创新设计2011第九章直线平面简单几何体9-43.ppt

1、理解平面的基本性质/会用斜二测画法画水平放置简单几何体的直观图/能够画出空间的两条直线、直线和平面的各种位置关系的直观图形/能够根据图形想象它们的位置关系/掌握两条异面直线所成的角的概念,第九章 直线 平面 简单几何体 第43课时 平面的基本性质及空间的两条直线,1平面的基本性质 公理1如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内 公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有 这些公共点的集合是一条过这个公共点的 ,两点,直线,公理3经过 同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1经过一条直线和直线 有且只有一个平面； 推论2经过两条 直线有且只有

2、一个平面； 推论3经过两条 直线有且只有一个平面； 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行,不在,外的一点,相交,平行,2异面直线的定义：不同在 平面内的两条直线叫做异面直线 3异面直线定理：连结 与平面外一点的直线，和平面内不经过此点的 直线是异面直线 4异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 aa，bb，a，b所成的角的大小与点O的选择无关，把a，b所 成的 叫异面直线a，b所成的角异面直线所成的角的范围： (0， ,任何一个,平面内一点,锐角(或直角),5异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是 ，则两条异面直线垂直两条异面直线a，b垂直，记作ab.,直角,1

3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成() A5部分 B6部分 C7部分 D8部分 答案：C,2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中 点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是() A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 答案：D,3(2009全国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的 中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为() A. B. C. D. 解析：如图，连接A1B，则A1BE即为所求，设AB1， 在A1BE中，A1E1，BE ，A1B . cosA1BE . 答案：C,4下列各图是

4、正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四 个点共面的图形是_(写出符合要求序号),解析：在选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四 点不共面可证中PQRS为梯形；中可证PQRS为平行四边形；中 如图取A1A与BC的中点分别为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且 PMQNRS为正六边形 答案：,本题型是利用平面的性质证明若干元素(点或直线)共面，常有两种方法：方法一是根据公理3或推论确定一个平面，然后再证其他元素也在这个平面内；方法二是先根据公理3或其推论确定出两个平面，然后再证明这两个平面重合解决此类问题的方法是将立体几何问题转化为平面几何问题,【例1】

5、如图，已知直线a、b、c、l满足abc且alA，blB，clC， 证明四条直线a，b，c，l在同一平面内 证明：alA，直线a与l确定一个平面，此平面设为；又ab，则a 与b也确定一个平面设为，而平面与平面都过直线a与直线a外一点 B，因此与为同一平面，因此b，同理可证c，因此直线a、b、 c、l在同一平面内.,利用两平面交线的唯一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法证明点共线的方法从另一个角度讲也就是证明三线共点的方法 证明线共点，基本方法是先确定两条直线的交点，再证交点在第三条直线上，也可将直线归结为两平面的交线，交点归结为两平面的公共点，由公理2证明点在直线上,【例2

6、】 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分 别是边BC、CD上的点， (1)若F、G分别为BC、CD的中点，试证EFGH为平行四边形； (2)若 2，试证EF、AC、HG相交于一点,证明：(1)如图连结AC，BD，则EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，则EFGH为平行四边形 (2)E、H分别是AB、AD的中点，EH綊 BD；又 2， FG綊 BD，EFGH为梯形，则EF，GH相交于一点O，即OEF，OGH，O平面ABC，O平面ADC，又面ABC面ADCAC，则OAC，即EF、AC、HG相交于一点,变式2.(1)三个平面两两相交，则三个平面的交线可能有_，

7、可 能将整个空间划分为_ (2)已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者 相交于一点 答案：(1)一条或三条若三个平面有一条交线，则三个平面将空间分 为六部分，若三个平面有三条交线可将空间分为七或八部分(2)证明略,与异面直线相关的问题有异面直线的判定，异面直线所成的角，异面直线的公垂线及异面直线间的距离，这其中最重要的是异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般是通过平行线首先找到它们所成的角，然后放到三角形中，通过解三角形求之 对于异面直线所成的角也可利用空间向量来求,【例3】 如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中 心，E、F分别是CC1

8、、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角 的余弦值等于() A. B. C. D.,解析：解法一：连结AC、AC1，则O为AC中点，AC1OE，取A1D1中点M，连结AM，MC1，由AF綊MD1知四边形AFD1M为平行四边形，AMD1F，则MAC1或其补角为异面直线所成角，可求AC12 ，AMMC1 ，在MAC1中，cosMAC1 .,评注：还可采用以下两种作辅助线的方法，求异面直线OE和FD1所成角的余弦值，如图所示： (1)取C1D1中点M，连结OM、ME，解MOE； (2)取BC中点G，GC中点M，连结C1G、EM、MO，解OEM.,解法二：以D为空间坐标原点，如图，建立空间直角坐

9、标系，则D1(0,0,2)，F(1，0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，FD1(1,0,2)，OE(1,1,1)，FD1OE3，cos ， 即两条异面直线D1F与OE所成角的余弦值为 . 答案：B,变式3.如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与 AD1所成角的余弦值为() A. B. C. D.,解析：如图，连结BC1，A1C1，则A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角，设AB1，在RtA1AB中，A1B ，则BC1A1B ， 在RtA1B1C1中，A1C1 ， 在A1BC1中，cosA1BC1 . 答案：D,1由公理3及公理3的推论结合公理1

10、，可证明点线共面问题，如例1及变式将立 体几何问题转化为平面几何问题 2利用公理2可证明点共线，线共点等问题,【方法规律】,3求异面直线所成的角，是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角，可通过余弦定理解三角形，而作辅助线主要是作已知直线的平行线， 具体可利用平行四边形对边平行，三角形或梯形的中位线与底边平行等，而 对两条异面直线的判定可根据“连结平面外一点和平面内一点的直线与平面 内不经过此点的直线是异面直线” 这个结论是对异面直线直接判定的重要依据，也是求异面直线成角作辅助线 的 重要依据之一，也可利用向量的夹角求异面直线所成的角 4 求异面直线所成的角无论是用几何法还是向量法都要

11、特别注意异 面直线成 角的范围是(0，90.,(本题满分12分)如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱 (1)求证：BD平面ACC1A1； (2)已知二面角C1BDC的大小为60，求异面直线BC1与AC所成角的大小.,解答：解法一：(1)证明：ABCDA1B1C1D1是正四棱柱， CC1平面ABCD，BDCC1，ABCD是正方形，BDAC， 又AC、CC1平面ACC1A1，且ACCC1C， BD平面ACC1A1.,【答题模板】,(2)如图，设BD与AC相交于O，连结C1O.CC1平面ABCD，BDAC，BDC1O，C1OC是二面角C1BDC的平面角，C1OC60. 连结A1B，A1C1AC，

12、A1C1B是BC1与AC所成的角设BCa， 则CO a，CC1COtan 60 a，A1BBC1 a，A1C1 a. 在A1BC1中，由余弦定理得，cosA1C1B ， A1C1Barccos ，异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos .,解法二：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设ADa，DD1b，则有D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，C1(0，a，b)BD(a，a,0)， AC(a，a,0)，CC1(0,0，b)， BDAC0，BDCC10，BDAC，BDCC1， 又AC、CC1平面ACC1A1，且ACCC1C， BD平面ACC1A1.,(2)设BD与AC相交于O，连结C1O，则点O坐标为( ， ，0)， OC1( ， ，b)BDOC10，BDC1O，又BDCO，C1OC是二面角C1BDC的平面角，C1OC60，tanC1OC ，b a，AC(a，a,0)，BC1(a,0，b)，cosAC，BC1 异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos .,1. 高考考查平面的基本性质(如正方体的截面问题)、异面直线公垂线的证明(在指