比较全面的等差等比数列的性质总结.doc

1、一、等差数列1.等差数列的定义：（d为常数）（）；2等差数列通项公式： ， 首项:，公差:d，末项: 推广： 从而；3等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）等差中项：数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列 （2） 等差中项：数列是等差数列 数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法

2、 定义法：若或(常数) 是等差数列7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为2）8.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.注：，（4）若、为等差数列，则都为等差数列 (5) 若是等差数列，则

3、 ，也成等差数列 （6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1.当项数为偶数时， 2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）（8）、的前和分别为、，且，则.（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和 (10)求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值 （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当

4、由可得达到最小值时的值或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量二、等比数列1. 等比数列的定义：，称为公比2. 通项公式： ， 首项：；公比：推广：， 从而得或3. 等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）

5、数列是等比数列4. 等比数列的前n项和公式： (1) 当时， (2) 当时，（为常数）5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列 （2） 等比中项：（0）为等比数列（3） 通项公式：为等比数列（4） 前n项和公式：为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列7. 注意（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等差，可设为，（公比为，中间项用表示）；8. 等比数列的性质 (1) 当时等比数列通项

6、公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得注：(4) 列,为等比数列,则数列, (k为非零常数) 均为等比数列.(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7) 若为等比数列,则数列，成等比数列(8) 若为等比数列,则数列, , 成等比数列(9)

7、当时， 当时，, 当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当q0，S130，（1）求公差d的取值范围。（2）指出S1，S2，S3，Sn中哪一个值最大，并说明理由。解：（1），即，由,代入得：。（2）解一：由，可知，所以S6最大。解二：，由可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S6最大。解三：，由得。又抛物线开口向下，所以S6最大。评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）变式：(1) 已知等差数列an中，问S1，S2，S3，Sn中哪一个值

8、最大。(2) 数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和略解：（1）由题得，是首项为3，公差为的AP。，由，得，数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，当时，当时，当时，例3、(1) 由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式解：当时，得不成立，由得，代入得，说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1(2) 若数列成等差数列，且，求解：（法一）基本量法（略）； （法二）设，则得：， ，评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征。变式：设数列an为

9、等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列的前n项和，求Tn。解：法一：（基本量法）设an首项为a1，公差为d，则 ， 此式为n的一次函数， 为等差数列， 。法二：an为等差数列，设Sn=An2+Bn， 解之得： ，下略。例4、已知等差数列， （1）在区间上，该数列有多少项？并求它们的和；（2）在区间上，该数列有多少项能被整除？并求它们的和.解：，（1）由，得，又, 该数列在上有项, 其和（2），要使能被整除，只要能被整除，即，在区间上该数列中能被整除的项共有项即第项，其和等差、等比数列性质及应用复习参考题一、选择题1.在正整数100至500之间能被11整除的个

10、数为（ ）A.34B.35C.36D.372.an是等差数列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是（ ）A.24B.27C.30D.333.设函数f(x)满足f(n+1)=(nN*)且f(1)=2,则f(20)为（ ）A.95B.97C.105D.1924. 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（ ） A4005 B4006 C4007 D40085.等差数列an中，已知a1=6,an=0,公差dN*,则n(n3)的最大值为（ ）A.5B.6C.7D.86. 设命题甲:ABC的一个内角为60o，命题乙:ABC的三个内角的度数成等差数列.那

11、么( ) (A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件(C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.已知等差数列an的公差为正数，且a3a7=12,a4+a6=4,则S20为（ ）A.180B.180C.90D.908. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）A.9B.10C.19D.299.由公差为d的等差数列a1、a2、a3重新组成的数列a1+a4, a2+a5, a3+a6是（ ）A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为3d的等差数列D.非等差数列10.在等差数列an中，若

12、S9=18,Sn=240,an4=30,则n的值为（ ）A.14B.15C.16D.17二、填空题11.在数列an中，a1=1,an+1=(nN*),则是这个数列的第_项.12.在等差数列an中，已知S100=10，S10=100，则S110=_.13.在9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为21的等差数列，则n=_.14.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn、Tn,若=,则=_.15. 已知等差数列a n的公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是 16. 若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地：若是等比数列，且，则是等比数列,其中 17. 设mN+，log

13、2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+F(1024)的值是 三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.若等差数列5，8，11，与3，7，11，均有100项，问它们有多少相同的项？19. 在等差数列an中，若a1=25且S9=S17,求数列前多少项和最大.20. 已知f(x+1)=x24,等差数列an中,a1=f(x1), a2=,a3=f(x).(1)求x值； （2）求a2+a5+a8+a26的值.21.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn1=0(n2),a1=.(1)求证：是等差数列； （2）求an表达式；（3）若bn=

14、2(1n)an(n2),求证：b22+b32+bn21.13、14等差、等比数列性质及应用复习题参考答案一、 选择题：1、 C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、C 7、A 8、B 9、B 10、B二、填空提：11、6 12、110 13、5 14、 15、 16、 17、8204三、解答题：18 设这两个数列分别为an、bn,则an=3n+2,bn=4n1,令ak=bm,则3k+2=4m1.3k=3(m1)+m,m被3整除. 设m=3p(pN*),则k=4p1.k、m1,100. 则13p100且1p25. 它们共有25个相同的项.19. S9=S17，a1=25,925+d=1725+d，解得d=2,Sn=25n+(2)=(n13)2+169.由二次函数性质知前13项和最大.20.、（1）f(x1)=(x11)24=(x2)24f(x)=(x1)24,a1=(x2)24,a3=(x1)24， 又a1+a3=2a2,解得x=0或x=3.(2) a1、a2、a3分别为0、3或3、0an=(n1)或an