEAB,垂足为E,图中相等的线段有哪些?为什么?, C=90 (已知) DCBC(垂直的定义) 又 BD是ABC的平分线 DEBA(已知) DE=DC(角平分线上的任意点到角的两边的距离相等),答: (1) DE=DC,(2) BE=BC,角平分线的性质,为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径,做完本题后,你对角平分线,又增加了什么认识?,1、填空: (1). 1= 2,DCAC, DEAB
5、 _ (_) (2). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ ( ),1= 2,DC=DE,到角的两边的距离相等的点在角平分线上。,角平分线上的点到角的两边的距离相等,(3)如图所示,在ABC中,C=90,AD是BAC的平分线交BC于D,BC=15,且DB=10,则点D到AB的距离为 。,5,(3) AD平分BAC, DCAC,DBAB (已知) BD = CD , ( ),(2) 如图,DCAC,DBAB (已知) BD = CD,( ),2、判断以下所填结论是否正确:,(1) 如图,AD平分BAC(已知) BD= CD ( ),3.如图,ABC中,A=90,BD平分ABC,AD=6,BC
6、=16,DEBC,求BDC面积。, DE=AD=6(角平分线上的任意点 到角的两边的距离相等),解: A=90 (已知), DAAB(垂直的定义),又 BD是ABC的平分线, DEBA DEBC(已知),4.已知:如图,C=D=90 ,AC=AD . 求证:(1) ABC= ABD ; (2)BC=BD.(要求不用三角形全等的判定),证明: (1)C= D=90, BAD和BCD均为直角三角形,,又AC= AD,AB=AB RtBADRtBCD (HL),ABC= ABD,(2)由(1)得: CAB= DAB,即:AB是CAD的平分线,C= D=90,即:BCAC,BDAD, BC=BD,1.角平分线的性质定理: 在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角平分线上。,3.角平分线的性
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