§7.4 基本不等式及其应用.ppt

1、,山东金榜苑文化传媒集团,步步高大一轮复习讲义,基本不等式及其应用,临沂第一中学 XXX,高三数学第一轮复习,基本不等式及其应用,不等关系及不等式,二元一次不等式(组)与平面区域,简单的线性规划问题,不等式的基本性质,一元二次不等式及其解法,绝对值不等式,基本不等式,不等式的实际应用,两个实数大小的比较,最大(小) 值问题,绝对值的解法,忆 一 忆 知 识 要 点,1. 基本不等式,(1)基本不等式成立的条件:_. (2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号.,a0, b0,ab,2. 几个重要的不等式,3. 算术平均数与几何平均数,设a0，b0，则a，b的算术平均数为_,几何平均数为_,基本不

2、等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,4. 利用基本不等式求最值问题,已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时, xy有最_值是 . (简记：积定和最小) (2)如果和xy是定值 p, 那么当且仅当_时, xy有最_值是 . (简记：和定积最大),小,大,A,B,利用基本不等式证明简单不等式,利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题,利用基本不等式求最值,利用基本不等式求最值,利用基本不等式求最值,利用基本不等式求最值时，必须注意三

3、点：“一正,二定，三相等”，缺一不可如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积)化为定值,B,16,基本不等式的实际应用,【例3】围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元) (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用,(1)利用基本不等

4、式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息,理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解 (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到,可利用函数单调性求解,如图所示,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为12，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2,设该铝合金窗的宽和高分别为a cm,b cm,铝合金窗的透光部分的面积为S cm2. (1)试用a，b表示S； (2)若要使S最大, 则铝合金窗的宽和高分别为多少?,07,基本不等式等号成立的条件把握不

5、准致误,(1)这类题目考生总感到比较容易下手.但是解这类题目却又常常出错 (2)利用基本不等式求最值, 一定要注意应用条件:即一正、二定、三相等. 否则求解时会出现等号成立条件不具备而出错. (3)本题出错的原因前面已分析,关键是忽略了等号成立的条件.,方法二,1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点 2.恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形比如：,1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”

6、的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可 2在运用重要不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件 3连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致,作业布置,作业纸:,课时规范训练:P.1-2,预祝各位同学， 2013年高考取得好成绩!,一、选择题,二、填空题,A组专项基础训练题组,三、解答题,三、解答题,一、选择题,二、填空题,B组专项能力提升题组,8某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2

7、的十字型区域现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2. (1)设总造价为S元,AD的长为x m, 试建立S关于x的函数关系式； (2)计划至少投入多少元,才 能建造这个休闲小区.,三、解答题,三、解答题,F,1.不等式链 (a0, b0),加权平均数,调和平均数,几何平均数,算术平均数,2.定理的变式,(1)a2+b22ab,(a0,b0),(a、b同号）,(a0）,(a0）,(a 、bR),探究：下面几道题的解答可能有错，如果错了,那么错在哪里？,一不正，需变号,

8、二不定，要变形,三不等，用单调,基本不等式基本题型,4,8,6,8,例1求函数 的最大值.,一不正，需变号,例2.求函数 的最大 值.,当且仅当 时取“=”号.,即当x=1时, 函数的最大值为1.,二不定，要变形,依据:利用函数 (t0)的单调性.,t(0,1单调递减, t1,+)单调递增.,解:,例3.求函数 的最小值.,在1,+)上单调递增.,三不等，用单调,当且仅当,时取“=”号.,“1”代换法,例4.已知正数x, y满足2x+y=1, 求 的最小值.,解: (方法一）,例5.若正数a, b 满足 ab = a+b+3, 求 ab 的取值范围.,当且仅当,即a=b = 3时取等号.,即

9、a=3 时,取等号.,（方法二）,当且仅当,所以 ab9.,例6. 已知a, b是正数，且a+b=1. 求证：,例6. 已知a, b是正数，且a+b=1. 求证：,【1】下列函数的最小值为2的是( ),【2】若正数x, y 满足 xy (x+y)=1, 则有( ),A,D,练一练,【4】函数 的最大值是_.,【3】已知正数x, y满足x+2y=1, 则 的最小值,是_.,【解题回顾】错误的原因在于两次运用均值定理时取等号的条件矛盾.(第一次须xy，第二次须x2y).,练一练,所以 的最大值是,【5】若正数a, b 满足 , 求 的最大值.,即 时,取等号.,当且仅当,练一练,C,练一练,4,练

10、一练,【8】,练一练,C,化归与转化思想,恒成立,则,n的最大值是( ),A.2 B.3 C.4 D.5,【9】,练一练,恒成立,则,n的最大值是( ),A.2 B.3 C.4 D.5,【9】,恒成立,练一练,【10】,D,补偿练习,补偿练习,B,CD,E,C,“十一”节日期间,甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销,以便吸引更多的顾客进行消费.甲商场采取的促销方式是在原价 a 折的基础上再打 b 折；乙商场的促销方式则是两次都打 折.,如果你是顾客, 你会进哪个商店采购？,创设情境,第24届国际数学家大会(简称ICM)于2002年8月25日在北京举行.,创设情境,第二十四届国际数学家大会会

11、标,ICM 2002 会标,赵爽：弦图,大会会标设计的基础是公元3世纪中国数学家赵爽的弦图.会标对这个图进行了加工变形.首先,打开外面正方形的边并放大里面的正方形,这代表着数学家思想的开阔以及中国的开放.颜色的明暗使它看上去更像一个旋转的纸风车,这代表着北京人的热情好客.,新世纪第一次，,发展中国家第一次,世界数学最高盛会，,中国数学百年机遇,这届国际数学家大会主席由我国著名数学家,中科院院士,2000年度国家最高科学技术奖得主吴文俊担任.,第24届国际数学家大会(简称ICM)于2002年8月20 28日在北京举行.,国家主席江泽民出席大会开幕式并为本届菲尔茨奖获得者颁奖.,数学趣苑,赵爽,中

12、国古代数学家，东汉末至三国时代的人，他的主要贡献是约在222年深入研究了周髀算经，为该书写了序言，并作了详细注释，其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”,数学趣苑,数学界的战略科学家中科院院士吴文俊,吴文俊在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献，在国内外享有盛誉. 他在拓扑学的示性类、示嵌类的研究方面取得一系列重要成果，是拓扑学中的奠基性工作，并有许多重要应用.他创立的“吴文俊方法”在国际机器证明领域产生巨大的影响，有广泛的重要的应用价值.,数学趣苑,国际数学家大会（简称ICM）已有100多年历史.1897年,首届国际数学家大会在瑞士苏黎世举行.1900年巴黎大会后,每4年举行一次,除了两次世界大战期间中断,一直延续至今.它是最高水平的全球性数学科学学术会议,被誉为数学界的“奥运会”.,数学趣苑,丘成桐，1949年生,广东汕头人,1969年毕业于香