2015年考研数学一真题及解析2015年数学一真题解析

1、版权所有翻印必究2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:1 : 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 设函数 f (x) 在(-, +)内连续， 其中二阶导数 f (x) 的图形如图所示， 则曲线 y =f (x) 的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由 f (x) 的图形可得，曲线 y = f (x) 存在两个拐点.故选（C）.(2) 设

2、 y = 1 e2x + (x - 1)ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y + ay + by = cex 的一个32特解，则()(A) a = -3, b = 2, c = -1(B) a = 3, b = 2, c = -1(C) a = -3,b = 2, c = 1a = 3,b = 2, c = 1(D)【答案】（A） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是 根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.11【解析】由题意可知， e

3、2 x 、 - ex 为二阶常系数齐次微分方程 y + ay + by = 0 的解，所以 2,123为特征方程 r 2 + ar + b = 0 的根， 从而 a = -(1+ 2) = -3 ， b = 1 2 = 2 ， 从而原方程变为 y - 3y + 2 y = cex ，再将特解 y = xex 代入得c = -1 .故选（A）1报名专线：400-6300-966中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究若级数 an 条件收敛，则 x =3 与 x = 3 依次为幂级数 nan (x -1)n 的(3)()n=1n=1(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛

4、点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.x = 2 为幂级数a ( x - 1) 的条件收敛点，所以a ( x - 1) 的 【解析】因为a 条件收敛，即 nnnnnn=1n=1n=1收敛半径为 1，收敛区间为(0, 2) .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 na (x -1) 的收敛区间 nnn=1n还是(0, 2) .因而 x =x = 3 依次为幂级数na (x -1) 的收敛点，发散点.故选（B）.3 与 nn=1设 D 是第一象限由曲线2xy = 1 ， 4xy = 1 与直线 y = x ， y =3x 围成的平面区域，

5、(4)f (x, y )在 D 上连续，则 f (x, y )dxdy =()函数Dp1f (r cosq, r sinq)rdrp 1 (A)3 dqsin 2q2sin 2q4p1(r cosq, r sinq)rdr(B) 3 dqsin 2qfp 1 2sin 2q4p1sin 2qf (r cosq, r sinq)dr(C)3 dqp 1 2 sin 2q4p1sin 2qf (r cosq, r sinq)dr(D)3 dq4p 1 2sin 2q【答案】（B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出 D 的图形， ywww 中公

6、考研学员专用资料2o版权所有翻印必究p1Ddqf (r cosq, r sinq)rdr ，故选（B）sin 2qf (x, y)dxdy =3所以p 12 sin 2q4111241 (5) 设矩阵 A = 1= ,2b =，若集合W1A =有无adxb ， ，则线性方程组 1a2 2d()穷多解的充分必要条件为a W, d W(A)(B) a W, d Wa W, d Wa W, d W(C)(D)【答案】D11241a a21d 11101a -1(a -1)(a - 2)1【解析】( A, b) = 1 0d -1(d -1)(d - 2)1 02d ，由 r( A) = r( A,

7、b) 3 ，故 a = 1 或 a = 2 ，同时 d = 1 或 d = 2 。故选（D）(6)设二次型 f (x1, x , x )在正交变换为 x = Py 下的标准形为 2 y +2y - y ，其中 2212323P = (e1, e2 ,e3 ) ，若 Q = (e1, -e3, e2 )为 ，则 f (x1, x2 , x3 )在正交变换 x = Qy 下的标准形()(A) 2 y2 - y2 + y21232 y2 + y2 - y2(B)123(C) 2 y2 - y2 - y2123(D) 2 y2 + y2 + y2123【答案】(A)【解析】由 x = Py ，故f =

8、 xT Ax = yT (PT AP) y = 2 y2 + y2 - y2 . 且 1233报名专线：400-6300-966中公考研学员专用资料版权所有翻印必究00 20 PT AP = 010-1 . 0 10 0Q = P 001 = PC0 0-100 20 QT AQ = CT (PT AP)C = 0-101 0= xT Ax = yT (QT AQ) y = 2 y 2 - y2 + y2 。选（A）所以f123(7) 若 A,B 为任意两个随机()，则P (AB ) P (A)P (B )P (AB ) P (A)P (B )(A)(B)P (A)P (B )2P (A)P

9、(B )2P (AB )P (AB )(C)(D)【答案】(C)【解析】由于 AB A, AB B ，按概率的基本性质，我们有 P(AB) P( A) 且 P(AB) P(B) ， P( A) + P(B)从而 P( AB) ，选(C) . 2= 3 ，则 E X (X(D) 5+Y - 2) =量 X ,Y 不相关，且 EX = 2, EY = 1, DX(8)设随()(A) -3【答案】(D)(C) -5(B) 3【解析】 E X ( X + Y - 2) = E( X 2 + XY - 2 X ) = E( X 2 ) + E( XY ) - 2E( X )= D( X ) + E 2(

10、 X ) + E( X ) E(Y ) - 2E( X )= 3 + 22 + 2 1- 2 2 = 5 ，选(D) . 二、填空题：9 : 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.lim ln cos x =.(9)x2 x0www 中公考研学员专用资料4版权所有翻印必究12【答案】 -0【分析】此题考查 型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.0-sin x= lim - tan x = - 1 .【解析】方法一： lim ln(cos x) = lim cos xx22xx02x2x0x0- 1 x2方法二： li

11、m ln(cos x) = lim ln(1+ cos x -1) = lim cos x -1 = lim 2= - 1.x2x2x2x22x0x0x0x0p sin x 1+ cos x+(10)(x )dx =2.p2-24【答案】【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.p2pp sin x 0+xdx = 2 2 xdx =.2【解析】p 1+ cos x4-2(11)若函数 z = z(x, y) 由方程ex + xyz + x + cos x = 2 确定，则dz【答案】 -dx【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令 F (x, y, z) = ez +

12、 xyz + x + cos x - 2 ，则 (0,1) = .(x, y, z) = yz +1- sin x, F = xz, F (x, y, z) = e + xyzFxyz又当 x = 0, y = 1 时ez = 1 ，即 z = 0 .z所以 x= - Fy(0,1,0) = 0 ，因而 dz= - Fx(0,1, 0) = -1, z= -dx.(0,1)F (0,1, 0)(0,1)F (0,1, 0)(0,1)yzz(12) 设 W 是 由 平 面 x + y + z = 1 与 三 个 坐 标 平 面 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域 ， 则 (x + 2 y +

13、 3z)dxdydz = .W14【答案】【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得 5报名专线：400-6300-966中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究1W(x +2 y + 3z)dxdydz = 6zdxdydz = 6zdzdxdy，0WDz1 (1 - z)2 .所以其中 D 为平面 z = z 截空间区域W 所得的截面，其面积为 2z1- z) dz = 3 (z - 2z2 + z)dz = 1 .11W(x +2 y + 3z)dxdydz = 6zdxdydz = 6z (1232400W2-1M0002M00

14、LLOLL00M2-122M22= .(13) n 阶行列式 【答案】 2n+1 - 2【解析】按第一行展开得2-102LLLLL0022Dn= 2Dn-1 + (-1)n+12(-1)n-1 = 2Dn-1 + 200002-122= 2(2Dn-2= 2n+1 - 2+ 2) + 2 = 22 D+ 22 + 2 = 2n + 2n-1 +L+ 2n-2(14)设二维随量(x, y) 服从正态分布N(1,0;1,1,0)，则 PXY -Y 0 = .12【答案】【解析】由题设知， X N (1,1),Y N (0,1) ，而且 X、Y 相互独立，从而 PXY - Y 0 = P( X -1

15、)Y 0,Y 0+ PX -1 0= PX 1PY 0 + PX 0 = 1 1 + 1 1 = 1 .22222三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.www 中公考研学员专用资料6版权所有翻印必究(x )与 g (x )在(15)(本题满分 10 分) 设函数 f (x )= x + a ln(1+ x) + bx sin x ， g(x) = kx3 ，若 fx 0 是等价无穷小，求 a,b, k 的值.【答案】 a = -1,b = - 1 , k = -1.23 x + a ln (1+

16、x )+ bx sin x=1【解析】法一：原式lim3kxx0x2x3x36+ o (x )+ bx x -()x + a x -+3+3ox23 = 1= limkx3x0a 2ab(3 )()x + b -x +x -x + o x+ a1342 36= l= 1imkx3x0即1+ a = 0, b - a = 0,= 123k a = -1, b = - 1 , k = - 1a23x + a ln (1+ x )+ bx sin x=1法二： lim3kxx0a1+ b sin x + bx cos x= lim 1+ x= 13kx2x0因为分子的极限为 0，则 a = -1-

17、-1+ 2b cos x - bx sin x(1+ x)212= lim= 1，分子的极限为 0， b = -6kxx02- 2b sin x - b sin x - bx cos x (1+ x)31= lim= 1， k = -6k3x0 a = -1,b = - 1 , k = - 123f (x )在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0 I ，由线 y=f (x )在 (16)(本题满分 10 分) 设函数点(x0, f (x0 )处的切线与直线 x = x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f (0)= 2 ，求 f (x )的表 7报名专线：400-6300-96

18、6中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究达式.8【答案】 f(x) =.4 - x【解析】设 f (x)在点(x0, f ( x )处的切线方程为： y - f (x0 ) = f ( x )( x - x ),000f (x0 )令 y = 0 ，得到 x = -) +x0 ，f ( x0f (x0 )f ( x0 )故由题意， 12f ( x0 )( x0 - x) = 4 ，即 12f (x0 )= 4 ，可以转化为一阶微分方程，y211即 y = ，可分离变量得到通解为： = -x +C ，8y81已知 y (0) = 2 ，得到C = 1 ，因此 =11-+x；y8228-x + 4

19、即 f ( x) =.(17)(本题满分 10 分)( x , y ) = x + y +( x , y ) 在曲线+ + xy =y 2xy ，曲线 C： x 2已知函数 f3 ，求 fC 上的最大方向导数.【答案】3f (x, y)沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.【解析】因为fx ( x, y) = 1+ y, fy ( x, y) = 1+ x ，故 gradf ( x, y) = 1+ y,1+ x ，模为 (1+ y )2 +(1+ x)2 ， 此题目转化为对函数 g (x, y) =为条件极值问题.(1+ y )2 + (1+ x)2在约束条件C : x 2 +

20、y2 + xy = 3 下的最大值.即为了计算简单，可以转化为对 d (x, y) = (1+ y )2 + (1+ x )2 在约束条件C : x 2 + y2 + xy = 3 下的最大值.构造函数： F ( x, y,l) = (1+ y)2 + (1+ x)2 + l( x2 + y2 + xy - 3)www 中公考研学员专用资料8版权所有翻印必究Fx = 2 (1+ x)+ l(2x + y )= 0Fy = 2 (1+ y )+ l(2 y + x)= 0，得到 M1 (1,1), M2 (-1, -1), M3 ( 2, -1), M 4 (-1,2)

21、.F = x + y + xy - =3022 ld ( M1 ) = 8, d ( M 2 ) = 0, d ( M3 ) = 9, d ( M 4 ) = 9所以最大值为 9 = 3 . (18)(本题满分 10 分)（I） 设函数u(x), v(x) 可导，利用导数定义证明u(x)v(x) =u(x)v(x) + u(x)v(x) （II）设函数u1 (x), u2 (x), L , un (x) 可导， f(x) =u1(x)u2(x)L un(x)，写出f(x)的求导公式.【解析】（I）u(x)v(x) = lim u( x + h)v(x + h) - u(x)v(x)hh0= l

22、im u( x + h)v(x + h) - u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) - u(x)v(x)hh0= lim u(x + h) v( x + h) - v(x) + lim u(x + h) - u(x) v(x)hhh0h0= u(x)v(x) + u(x)v(x)（II）由题意得 f (x) = u1(x)u2 (x)Lun (x)= u ( x)u (x)Lu (x) + u (x)u (x)Lu (x) +L+ u (x)u (x)Lu (x)12n12n12n(19)(本题满分 10 分)z =起点为 A(0, 2, 0 )，终点为 B (0, -2,

23、0 )，计算曲线 2 - x2 - y2 ,已知曲线 L 的方程为z = x,积分 I =y + z dx + z - x +2 y dy)+ (x + y2 )dz 2.()(2L2【答案】2x = cosq【解析】由题意假设参数方程 y =2 sinq，q: 2 - 2z = cosq- -( 2 sinq+ cosq) sinq+ 2 sinqcosq+ (1+ s2inqdq29报名专线：400-6300-966中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究- 2 sin2q+ sinqcosq+ (1+ sin2q) sinqdq2=2 -22= 2 2sin q dq=220(20) (本

24、题满 11 分)= + (k +1) , , 3内R 的一个基， = k ， =2 ， 2 +2设向量组 12.312313213（I）证明向量组b 1b b2为R3 3 的一个基; , , b b b 下的坐标相同，并求所有的 （II）当 k 为何值时，存在非 0 向量 【答案】 【解析】(I)证明： (b1 , b2 , b3 )= (2a1 +2ka3 , 2a2 ,a1 + (k +1)a3 ).在基3 与基12123200201= (a,a,a)0123k +1 2k02010k +1202k21= 4 0= 22kk +1故 1, 2, 3 为R3 的一个基.（II）由题意知， x

25、 = k 1b1 + k 2 b2 + k 3 b3 = k 1a1 + k 2a2即 k1 (b1 -a1 )+ k2 (b2 -a2 )+ k3 (b3 -a3 )= 0,+ k 3a3 ,x 0ki 0, i = 1,2,3k1 (2a1 +2ka3 -a1 )+ k2 (2a2 -a2 )+ k3 (a1+ (k +1)a3 -a3 )= 0k1 (a1 +2ka3 )+ k2 (a2 )+ k3 (a1 +ka3 )= 0有非零解 即 a1 +2ka3 ,a2 ,a1 +ka3= 0102k01010k= 0 ，得 k=0即k1a1 + k2a2 + k3a1 = 0 k2 = 0,

26、 k1 + k3 = 0www 中公考研学员专用资料10版权所有翻印必究x= k1a1 - k1a3 , k1 0(21) (本题满分 11 分)2-3-20 0 1设矩阵 A = -1-3 相似于矩阵 B = 00 .b33-2 1 0a 1 (I) 求 a,b 的值；（II）求可逆矩阵 P ，使 P -1AP 为对角矩阵.【解析】(I) A B tr( A) = tr(B) 3 + a = 1 + b +1-2b3-3023-2100001= -1-3 =BA1aa - b = -1 a = 42a -b = 3b = 5(II)0 -12-3-3 1020103-

27、3 = 00 + -12-3 = E +CA = -13 01 13 1-2-2 -12-3 -1C = -12-3 = -1(1-23) 13 1 -2C 的特征值l1 = l2 = 0,l3 = 4lx = (2,1, 0) ; x = (-3, 0,1)= 0 时 (0E - C)x = 0 的基础解系为TT12l= 5时 (4E - C)x = 0 的基础解系为x = (-1, -1,1)T3A 的特征值lA = 1+ lC :1,1, 5-1 2-3令 P = (x,x,x) = 10-1 ，123 01 111报名专线：400-6300-966中公考研学员专用资料版权所有翻印必究 1 P-1AP = 152- x ln 2, x 0,(22) (本题满分 11 分) 设随量 X 的概率密度为 f (x )= 0,x 0.对 X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求 EY1+记 p 为观测值大于 3 的概率，则 p = P( X 3) =2ln 2dx =，- x【解析】(I)8317从 而 PY = n = C1 p(1 - p)n-