苏教版八年级下册数学正方形（基础）知识点整理及重点题型梳理

1、苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习正方形（基础）【学习目标】1理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2掌握正方形的性质及判定方法【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角四个角都是直角；3.对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组

2、对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上下列结论：CE=CF；AEB=75；B

3、E+DF=EF；S正方形ABCD=2+其中正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180判断的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断的正误【答案】C【解析】解：四边形ABCD是正方形，AB=AD，AEF是等边三角形，AE=AF，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，BC=DC，BCBE=CDDF，CE=CF，说法正确；CE=CF，ECF是等腰直角三角形，CEF=45，AEF=60，AEB=75，说法正确；如图，连接A

4、C，交EF于G点，ACEF，且AC平分EF，CAFDAF，DFFG，BE+DFEF，说法错误；EF=2，CE=CF=，设正方形的边长为a，在RtADF中，a2+（a）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，说法正确，正确的有故选C【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CECF，连接DE，BF求证：DEBF【答案】证明：四边形ABCD是正方形，BCDC，BCD90E为BC延长线上的点，DCE9

5、0，BCDDCE在BCF和DCE中，BCFDCE（SAS），BFDE【变式2】（2015咸宁模拟）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则BFC为（）A75 B60 C55 D45【答案】B；提示：四边形ABCD是正方形，BAD=90，AB=AD，BAF=45，ADE是等边三角形，DAE=60，AD=AE，BAE=90+60=150，AB=AE，ABE=AEB=（180150）=15，BFC=BAF+ABE=45+15=60；故选：B2、（2016贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，EBF是等腰直角三角形，其中EBF=90，连接CE、CF

6、（1）求证：ABFCBE；（2）判断CEF的形状，并说明理由【思路点拨】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，ABC=90，再由EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出ABF=CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出ABFCBE；（2）根据EBF是等腰直角三角形可得出BFE=FEB，通过角的计算可得出AFB=135，再根据全等三角形的性质可得出CEB=AFB=135，通过角的计算即可得出CEF=90，从而得出CEF是直角三角形【答案与解析】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=CB，ABC=90，EBF是等腰直角三角形，其中EBF=90，BE=BF，ABC

7、CBF=EBFCBF，ABF=CBE在ABF和CBE中，有，ABFCBE（SAS）（2）解：CEF是直角三角形理由如下：EBF是等腰直角三角形，BFE=FEB=45，AFB=180BFE=135，又ABFCBE，CEB=AFB=135，CEF=CEBFEB=13545=90，CEF是直角三角形【总结升华】本题考查了正方形的性质全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据判定定理SAS证明ABFCBE；（2）通过角的计算得出CEF=90本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明

8、两三角形全等是关键举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC求证：FNEC【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，ABBEEF，BCBN，FENEBC90，AB2BC，即BCBNBN，即N为BE的中点，ENNBBC，FNEECB，FNEC类型二、正方形的判定3、如图所示，在RtABC中，C90，BAC、ABC的平分线相交于点D，且DEBC于点E，DFAC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由【答案与解析】解：是正方形，理由如下： 作DGAB于点G AD平分BAC，DFAC，DGAB，

9、 DFDG 同理可得：DGDE DFDE DFAC，DEBC，C90， 四边形CEDF是矩形 DFDE 四边形CEDF是正方形【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OAOC，OD平分AOC交AC于点D，OF平分COB，CFOF于点F（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由【答案】（1）证明：OD平分AOC，OF平分COB（已知），AOC2COD，COB2COF，AOCBOC18

10、0，2COD2COF180，CODCOF90，DOF90；OAOC，OD平分AOC（已知），ODAC，ADDC（等腰三角形的“三合一”的性质），CDO90，CFOF，CFO90四边形CDOF是矩形；（2）当AOC90时，四边形CDOF是正方形；理由如下：AOC90，ADDC，ODDC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当AOC90时，四边形CDOF是正方形类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系中，边长为(为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在轴正半轴上运动，顶点B在轴正半轴上运动(轴的正半轴、轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限 (1)当BAO45时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；【答案与解析】解：(1)当BAO45时，PAO90， 在RtAOB中，OAAB