新课标理科数学第二章第二节函数的单调性与最大(小)值.ppt

1、第二节函数的单调性与最大(小)值,1增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则都有： (1)f(x)在区间D上是增函数_； (2)f(x)在区间D上是减函数_,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),2单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是_或_，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的 _,增函数,减函数,单调区间,3函数的最值,f(x)M,f(x0)M,f(x)M,f(x0)M,1如图221所示函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(，0(0，)吗？,【提示】不是，其单调增区

2、间为(，0，(0，),2对于函数f(x)，xD，若x1，x2D且(x1x2)f(x1)f(x2)0则能否确定f(x)在D上的单调性？,1(人教A版教材习题改编)如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，则() Aa2Ba2Ca2Da2 【答案】C,【解析】结合函数的图象易知选D. 【答案】D,3函数f(x)(x3)ex的单调增区间是_ 【解析】由f(x)(x3)ex，得f(x)(x2)ex， 由f(x)0，得x2，故f(x)的增区间是(2，) 【答案】(2，),【审题视点】(1)根据复合函数的单调性求解 (2)用定义法或导数法求解,【尝试解答】(1)由x210得x1或x

3、1， 函数f(x)的定义域为(，1)(1，) 令tx21，因为ylog2t在t(0，)上为增函数 tx21在x(，1)上是减函数， 所以函数f(x)的递减区间为(，1),当a0时，f(x)0；当a0时，f(x)0. 当a0时，f(x)在(1，1)上为减函数 当a0时，f(x)在(1，1)上为增函数,1解答本题(1)时，应先求定义域，在定义域内求单调区间 2函数单调性的判定方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法 3函数yfg(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则,当x1，x2(，1时，x1x20， 则f

4、(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)， 故函数在(，1上是减函数 当x1，x21，)时，x1x20， 则f(x1)f(x2)0， 故函数在1，)上是增函数.,(2013惠州调研)用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)min2x，x2，10 x(x0)，则f(x)最大值为() A4B5C6D7 【思路点拨】明确f(x)的意义，数形结合求f(x)的最大值,【尝试解答】如图所示，在同一坐标系中作出yx2，y2x，y10 x(x0)的图象 根据f(x)定义知，f(x)min2x，x2，10 x(x0)的图象(如图实线部分),【答案】C,求函数最值(值域)的常用方法 1利

5、用单调性是求函数最值的最主要方法，函数图象是单调性的最直观体现，函数的最大(小)值是图象的最高(低)点的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值 2配方法：若函数是二次函数，常用配方法 3基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法 4导数法：当函数较复杂时，一般采用此法 5换元法：用换元法时一定要注意新变元的范围,定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于() A1B1C6D12 【解析】依题意，当2x1时，1x1，2x2， f(x)1x2x2，且f(x)在2，1上为增函数，,【答案】C,【思路点拨】分a0和a0两种情

6、况讨论,1已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之，已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解 2不等式mf(x)恒成立mf(x)max，mf(x)恒成立mf(x)min.,此时实数a，b是方程x2x10的两根，但方程x2x10无实根，因此不存在满足条件的实数a，b.,1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到 2开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值,函数单调性的判定方法 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 (2)利用图象与性质 (3)导数法：利用导数研究函数

7、的单调性,函数的单调性与最值是高考考查的重点内容，主要涉及单调性的判断，求函数的单调区间与最值，函数单调性的应用；考查数形结合、转化与化归等数学思想，其中利用函数的单调性解不等式应引起高度重视,(12分)(2013深圳调研)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2. 【规范解答】(1)设x1x2，x2x10， 当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)， f(x)在R上为增函数.6分,规范解答之一利用函数的单调性解不等式,(2)m，nR，不妨设mn1， f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分 f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24， f(1)2，f(2)2213， f(a2a5)2f(1)，10分 f(x)在R上为增函数，a2a513a2， 即a(3，2).12分,【解题程序】第一步：设x1x2得x2x10，从而f(x2x1)1； 第二步：根据x2(x2x1)x1证明f(x2)f(x1)0，从而证明单调性； 第三步：求f(1)、f(2)； 第四步：把不等式转化为f