23函数的奇偶性

1、要点梳理 1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有_，那么函数f（x）就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有_，那么函数f（x）就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称.,2.3 函数的奇偶性,f（-x）=f（x）,f（-x）=-f（x）,基础知识 自主学习,2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: （1）考查定义域是否关于_对称； （2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）： 若f（-x）=_，则f（x）为奇函数； 若f（-x）=_，则f（

2、x）为偶函数； 若f（-x）=_且f（-x）=_,则f(x)既是 奇函数又是偶函数； 若f（-x）-f（x）且f（-x）f（x），则f（x）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.,原点,-f（x）,f（x）,-f（x）,f（x）,3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内 两个奇函数的和是_,两个奇函数的积是偶 函数； 两个偶函数的和、积是_； 一个奇函数，一个偶函数的积是_.,奇函数,偶函数,奇函数,相同,相反,基础自测 1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 （ ） A

3、.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln 5x D.y=-|x|cos x 解析 A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数. 设y=f(x)=ln 5x=xln 5,f（-x）=-xln 5=-f（x）.,C,2.函数 的图象关于 （ ） A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 解析 f（x）是奇函数.f（x）的图象关于原点对称.,C,3.下列函数中既是奇函数,又在区间-1,1上单调递 减的函数是 ( ) A.f(x)=sin x B.f(x)=-|x-1| C. D. 解析 函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇 非偶函数，C中是偶函数）， -1

4、，1 f（x）=sin x在-1,1上是增函数,排除A,故选D.,D,4.已知f(x）=ax2+bx是定义在a-1，2a上的偶函数, 那么a+b的值是 （ ） A. B. C. D. 解析 依题意得,B,5.函数f（x）=x3+sin x+1 (xR), 若f（a）=2，则 f（-a）的值为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数. f（x）=g（x）+1.f（a）=g（a）+1=2， g（a）=1， g（-a）=-1，f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.,B,题型一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性：

5、(1) (2),题型分类 深度剖析,解 (1) 定义域关于原点对称. 故原函数是奇函数. (2) 0且1-x0 -1x1, 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.,判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条 件: 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是 有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇 偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函 数)是否成立.,探究提高,知能迁移1 判断函数f(x)= 的奇偶性. 解 -2x2且x0, 函数f(x

6、)的定义域关于原点对称. f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,4-x20 |x+3|3,题型二 函数奇偶性的应用 【例2】判断函数 的奇偶性, 并求函数的单调区间. 解 所以函数f(x)的定义域为(-1,0)(0,1). f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任 意x, 所以f(x)是奇函数.,任取x1,x2(0,1),且设x10，即f(x)在(0,1)内单调递减. 由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减. f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1).,探究提高 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间 是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同；

7、偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶 性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单 调性即可.,知能迁移2 已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数. (1)求a，b的值； (2)若对任意的tR，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒 成立,求k的取值范围. 解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，,(2)由(1)知 由上式易知f(x)在(-,+)上为减函数. 又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)-2t2+k. 即对一切tR有3t2-2t-k0. 从而判别式=4+12k0,解得k,题型三 抽象函数的奇偶性与单调性 【例3】(12分)已知

8、函数f(x),当x,yR时,恒有f(x+y) =f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，f（x）0,并且f(1)= 试 求f(x)在区间-2，6上的最值. (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇 偶性的应用.,思维启迪,解题示范 (1)证明 函数定义域为R,其定义域关于原点对称. f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),

9、f(x)为奇函数. 4分 （2）解 方法一 设x,yR+， f（x+y）=f（x）+f（y）， f（x+y）-f（x）=f（y）. xR+，f（x）0, f(x+y)-f(x)0,f(x+y)x, f(x)在（0，+）上是减函数. 8分 又f（x）为奇函数，f（0）=0， f（x）在（-,+）上是减函数. f（-2）为最大值，f(6)为最小值. 10分 f(1)= f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值 为-3. 12分,方法二 设x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0. 即

10、f(x)在R上单调递减. f（-2）为最大值，f（6）为最小值. 10分 f（1）= f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1 f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值 为-3. 12分,探究提高 （1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只 要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数. （2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用 方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.,知能迁移3 函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足 对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). （1）求f(1)的值； （2）判断

11、f(x)的奇偶性并证明你的结论； （3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在 (0，+)上是增函数，求x的取值范围. 解 （1）对于任意x1,x2D, 有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)， 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0.,(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1). f(-1)= f(1)=0. 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. （3）依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2, f（164）=f（16）+f（4）=3， f(3x+1)+f(2x-6

12、)3, f(3x+1)(2x-6)f(64) (*),f(x)在（0，+）上是增函数， (*)等价于不等式组 x的取值范围为,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个 问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函 数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为 了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化 简,或应用定义的等价形式:f(-x)=f(x) f(-x) f(x)=0 =1(f(x)0).,方法与技巧,思想方法 感悟提高,3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴 对称,反