5梁弯曲时的变形

1、梁 的 变 形,1 概述(挠度和转角),2 梁的挠曲线的近似微分方程,3 积分法计算梁的位移,4 叠加法计算梁的位移,5 梁的刚度校核,6 弯曲应变能,1 概述(挠度和转角),应力,变形,强度要求,刚度要求,荷载,主轴变形对加工精度的影响,变形的利用：汽车的钢板弹簧,竖向位移,挠曲线,竖向位移CC,挠度,转角,挠度与转角之间的关系,B,梁变形的两个位移度量,挠度与转角的正负号规定： 挠度： 向下为正，反之为负 转角： 顺时针为正，反之为负,如何求挠曲线的方程式,？,2 梁的挠曲线的近似微分方程,纯弯曲：,非纯弯曲：,梁挠曲线的近似微分方程,1 略去了剪力的影响,2 略去了变形高次方,M 0,3

2、 积分法计算梁的位移,积分法,式中， C、D为积分常数，可由梁的某些截面的已知变形条件来确定 ，如：,边 界 条 件,连续条件,光滑条件,连续但不光滑,例1 图示为一受均布荷载作用的简支梁，梁的弯曲刚度EIz为常数。试求此梁的最大挠度wmax和两端面的转角A、 B。,解：取如图所示的坐标系，弯矩方程为：,挠曲线的近似微分方程为：,积分得：,梁的边界条件为：,转角方程式和挠度方程式分别为：,例2 用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件。,边界条件：,变形光滑条件：,B、C、D：,变形连续条件：,弯矩方程的分界点,静定(组合)

3、梁如图所示，试分别列出确定积分 常数时需用的边界条件和变形连续条件。,例3 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。,解：利用平衡方程求两个支反力：,显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。,分别列出AC、CB段弯矩方程并积分：,AC段,CB段,边界条件：,支承条件, 连续条件, 光滑条件,利用边界条件解得：,最大转度,从AB， ,（顺时针）,（逆时针）,（绝对值）,最大挠度wmax,w(x0)为极值,讨论：,结论：对于简支梁而言，无论集中力P作用在何处，用w(l/2)代替wmax，最大误差为2.65%。,例4 用积分法求图示外

4、伸梁自由端C的截面转角和挠度，其中Me=ql2/16。,解：取图示的坐标系，求支座反力得：,边界(A、C点)条件：,弯矩方程：,梁挠曲线的近似微分方程,边界条件：,连续性条件：,解得：,将积分常数回代得：,自由端C的截面转角和挠度 ：,4 叠加法计算梁的位移,积分法,Me 单 独 作 用,q 单 独 作 用,线性关系,叠加原理：梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角（或挠度）等于各个荷载单独作用时梁在该截面处的转角（或挠度）的总和。,适用条件：,1 小变形,2 材料处于弹性阶段且服从胡克定律,但是有一点需要说明：,线弹性，位移可以叠加,为什么线性关系可以叠加？,非线性弹性，位移不可以叠加,

5、表7(4)-1,简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，则当梁长增加一倍时，梁内的最大正应力变为原来的 ，最大挠度变为原来的 。,EIz称为抗弯刚度,试用叠加法求图示悬臂梁自由端的挠度wB。,例 试用叠加法求图示悬臂梁自由端B处的挠度。,表7(4)-1(2),表7(4)-1(3),例4：简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求C截面的挠度和截面转角A。,表7(4)-1,分析：,分析C点：,结论（规律）：,(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。,(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；,表7(4)-1,跨度为l

6、/2的简支梁,例5：外伸梁受图示荷载作用，试用叠加法求外伸端C截面的挠度。,分析：,表7(4)-1 ,表7(4)-1 ,请思考：能不能将力F向A点简化，为什么？,悬臂梁,简支梁,C2,例6：,表7(4)-1,表7(4)-1,例题：已知 F，E，G，求C点铅垂位移,A,分析： AB 弯曲 + 扭转变形， BC 弯曲变形 故 C点的挠度由三部分组成 AB弯曲引起的B点下沉 AB扭转引起C点位移 BC弯曲引起C点下沉,解：采用逐段刚化法,(1)将AB刚化，计算BC弯曲变形引起的C点的挠度。,(2)将BC刚化, 即去掉BC，但保留BC对AB的 作用力，计算AB弯曲引起的C点的挠度,(3)将BC刚化计算

7、AB扭转变形引起的C点的挠度,计算B截面扭转角,所以，C点位移为：,根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。,5 梁的刚度计算,一、梁的刚度条件：,起重机大梁、吊车梁：,发动机曲轴、凸轮轴：,普通机床主轴、一般的轴：,强度与刚度,例7：车床主轴如图所示，已知工作时的径向力P1 =2000N，齿轮啮合处的径向力P2 =1000N；主轴的外径D =8cm，内径d =4cm； l=40cm， a=20cm，C处的许用挠度y=0.0001l，轴承B处的许用转角 =0.001rad。试校核其刚度。,将主轴简化为如图b所示的外伸梁，横截面的惯性矩为,(1)计算变形,由表7-1查出，因P1在C处

8、引起的挠度和在B引起的转角为：,由表7-1查得，因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角为：,则C处的总挠度为：,则B处的总转角为：,主轴的许用挠度和许用转角为：,故主轴满足刚度条件,(2) 校核刚度,二、提高承载能力的措施,1 减小梁的跨度 2 选择合理截面形状 3 改善梁的受力和支座位置 4 预加反弯度,（增加支座）,大自然中的悬臂梁,独根草，多年生草本植物，具粗壮的根状茎，生长在山谷和悬崖石缝处，为中国特有属。,拱,预应力梁,6 梁内的弯曲应变能,纯弯曲,横力弯曲,例 计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度wB，已知梁的弯曲刚度为EI。,解： 1 弯矩方程,2 弯曲应变能,3 计算

9、B点的挠度,7 简单超静定梁,未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力平衡方程不能求解的梁，称为超静定梁(静不定梁),概念,讨论：,?,实质：存在多余约束,多余约束 的作用,增加了未知力个数,增加对变形的限制,使问题变为不可解,使问题变为可解。,wB=0,wB=0,相当系统,MA,1 解除多余约束(代之以约束反力)； 2 补充方程； 3 与平衡方程联立求解。,解题步骤,力法,确定超静定次数，用反力代替多余约束得新结构 静定基,wB=0,A=0,静定基1,静定基2,思考题,1.弯矩和剪力分别由什么应力组成? 2.研究梁的正应力的基本思路是什么？ 3.什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中性轴

10、必通过横截面的形心。 4.什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也越小，对吗？为什么 ？,5、叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围可否推广到一般梁？ 6、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和抗扭截面模量有何关系？ 7、总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤。 8、由直径为D的圆木切割出一矩形梁，求出使梁的强度最大的高宽比。,简支梁跨中受集中力作用,悬臂梁自由端受集中力作用,悬臂梁自由端受集中力作用,转角方程和挠度方程总是连续的,(5)梁的最大挠度必产生于最大弯矩处。,(4)弯矩突变的截面处转角也突变；,(3)弯矩为零处，挠曲线曲率必为零；,(2

11、)弯矩最大的截面转角最大，弯矩为零的截面 转角为零；,(1)正弯矩产生正转角，负弯矩产生负转角；,9 试判断,10 应用叠加原理的条件是什么？ 小变形 材料处于弹性阶段且服从胡克定律 11 两悬臂梁，其横截面和材料相同，一梁的长度是另一梁的2倍，在梁的自由端作用有大小相等的集中力，则长梁自由端的挠度、转角分别是短梁的多少倍？,作业： P146 习题 7-1(1) 7-2 (1) 7-3(1) 7-4 (2) (3) 7-6 7-9 (2) 7-19 7-20,作业： P181 习题 5-1 5-2 5-5 5-6 5-7 5-9 5-10 5-12 5-15 (a) 5-18 (a) 5-19 (c) 5-20 (c) 5-23,比较三种情形下梁的 受力、剪力和弯矩图的 相同 之处和不同之处,从中能得到什么 重要结论？,或,用变形比较法解简单超静定梁,处理方法：3种方程（变