2第二章 离散时间信号与系统的变换域分析.ppt

1、数字信号处理课件,第2章 刘益成,数字信号处理 第2章 2004,2-1 序列的Z变换 2-2 序列的傅里叶变换 2-3 离散时间系统变换域分析 2-4 希尔伯特变换,第二章 离散时间信号与系统 的变换域分析,数字信号处理 第2章 2004,2.1.1 Z变换的定义,2-1 序列的Z变换,对抽样信号进行拉氏变换得：,数字信号处理 第2章 2004,*将x(nT)记为x(n)，得,上式为序列x(n)的双边z变换,*若信号x(n)为因果序列，x(n)=0,n0 则有,为序列x(n)的单边z变换,数字信号处理 第2章 2004,2.1.2 Z变换的收敛域,对于任意给定的序列x(n)，使Z变换收敛的所

2、有z值得集合称为X(z)的收敛域。,其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即,数字信号处理 第2章 2004,根据级数收敛的阿贝尔定理,对于不同的序列x(n)，可求得相应的收敛域，下面分别予以说明。,数字信号处理 第2章 2004,1.有限长序列,x(n)仅在有限长的时间间隔n1n n2内，序列值不全为零，其它时间全为零，即,其Z变换式为,收敛域为,数字信号处理 第2章 2004,2.右边序列,x(n)在n n1时，序列值不全为零，在n n1时序列值全为零，此时有,收敛域为,如为因果序列，其收敛域为,数字信号处理 第2章 2004,3.左边序列,x(n)在n n2以外序列值全为零，仅在n n2时

3、有非零值，其z变换为,收敛域为,数字信号处理 第2章 2004,4.双边序列,双边序列的序列值n可取任何整数值 ，其z变换为,收敛域为左边序列 与右边序列的重叠部分， 如果， ,则整个 序列收敛域为,如果 级数没有公共收敛域，则Z变换不存在。,数字信号处理 第2章 2004,如果序列Z变换可表达成有理分式的形式:,称分子多项式的零点为X(z)的零点，分母多项式的零点为X(z)的极点，因为极点z变换不存在，因此在收敛域内应没有极点，故可通过取X(z)的极点为边界来确定其收敛半径。,数字信号处理 第2章 2004,例2-1-1 求单位阶跃序列 u(n) 的z变换，并确定其收敛域。,解：,由于u(n

4、)为因果序列，其Z变换收敛域为 ，因函数 在z=1处有一极点，极点应在收敛域外，因此可取 ，求得u(n)的z变换收敛域为 。,数字信号处理 第2章 2004,例2-1-2 求序列,解： 这是一个双边序列，其Z变换为,的z变换及收敛域。,上式第二项为因果序列的z变换，极点为z=a，第一项为左边序列，z变换极点为 ，综合的 。,数字信号处理 第2章 2004,2.1.3 逆Z变换,从给定的z变换表达式(包括收敛域)求原程序的过程，称为逆z变换。实质上是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。,求逆z变换常用以下3种基本方法：,* 围线积分法,* 部分分式展开法,* 长除法(或幂级数展开法),数字信号处

5、理 第2章 2004,1. 围线积分法 根据复变函数中的柯西积分公式,式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。,在Z变换的定义式中两边同乘以zk-1，并作围线积分，得,利用柯西积分公式，当n=k时，得到X(z)的 逆Z变换公式如下,数字信号处理 第2章 2004,若被积函数X(z)zn-1是有理分式，一般采用 留数定理来计算围线积分 。,根据留数定理，x(n)等于围线C内全部极点留数之和，即,如果X(z)zn-1还满足在 有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有,ak是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 bk是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点,数字信号处理

6、第2章 2004,如果zk为单阶极点，按留数定理,如果zk为 m 阶极点，则其留数为,在具体利用留数定理进行计算围线积分时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题简化。 例如，在n小于某一值时，在z=0在围线内部可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。,数字信号处理 第2章 2004,求原序列x(n),例 2-1-3已知序列的Z变换为,解:,并且当 时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得,由于收敛域为 ，可知该序列必定是因果序列。,数字信号处理 第2章 2004,例 2-1-4已知序列的Z变换为,求原序列x(n),

7、解 由于收敛域 为环域，知x(n)必为双 边序列, 其被积函数为,例2-1-4被积函数的极点,数字信号处理 第2章 2004,在收敛域 内，作包围原点的围线，当 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为,当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在,围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有,综上可得,数字信号处理 第2章 2004,部分分式展开法用于求序列的Z变换为下述有理分式形式时的逆Z变换。,2部分分式展开法,若假定序列为因果序列，则一定有NM。当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式,数字信号处理 第2章

8、 2004,其中zk为X(z)的单极点, Ak(k=0,1,N)为常数。A0对应的序列为(n)，由例2-1-3知，求和式中的各项所对应的序列为 。因而上式的逆Z变换为,可按留数定理求得各系数Ak(k=0,1,N)如下，为了方便通常利用X(z)/z的形式求取,数字信号处理 第2章 2004,当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处有一个s阶的极点，则其展开式修改为,式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为,数字信号处理 第2章 2004,例2-1-5 已知 求X(z)的原序列。,解：将X(z)变为X(z)

9、/z的形式并化为部分分式,由求系数Ak的公式求得,因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列，从而求得,数字信号处理 第2章 2004,按定义Z变换为z-1的幂级数，只要在给定的收敛域内将X(z)展开成幂级数形式，则级数中的系数就是原序列x(n)。,3长除法(幂级数展开法),在具体进行长除法时，要根据收敛域，先确定序列是左边序列还是右边序列，对于左边序列Z变换为z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂排列展开，对于右边序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列进行展开。,数字信号处理 第2章 2004,解：由收敛域知，这是一右边序列，用长除法将其 展开成z的负幂级数，将分母多项式按降幂排 列,所以

10、,数字信号处理 第2章 2004,例 2-1-7 用长除法求Z变换,解 由于收敛域 为环域，知x(n)必为双 边序列, 将X(z)部分分式分解,上式括弧中的第一项对应于右边序列，用长除法将其展开成z的负幂级数，将分母多项式按降幂排列，第一项对应于左边序列，用长除法将其展开成z的正幂级数，将分母多项式按升幂排列。,的逆Z变换x(n),数字信号处理 第2章 2004,对右边序列,由此求得右边序列为,对左边序列,由此求得左边序列为,综上可得,数字信号处理 第2章 2004,利用已知的幂级数展开式求序列的逆Z变换。如下例所示。,例2-1-8 求以下Z变换的逆Z变换 x(n),因此x(n)为,数字信号处

11、理 第2章 2004,一些常用序列的Z变换,见课本P39页,数字信号处理 第2章 2004,2.1.4 Z变换的性质与定理,1. 线性性,Z变换是一种线性变换，满足叠加原理。如果序列x(n)和y(n)的Z变换分别用X(z)和Y(Z)表示，即,则,数字信号处理 第2章 2004,例 2-1-9 求序列 的z变换，并确定其收敛域。,解：,由z变换的线性性，有,数字信号处理 第2章 2004,2.序列的移位,如果,则,n0为正(右移),为负(左移),数字信号处理 第2章 2004,例2-1-10 设,求 的z变换和收敛域。,解：,由于,由移位特性,所以,数字信号处理 第2章 2004,3.序列乘指数

12、序列(z域尺度变换),证明,数字信号处理 第2章 2004,4.序列的反褶,5.序列的共轭,若 则,若 则,数字信号处理 第2章 2004,6.微分性质,证明,即,数字信号处理 第2章 2004,例 2-1-11 利用微分性质求下面z变换的逆z变换x(n).,解：首先将X(z)对z进行微分得,根据微分性质，有,但,所以,数字信号处理 第2章 2004,7.初值定理,如果x(n)为因果序列，它的初值可由下式求得,这是因为,数字信号处理 第2章 2004,8.终值定理,若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有,数字信号处理 第2章 2004

13、,证：,对因果序列 x(n)=0, n0, 故有,由于假设X(z)在单位圆上仅在z=1处有一阶极点，因此(z-1) X(z)在单位圆上无极点。即(z-1) X(z)的收敛域为 1，这样允许对上述等式的两端取z1的极限,数字信号处理 第2章 2004,9.卷积定理,若,则,其中,数字信号处理 第2章 2004,证明：,由于Y(z)=X(z)H(z)，所以Y(z)的收敛域是X(z)和H(z)的重叠部分，一般来说要比原来的小，但如果其中一个Z变换在收敛域边界上的极点被另一个的零点所抵消，则收敛域会扩大。 卷积定理是离散时间信号与系统分析中最重要的定理之一。按照卷积定理，显然有,数字信号处理 第2章

14、2004,利用卷积定理可以很容易证明序列的相关定理。已知序列x(n)和y(n)的互相关序列为,则rxy(m)的Z变换为,若 y(n) = x(n)则自相关序列rxx(m)的Z变换为,数字信号处理 第2章 2004,例 2-1-12 设 ， ， , 用卷积定理求,解： 由于,在围线内有两个极点z=a和z=1，从而求得,按卷积定理得,数字信号处理 第2章 2004,10.序列相乘（复卷积定理）,若,则,数字信号处理 第2章 2004,若序列都是因果序列，则由于 ，,则有,现证明,按Z变换定义得,数字信号处理 第2章 2004,例 2-1-13 已知,用复卷积定理求,解 由于,按复卷积定理有,数字信

15、号处理 第2章 2004,在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为,故只有一个极点v2=b在围线积分内。用留数定理求得,数字信号处理 第2章 2004,11.帕思瓦定理(Parseval),若,则,且,其中C为在由下述不等式确定的收敛域内，绕原点的一条闭合曲线。,数字信号处理 第2章 2004,证明: 按序列的共轭性质式有,则由复卷积定理有,由于假设条件规定 ,因此 =1在收敛域内。因此可令z=1，有,帕思瓦定理实际上能量守恒定理在Z域中的反映，其具体的物理意义将在序列的傅立叶变换中说明。,数字信号处理 第2章 2004,在1.1

16、.2节中曾介绍了对序列的抽取运算，将序列x(n)以M：1抽取后形成的新序列y(n)两者之间的关系为,12重抽样序列的Z变换,则,数字信号处理 第2章 2004,证明：作函数,数字信号处理 第2章 2004,2.1.5 Z变换与拉氏变换的关系,1. S平面到Z平面的映射,Z变换与拉氏变换的关系:,这个关系实际上是通过 将S平面的函数映射到了Z平面。,若将Z平面用极坐标表示 ，S平面用直角坐标表示 ，代入 ，得,也就是说 z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。,数字信号处理 第2章 2004,由式,而z 的幅角 与 s 的虚部 的关系是线性关系。其映射关系

17、为,得到z 的模 r 与 s 的实部 的关系为,(S平面实轴映射到Z平面的正实轴) (S平面原点映射到z=1点),(当由- /T 增加到+ /T 时,对应于 由- 增加到+ ),数字信号处理 第2章 2004,但由于 是 的周期函数，S平面每增加一个宽为2 /T 的水平条带时，对应于Z平面从 - 到+ 旋转了一周。这样就有,即S平面的整个虚轴都映射到了Z平面 =1 的单位圆上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,这些关系示于下图,数字信号处理 第2章 2004,2抽样序列的Z变换表示,已知抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例，按照前面的SZ平面的映射

18、关系，它映射到Z平面 =1 的单位圆上，故有,或,Z平面的角变量 ，称为数字频率，单位为弧度。,数字信号处理 第2章 2004,2-2 序列的傅里叶变换,序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用 作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用 对模拟信号进行展开相似。,数字信号处理 第2章 2004,1序列傅立叶正变换,2.2.1 序列傅里叶变换的定义,x(n)的傅立叶变换定义如下:,是 的连续函数。但由于 其中M为整数，故有,可见 还是 的周期函数，周期为2 。,数字信号处理 第2章 2004,2序列傅立叶变换与Z变换的关系,比较 傅立叶变换式 与Z变换的

19、定义式,可见序列的傅立叶变换是Z变换在 时的Z变换，即Z变换在的单位圆上 的特殊情况。故有,数字信号处理 第2章 2004,在2.1.5节曾经指出，单位圆上的Z变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。,数字信号处理 第2章 2004,一般为 的复变函数，可表示为,其中， 分别为 的实部和虚部，通常称 为幅频特性或幅度谱，而称 为相位谱，并且有,它们也都是 的连续函数和周期为2 的周期函数。,数字信号处理 第2章 2004,例 2-2-

20、1 已知 ，求它的傅立叶变换。,解：,其幅度谱和相位谱分别为,数字信号处理 第2章 2004,其图形如下,数字信号处理 第2章 2004,3序列的傅立叶反变换,序列的傅立叶反变换记为,其公式为,数字信号处理 第2章 2004,4序列的傅立叶变换的收敛条件,根据级数收敛的条件，序列傅立叶变换式存在的条件为,*这要求序列满足绝对可和的条件 *该条件是序列傅氏变换存在的充分但非必要条件,数字信号处理 第2章 2004,例 2-2-2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。,解：,*上式给出的序列不是绝对可和的，而是平方可和的,上式的求和利用了后面要介绍的傅立叶变换的帕思瓦定理(Parseval)。

21、,数字信号处理 第2章 2004,例 2-2-3 证明复指数序列 的傅立叶变换为,证明：,计算 的傅立叶反变换，利用冲击函数 的性质， 有,当 =0时， =1，由此得到常数1的傅里叶变换为,若序列可表示成复指数和的形式，,数字信号处理 第2章 2004,利用例2-2-3的结果，可以得到它们的傅立叶变换表达式,例 2-2-4 求余弦序列 的傅立叶变换,解：,利用上式的结果得,*可见 的傅立叶变换表现为在 处的冲击，强度为 ，它还以2 为周期进行周期延拓。,数字信号处理 第2章 2004,一些常用序列的傅立叶变换,见课本P51页,数字信号处理 第2章 2004,2.2.2 序列的傅立叶变换的性质,

22、下面列出这些性质，所有性质都可直接由Z变换令 得到，可自行证明。,因序列的傅立叶变换是Z变换在 的单位圆上的特例，故所有Z变换的性质对傅立叶变换都成立。,数字信号处理 第2章 2004,1.线性性,则对任何常数a和b有,如果,2.序列的移位,则,如果,即时域的移位，导致频域的相移,数字信号处理 第2章 2004,3.频域的相移,则,如果,即频域的相移相当于对时域信号进行了调制。,4.序列的反褶,则,如果,数字信号处理 第2章 2004,5.序列的共轭,则,如果,6.微分性质,即对时域信号进行线形加权对应于频域的微分。,数字信号处理 第2章 2004,7.时域卷积定理,则,若,即两个序列在时域的

23、卷积对应于频域即为两个序列傅立叶变换的乘积。,数字信号处理 第2章 2004,8.序列相乘(频域卷积定理),则,若,即两个序列在时域的乘积对应于频域即为两个序列傅立叶变换的卷积。,数字信号处理 第2章 2004,9.序列相关,则,若,数字信号处理 第2章 2004,下面证明性质9,证明：,由时域卷积定理及反褶定理得,当x(n)=y(n)时，有,*上式说明序列的自相关函数的傅立叶变换就是序列的功率谱，这就是著名的维纳-辛欠定理，,是序列的功率谱,数字信号处理 第2章 2004,10.帕思瓦定理(Parseval),则,若,数字信号处理 第2章 2004,证明: 由Z变换的帕斯瓦定律,*帕思瓦定理

24、是说明了时域的能量等于频域中的能量。,例2-2-2 就是使用帕思瓦定理的例子。,当x(n)=y(n)时有,数字信号处理 第2章 2004,11.重抽样序列的傅立叶变换,则,若,或,*重抽取序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了M倍，并将展宽后的频谱以 为周期扩展了M个，幅度则下降到原来的1/M。,数字信号处理 第2章 2004,2.2.3 序列傅里叶变换的对称性,1序列的共轭对称性质,若序列 满足,则称 为共轭对称序列 。,类似地，若序列 满足,则称 为共轭反对称序列,数字信号处理 第2章 2004,任何序列 均可表示成上述两个序列之和，即,其中,若将共轭对称序列 用它的实部和虚部来表示。,因此有

25、,相应的,*表明 的实部是n的偶函数，而虚部是n的奇函数。 的实部是n的奇函数，而虚部是n的偶函数。,数字信号处理 第2章 2004,2序列傅立叶变换的共轭对称性,将序列x(n)分成共轭对称与共轭反对称部分,即,对上式两边进行傅立叶变换，则,若将 分成实部与虚部,可知,*表明 的傅立叶变换对应于 的实部， 的傅立叶变换对应于 的虚部(加上j在内).,数字信号处理 第2章 2004,将序列x(n)分成实部与虚部,对上式两边进行傅立叶变换，则,定义,则,*表明 具有共轭对称性质， 具有共轭反对称性质.,显然有,数字信号处理 第2章 2004,由以上性质，可得到以下推论：,*若序列为纯实数序列，即若

26、,则有,由此得出：,所以实序列x (n)的傅立叶变换的实部是w的偶函数，而虚部是w的奇函数。,数字信号处理 第2章 2004,*如果将傅立叶变换表示成极坐标的形式：,可见，对实序列x (n)的傅立叶变换来说，其幅度是w的偶函数，而相位是w的奇函数,即,同样若序列为纯虚数序列，即若 ，显然有,即纯虚数序列的傅立叶变换是w的奇函数。,数字信号处理 第2章 2004,傅立叶变换的一些常用性质,见课本P56页,数字信号处理 第2章 2004,2-3 离散时间系统变换域分析,本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的变换域分析方法，它们分别是h(n)的Z变换和傅立叶变换。,数字信号处理 第2章 200

27、4,1系统函数与系统的频率响应,2.3.1 系统函数,已知系统单位脉冲响应为h(n)，那么线性时不变系统零状态响应的输入输出关系为,两边取Z变换得,则,称H(z)为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换 ，即,数字信号处理 第2章 2004,系统函数在单位圆上的Z变换，即单位脉冲响应的傅立叶变换,这就是系统的频率响应。 又称为系统的传输函数。频率响应有明显的物理意义，考虑给系统输入单频率的复信号 ，则系统的输出为,表明，当输入为一个单频率的信号时，输出仍然是同一频率的信号，但它的幅度与相位都因为 的加权而发生了变化，且 | |的值是随频率的变化而变化的。,数字信号处理 第2章 20

28、04,2系统的因果性与稳定性的Z变换表示,因果系统 因果系统的系统函数H(z)具有包括点的收敛域:,综上所述,稳定因果系统的收敛域为:,即H(z)在|z|=1的单位圆上收敛,这要求系统函数的所有极点都必须在单位圆内。,稳定系统 由稳定系统的充要条件式有,数字信号处理 第2章 2004,例 2-3-1 已知系统的系统函数如下式所示， 判断系统的因果性和稳定性。,解： 上式有2个极点， 和 ，给定 的收敛域为 ，包括无穷远点 ，故系统为因果系统，但收敛域不包括 单位圆，因此系统是不稳定的。,数字信号处理 第2章 2004,在上题中，如果将收敛域改为( )，这时，收敛域包括单位圆，但不包括无穷远点，

29、因此系统是稳定的但不是因果的。实际上这时系统的单位脉冲响应 ，显然不是因果的。 该例说明同一个系统函数，如果收敛域不同，系统的特性是完全不同的。 由于任何物理可实现系统都必定是因果的，对于这种非因果但稳定的系统，有时可采用将单位脉冲响应截取一段后保存在存储器中，通过延时使之变成因果系统来近似实现。,数字信号处理 第2章 2004,例如在上例中，若将 截取从（ ）的一段，然后令,来近似实现，如图所示。,显然N越大，近似程度越好，但系统也就越复杂成本也越大。,数字信号处理 第2章 2004,2.3.2 离散时间系统的Z变换解法,当输入序列x(n)为因果序列时，线性时不变系统的常系数差分方程描述为,

30、1零状态响应的解法,在系统初始状态为零，即y(n)=0(n0)时，对上式两边取双边Z变换，由Z变换的移位特性可得,数字信号处理 第2章 2004,于是,由于常系数的差分方程中的系数ak和bk是已知的，按上式可求得H(z)，这样由Z变换的卷积定理，当x(n)给定时就可由下式求得响应y(n)，,这就是差分方程的零状态响应的Z变换解法。,数字信号处理 第2章 2004,当系统的初始状态不为零时，除了考虑零状态响应外还必须考虑零输入响应。这时差分方程的Z变换解法需使用单边Z变换。 由于序列移位的单边Z变换与双边Z变换不同，下面先说明单边Z变换的移位特性。,2初始状态不为零的解法,数字信号处理 第2章

31、2004,设,则,这就是序列移位后的单边Z变换。,数字信号处理 第2章 2004,对式 两边进行单边Z变换，利用单边Z变换的移位特性，得到,由此得到,*上式右边的第一项只与输入有关，与初始状态无关，即零状态响应，它与用双边Z变换求得的结果相同。 *第二项只与初始状态有关，与输入无关,称为零输入响应。,数字信号处理 第2章 2004,例 2-3-2 已知系统的输入输出满足以下差分方程， 求输入信号x(n)=u(n)时系统的响应。,解：对差分方程两边作单边Z变换，得,初始条件 y(-1)=1,收敛域为 ，求逆Z变换，得,第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。,数字信号处理 第2章 2004,2.

32、3.3 系统函数的零极点与频率响应,1零极点分布与系统的频率响应,为两个的多项式之比，将其进行因式分解得,其中ck和dk分别为H(z)的零点和极点。因此除了一个常数A之外，系统函数可完全由它的零极点来决定。,系统函数式,数字信号处理 第2章 2004,对于一个稳定系统，其极点应全部位于单位圆内，即单位圆包括在收敛域内，因此其傅立叶变换存在，将 代入上式，得到系统的频率响应,数字信号处理 第2章 2004,利用H(z)的零点和极点可用几何的方法确定系统的频率响应。(见下图),数字信号处理 第2章 2004,这样有,则系统的幅频响应为,相位响应为,系统的频率特性见下图,数字信号处理 第2章 200

33、4,由幅频响应可知当频率点变到极点附近时，Pk就变小，就会在该极点附近的频率出现峰值，极点越接近单位圆，峰值就越尖锐。同样，当频率点变到零点附近时，Qk就变小，就会在该零点附近的频率出现低谷，当零点在单位圆上时，该零点就是传输零点。可见在单位圆附近的零极点对系统的幅频特性有较大的影响。零点可在单位圆内外，但极点只能在单位圆内，否则系统将不稳定。,而系统的相位响应对幅度特性没有影响。,数字信号处理 第2章 2004,下面举例说明用几何的方法确定系统频率响应的方法。,例2-3-3 已知系统的差分方程为 ， 指出系统函数的零极点并分析系统的频率响应。,解 系统的传输函数为,系统的极点为z=a，零点在

34、实轴上为z=0，当ej在单位圆上从=0逆时针旋转时，在=0处，极点到单位圆的距离最短，因此=0频率点幅度最大，成为波峰，而在=时，极点到单位圆的距离最长，因而在=频率点幅度最小，成为波谷。而在原点处的零点，对幅度特性没有影响。,数字信号处理 第2章 2004,幅度特性：,相位特性：,系统频率特性表达式如下，,系统频率特性为低通特性，见下图,数字信号处理 第2章 2004,2.3.4 系统的分类,根据系统的单位脉冲响应h(n)在时域中的长度可将它分为两种类型，,可以根据系统函数的零极点来判断系统是IIR系统还是FIR系统。,*当h(n)的长度为有限长时称为有限长脉冲响应系统，简称为FIR系统。,

35、*当h(n)的长度为无限长时称为无限长脉冲响应系统，简称为IIR系统。,数字信号处理 第2章 2004,1. 无限长单位脉冲响应(IIR) 系统,如果将系统函数式中系数a0归一化为a0 =1，仍用ak, bk表示分子分母中的其它系数，则可表示成,若系统函数式中分母多项式系数ak只要有一个ak0， 则在有限Z平面上将会出现极点。若该极点不被零点所抵消，H(z)的逆Z变换h(n)就会有无穷多项，也就是说系统的单位脉冲响应将无限长，因此这样的系统就是IIR系统。,数字信号处理 第2章 2004,对于IIR系统由于h(n)无限长，在实际计算中即使x(n)已知，显然也无法通过卷积公式,求得系统的响应y(

36、n)，只能从求解差分方程或Z变换的方法求得y(n)，另一方面由于IIR系统中至少有一个ak0（k=1,2,），其差分方程表达式(设a0=1)为,可以看出其输出不但与输入有关，还与以前的输出及其加权值有关，即系统中存在着输出对输入的反馈回路。这种结构常被称作为递归结构，在求解差分方程时需采用迭代的方法。,数字信号处理 第2章 2004,2有限长单位脉冲响应(FIR)系统,若所有ak全等于零，此时H(z)在有限Z平面上无极点，则H(z)变为,这时系统的单位脉冲响应h(n)为,其持续时间为有限长，因此这样的系统就是FIR系统。,h(n)=bn n=0,1,.,M,数字信号处理 第2章 2004,对于

37、FIR系统，由于它的h(n)为有限长，若已知输入x(n)，显然可通过卷积的公式直接算出输出y(n)。例如假定h(n)取值范围为0nN-1 则,另一方面，若直接由差分方程来求输出，由于所有ak=0（k=1,2,），此时差分方程变为,其输出仅与当前及以前的输入有关，与输出无关，不存在着输出对输入的反馈，这种结构通常又被称为非递归结构。,数字信号处理 第2章 2004,2.3.5 全通系统与最小相位系统,1全通系统,若系统的幅度特性为:,则称该系统为全通系统。,全通系统的频率响应可表示为:,数字信号处理 第2章 2004,一个N阶的全通系统的系统函数表达式为 ：,令 ,由于 故,满足全通系统的定义。

38、,数字信号处理 第2章 2004,一个N阶的全通系统的系统函数表达式为可化为一阶和二阶系统乘积的形式,其中，ai为系统函数的极点。若系统函数是实有理分式，则 a1k、a2k为实数。,数字信号处理 第2章 2004,全通系统的零极点具有以下特性:,设 为H(z)的极点,则 一定为零点, 对实有理分式的H(z),zk,pk还应为共轭成对。这样全通系统的零极点相对单位圆是镜象共轭成对的，零点全部在单位圆外,如图所示。,数字信号处理 第2章 2004,稳定的全通系统函数的幅度具有以下性质：,数字信号处理 第2章 2004,现在讨论全通系统函数的相位特性,性质2 对实稳定全通系统，当频率从0变 化到时，

39、N阶全通系统的相位的改 变为N 。,性质1 全通系统的相位特性 随频率单调 下降，即有,数字信号处理 第2章 2004,现说明性质1,先考虑最简单的由 和 构成的一阶系统函数(r1),其频率响应为,数字信号处理 第2章 2004,显然其幅度响应为,而相位为,上式对微分，得,由于r1，因而对任何频率恒有 小于零。,对于N阶系统，总的相位是所有的 总和，因而性质1成立。,通常定义系统的群延时为,数字信号处理 第2章 2004,现说明性质2,先考虑N=1时的一阶系统。对实一阶系统，零极点应为实数，此时 ，当频率从0变化到时，其相位改变为,再考虑由一阶系统式的共轭零极点构成的二阶系统,其相位响应为,当

40、频率从0变化到时，其相位改变为,数字信号处理 第2章 2004,*任何全通系统都可化为一阶和二阶函数之积，其相位为这些一阶和二阶系统的相位之和，可表示为,当频率从0变化到时，其相位改变为,或,数字信号处理 第2章 2004,2最小相位系统,零极点都在单位圆内的系统这就是所谓的最小相位系统。 与此相对应，当系统函数的零点都在单位圆外，称为最大相位系统.在单位圆内外都有零点的系统称为混合相位系统。,数字信号处理 第2章 2004,当频率由0变到2时，单位圆内的每个零点对相位变化的贡献为+2，极点为-2。而单位圆外的每个零极点对相位变化的贡献为0。设系统具有M个零点，单位圆内有mi个，单位圆外有mo

41、个，有N个极点，单位圆内有ni个，单位圆外有no个。对稳定系统no=0，N=ni。当频率由零变到2时，由式（2-3-16），稳定系统的相位改变量为,当系统函数的所有零点也在单位圆内时，mo =0，因此当由零变到2时： 最小相位系统的相位改变量为零。,数字信号处理 第2章 2004,式中 H(z)为非最小相位系统 Hmin(z)最小相位系统 HA(z)全通系统的传输函数,最小相位系统具有以下特性：,性质1 任何非最小相位系统都可以由 最小相位系统和全通系统相级 联构成。即,数字信号处理 第2章 2004,设H(z)仅有一个零点zo在单位圆外部，这样可将它写成,式中, H1(z)是一个零极点都在单

42、位圆内部的最小相位部分，上式可改写成,*上式说明可以把单位圆外的零点乘以全通函数后移到单位圆内。,数字信号处理 第2章 2004,性质2 最小相位系统的具有最小群延时 和最小相位滞后特性。,假设已知Hmin(z) 和H(z)，且Hmin(z) 和H(z)有相同的幅度响应，即 。其相位响应分别为 。 令全通系统的传输函数 ，其相位响应为 因为全通系统函数的群延时总是大于零，故有,先说明最小群延时性质,或,说明最小相位系统具有最小的群延时。,数字信号处理 第2章 2004,假设已知Hmin(z)，其频率响应为 其中,再说明最小相位滞后特性,设zi是它在单位圆中的一个零点，Hmin(z)可表示为：,

43、其中F(z)仍然是最小相位系统。,表示信号通过最小相位系统Hmin(z)后产生的相位滞后。,数字信号处理 第2章 2004,其中 表示信号通过系统HB(z)后产生的相位滞后.,由于HB(z)的零点z=(1/zi)*是zi的共轭倒数，在单位圆外，因此HB(z)是非最小相位的稳定系统。它的频率响应HB(ej)为,将因子(1-ziz-1)用因子(-zi*+z-1)代替，得到系统HB(z)，,数字信号处理 第2章 2004,比较Hmin(ej)与HB(ej)可得,其中,如图所示,数字信号处理 第2章 2004,上式表明Hmin(ej)与HB(ej)具有相同的幅度响应特性,它们的相位响应的差别为,*表明

44、，对0，p中的任何w恒有 ， 也就是说最小相位系统的相位滞后总是小于所有其它具有相同幅度响应的系统的相位滞后，这也就是最小相位系统名称的来由。,数字信号处理 第2章 2004,推论 全通系统的相位在0，p范围内为非正值。,因任何系统的相位可表示成最小相位系统的相位与全通系统的相位之和，故有,由于相位滞后是相位的负值，因此由式 若用HB(ej)代替H (ej)得到,这说明在0，p范围内全通系统的相位为非正值.,数字信号处理 第2章 2004,若最小相位系统的单位脉冲响应为hmin(n)，与之具有相同幅度响应的系统的单位脉冲响应为h(n)，若系统的输入为(n)，系统的输出就是单位脉冲响应，因此最小

45、能量延时的特性可以表示为,性质3 最小相位系统具有能量延时最小的特性,数字信号处理 第2章 2004,由式 知，可以将一般的系统表示成最小相位系统和全通系统相级联的形式，如图所示。,可以证明信号经过全通系统后能量不变，因此对因果系统有,数字信号处理 第2章 2004,设全通系统的单位脉冲响应为ha(n)，则有,取hmin(n)的前N项：x(n)= hmin(n)RN(n)作为全通系统ha(n)的输入，那么ha(n)的输出为,由于信号经过ha(n)后能量不变，因此,数字信号处理 第2章 2004,考虑n=0,N-1时h(n)的前N项，由于因果性，h(n)与所有nN-1后的输入hmin(n)无关，

46、因此有,这样可得,从而证明了式 成立，,若令N=1，可得,数字信号处理 第2章 2004,2-4 希尔伯特(Hilbert)变换,Hilbert 变换是信号分析中的重要工具。Hilbert变换可以用来构造解析信号，使信号仅含正频率成分，从而可降低信号的抽样率。Hilbert变换关系还可以用来表示带通信号，从而为无线电通信中的信号调制提供了一种方法。,数字信号处理 第2章 2004,1连续时间信号,2.4.1 Hilbert变换与解析信号,给定一实连续时间信号x(t)，其Hilbert变换 定义为,可以看成是x(t)通过一单位冲激响应为,的变换器的输出，如图所示,数字信号处理 第2章 2004,

47、由连续时间傅里叶变换的理论可知， 的傅里叶变换是符号函数 ，因此，其频率响应为,若记 ，那么 得,数字信号处理 第2章 2004,其幅频、相频特性如图,这就是说，Hilbert变换器是幅频特性为1的全通滤波器。信号x(t)通过Hilbert变换器后，其负频率成分作+90相移，而正频率成分作-90相移。,数字信号处理 第2章 2004,由 及时域卷积定理,即,由此可以得到Hilbert反变换的公式,有,数字信号处理 第2章 2004,解析信号: 设 为x(t)的Hilbert变换 ，定义,称为信号的解析信号(analytic signal)。对上式两边进行傅里叶变换得,由,有,数字信号处理 第2章 2004,这样，由Hilbert变换构成的解析信号，只含有正频率成分，且是原信号正频率分量的2倍， 如图所示,*与抽样定理相比，将x(t)构成解析信号后，由于z(t)只含正频率成分，最高频率仍为h，这时只需sh即可保证由x(n)恢复出x(t)，从而可降低抽样频率。,数字信号处理 第2章 2004,例2-4-1 给出 ，求其Hilbert变 换及解析信号。,解：,这样,对应的是正弦信号，所以余弦信号的,Hilbert变换是：,又因为,