2007年考研数学二真题及答案

1、.2007年考研数学二真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 当x0+时，与x等价的无穷小量是(A)1-e-x (B)ln1+x1-x(C)1+x-1 (D)1-cosx【答案】B。【解析】(当x0+)时ln1+x1-x=ln1+x-ln1-xx ex-x 1+x-112x 1-cosx12x几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较(2) 函数fx=(e1x+e)tanxx(e1x-e)在-,上的第一类间断点

2、是x=(A)0 (B)1(C)-2 (D) 2【答案】A。【解析】A：由limx0-e1x=0,limx0+e1x=+得limx0-f(x)=limx0-(e1x+e)tanxx(e1x-e)=limx0-e1x+ee1x-etanxx=e-e1=-1 limx0+f(x)=limx0+(e1x+e)tanxx(e1x-e)=limx0+e1x+ee1x-etanxx=11=1 所以x=0是fx的第一类间断点；B：limx1f(x)=limx1(e1x+e)tanxx(e1x-e)=C：limx- 2f(x)=limx- 2(e1x+e)tanxx(e1x-e)=D：limx 2f(x)=li

3、mx 2(e1x+e)tanxx(e1x-e)=所以x=1,x= 2都是f(x)的第二类间断点。综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学函数、极限、连续函数间断点的类型(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间-3,-2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2,0,0,2上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设Fx=0xf(t)dt,则下列结论正确的是(A)F3=-34F(-2)(B)F3=54F(2)(C)F-3=34F(2)(D)F-3=-54F(-2)-3 -2 -1 0 1 2 3y=f(x)xy【答案】C。【解析】【方法一】四个选项中出现的F(x)在四个点上的函数值

4、可根据定积分的几何意义确定F3=03f(t)dt=02f(t)dt+23f(t)dt=2-8=38 F2=02f(t)dt=2 F-2=0-2f(t)dt-20ftdt=-2=2 F-3=0-3f(t)dt=-30ftdt=-8-2=38 则F-3=34F(2)【方法二】由定积分几何意义知F2F30,排除(B)又由f(x)的图形可知f(x)的奇函数，则Fx=0xf(t)dt为偶函数，从而F-3=F30,F-2=F20显然排除(A)和(D),故选(C)。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误

5、的是(A)若limx0f(x)x存在，则f0=0(B)若limx0fx+f(-x)x存在，则f0=0(C)若limx0f(x)x存在，则f0存在(D)若limx0fx-f(-x)x存在，则f0存在【答案】D。【解析】(A)：若limx0f(x)x存在，因为limx0x=0,则limx0f(x)=0,又已知函数f(x)在x=0处连续，所以limx0f(x)=f(0),故f0=0,(A)正确；(B)：若limx0fx+f(-x)x存在，则limx0fx+f(-x)=f0+f0=0,则f0=0，故(B)正确。(C) limx0f(x)x存在，知f0=0，则limx0f(x)x=limx0fx-f(0

6、)x=f(0)则f(0)存在，故(C)正确(D) limx0fx-f(-x)x=limx0fx-f(0)x-f-x-f(0)x存在，不能说明limx0fx-f(0)x存在例如fx=|x|在x=0处连续，limx0fx-f(-x)x存在，但是f(0)不存在，故命题(D)不正确。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(5) 曲线y=1x+ln(1+ex)渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。【解析】由于limx0y=limx01x+ln1+ex=，则x=0是曲线的垂直渐近线；又 limx-y=limx-1x+ln1+ex=0 limx+y

7、=limx+1x+ln1+ex=+所以y=0是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于-一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在+一侧。a=limx+yx=limx+1x+ln1+exx=limx+1x2+limx+ln1+exx =0+limx+ex1+ex=1b=limx+y-x=limx+1x+ln1+ex-x =limx+1x+ln1+ex-lnex =limx+1x+ln1+1ex=0则曲线有斜渐近线y=x，故该曲线有三条渐近线。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(6) 设函数f(x)在(0,+)内具有二阶导数，且fx0,令un=f(n)

8、(n=1,2,),则下列结论正确的是(A)若u1u2,则un必收敛 (B)若u1u2,则un必发散(C)若u1u2,则un必收敛 (D)若u10，知曲线y=f(x)是凹的，显然，图1排除选项(A)，其中un=fn-；图2排除选项(B)；图3排除选项(C),其中un=fn+；故应选(D)。yu1 u2 xO 1 2yu1 u2 xO 1 2yu1 u2 xO 1 2图1 图2 图3【方法二】排除法：取fx=(x-2)2,显然在(0,+)，fx=20,f1=1f2=0,但un=fn=(n-2)2+，排除A；取fx=1x,在(0,+)上，fx0,且f1=1f2=12,但un=fn=1n0,排除B；取

9、fx=ex, 在(0,+)上，fx0，且f1=e0,(1c2时，fn=fn-f2+f2=fn-2+f2 (20，且c,则ffc0从而有fnfcn-2+f2+则有un=fn+ 综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(7) 二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是(A) lim(x,y)(0,0)fx,y-f(0,0)=0(B) limx0fx,0-f(0,0)x=0,且limy0f0,y-f(0,0)y=0(C) lim(x,y)(0,0)fx,y-f(0,0)x2+y2=0(D) limx0fxx,0-fx(0,0)=0,且li

10、my0fy0,y-fy(0,0)=0【答案】C。【解析】由lim(x,y)(0,0)fx,y-f(0,0)x2+y2=0可得limx0fx,0-f(0,0)x=limx0fx,0-f(0,0)x2+02x2x=0 即fx0,0=0,同理fy0,0=0从而lim0fx,y-f0,0-(fx0,0x+fy0,0y) =lim0fx,y-f(0,0)=lim0fx,y-f(0,0)x2+y2=0根据可微的判定条件可知函数f(x,y)在点(0,0)处可微综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件(8) 设函数f(x,y)连续，则二

11、次积分2dxsinx1f(x,y)dy等于(A)01dy+arcsinyf(x,y)dx (B) 01dy-arcsinyf(x,y)dx(C)01dy2+arcsinyf(x,y)dx (D) 01dy2-arcsinyf(x,y)dx【答案】B。【解析】交换积分次序，已知2x，sinxy1,则可得0y1, -arcsinyx1,0x+)下方，x轴上方的无界区域。(I) 求区域D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；(II) 当a为何值时，V(a)最小，并求最小值。【解析】(I) 旋转体体积为Va=0+y2(x)dx=0+xa-xadx=-alna0+xda-xa =-alna(xa-x

12、a)0+alna0+a-xadx =(alna)2(II) Va=2a(lna-1)ln3a令Va=0，得lna=1,a=e当1xe时，Vae时，Va0, Va单调增加。所以a=e时，旋转体体积最小，最小体积为Ve=e2【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(19) （本题满分10分）求微分方程yx+y2=y满足初始条件y1=y1=1的特解【解析】设y=p,则y=p,原方程变为px+p2=p则dpdx=xp+p,解之得x=p(p+C1),将p1=1代入得C1=0得x=p2y=xy=23x23+C2结合y1=1，得C2=13所以y=23x23+13【考点】高等数学常微分方程可用简单的变量代换

13、求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程(20) （本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f0=1,函数y=y(x)由方程y-xey-1=1所确定，设z=f(lny-sinx),求d2zdx2x=0,dzdxx=0【解析】在y-xey-1=1中令x=0得y=1方程y-xey-1=1两端对x求导得y-ey-1-xey-1y=0x=0, y=1代入上式得y0=1上式两端再对x求导得-y2+2-yy-ey-1y=0可得y0=2又dzdx=f(lny-sinx)(yy-cosx)则dzdxx=0=0d2zdx2=flny-sinxyy-cosx2+flny-sinxyy-y2y2+sinx

14、d2zdx2x=0=f02-1=f0=1【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(21) （本题满分11分）设函数fx,g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数，且存在相等的最大值，fa=ga,fb=g(b),证明：存在(a,b)，使得f=g()。【解析】【方法一】令Fx=fx-g(x),则Fa=Fb=0设fx,g(x)在(a,b)内的最大值为M，且分别在a,b，(a,b)时取到，即f=g=M若=,取到=,即F=0；若,则F= f-g=M-g0F= f-g=f-M0此时，由连续函数介值定理知在,之间至少存在点，F=0综上所述，存在a,b，

15、使得F=0由罗尔定理知，存在1a,2,b,使得F1=0,F2=0；再由罗尔定理知，存在(1,2),使得F=0,即f=g()。【方法二】用反证法证明存在a,b，使得F=0：假设不存在a,b，使得F=0，则由F(x)的连续性知对于一切xa,b, F(x)恒大于零或恒小于零。设Fx0，设g(x)在x0a,b取到最大值，则Fx0=fx0-gx00,即fx0gx0,从而可知fx在xa,b上的最大值比gx在xa,b上的最大值要大，与题设矛盾，所以假设命题不成立。存在a,b，使得F=0所以由罗尔定理知，存在1a,2,b,使得F1=0,F2=0；再由罗尔定理知，存在(1,2),使得F=0,即f=g()。【考点

16、】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22) （本题满分11分）设二元函数fx,y=x2,x+|y|11x2+y2,1x+|y|2 计算二重积分D f(x,y)d,其中D=(x,y)|x+|y|2【解析】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，所以D f(x,y)d=4D1 f(x,y)d ，D1为D在第一象限内的部分而D1 f(x,y)d=x+y1,x0,y0 x2d+1x+y2,x0,y0 1x2+y2d =01dx01-xx2dy+(01dx1-x2-x1x2+y2dy+ 12dx02-x1x2+y2dy) =112+2ln(1+2) 所以D f(x,y)d=4D

17、1 f(x,y)d=13+42ln(1+2)【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(23) （本题满分11分）设线性方程组 x1+x2+x3=0x1+2x2+ax3=0x1+4x2+a2x3=0 与方程x1+2x2+x3=a-1 有公共解，求a的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程组有公共解，即为将两个方程联立的解x1+x2+x3=0x1+2x2+ax3=0x1+4x2+a2x3=0x1+2x2+x3=a-1 对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有A=11112a14a2121 000a-111101a-103a2-1010 000a-110101000a-1000

18、 1-aa-11-a(a-1)(a-2)已知方程组有解，所以应有a-1a-2=0，a=1,a=2a=1时，A101010000000 0000此时，公共解为：x=k-101,其中k为任意常数。a=2时，A101010001000 -11-10此时，有唯一的公共解为x=01-1【方法二】先求方程组的解，其系数行列式为11112a14a2=(a-1)(a-2)当a1,a2时，方程组只有零解，但此时x=(0,0,0)T不是方程的解，所以公共解发生在a=1或a=2时，当a=1时，对方程组的系数矩阵进行初等行变换111121141101010000方程组的通解为x=k-101, 其中k为任意常数。此解也满足方程组，所以此时方程组和的公共解为x=k-101, 其中k为任意常数。当a=2时，同样求方程组的通解111122144111011033100011000方程组的通解为x=k0-11, 其中k为任意常数。将其代入方程组中得：0+2-k+k=1得k=-1,因此此时方程组和的公共解为x=01-1【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解(24) （本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特征值为1=1,2=2,3=-2,且1=(1,-1,1)T是A的属于1的一个特征向量