基本不等式---求最值的常见技巧.doc

1、基本不等式-求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：逆用就是， 逆用就是等 两个变形：(1) ,即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数；（当且仅当时取等号）(2) （当且仅当时取等号) 三个注意 “一正、二定、三相等”的忽视 【解题方法技巧举例】1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数的最小值. 当且仅当，即时,等号成立. 所以的最小值是. 2、 配系数（乘、除项） 例2 已知，且满足，求的最大值. 分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式. 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 3、 裂项 例3已知

2、，求函数的最小值. 分析 在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题. 当且仅当，即时，取等号. 所以. 4、 取倒数 例4 已知，求函数的最小值. 分析 分母是与的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由，得，. 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值是. 5、 平方 例5 已知且求的最大值. 分析 条件式中的与都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决. 当且仅当，即，时，等号成立. 故的最大值是. 评注 本题也

3、可将纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想） 例6 求函数的最大值. 分析 可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. 7、 逆用条件 例7 已知,则的最小值是（ ） . 分析 直接利用均值不等式，只能求的最小值，而无法求的最小值.这时可逆用条件，即由，得，然后展开即可解决问题. 评注 若已知 (或其他定值)，要求的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若且,求的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 9、 消元 例

4、9、设为正实数，则的最小值. 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 【例题解析】例1 求函数的最值.解： （1）当时，当且仅当即时取等号.所以当时，. （2）当时， ， .当且仅当，即时取等号，所以当时，.例2已知，且，求的最小值.解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， .例3 当时，求的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可.当，即时取等号 ，所以当时，的最大值为8.例4 已知，求函数的最大值.解析：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项

5、，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，.例5 已知，为正实数，且，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式.同时还应化简中前面的系数为，.下面将，分别看成两个因式：则，当且仅当且，即，时，等号成立.所以的最大值为.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】1、 选择题1.已知，则的最小值是（ ）A2B C4D52.当0x0,则的最大值为（）31 7，设的最小值是( ) A. 10B. C. D. 8. 若x, y是正数，且，则xy有（） 最大值16 最小值最小值16最大值9. a,b是正数，则三个数的

6、大小顺序是（） 10. 下列函数中最小值为4的是( ) 11、 已知二次函数f(x)ax2(a2)x1(aZ)，且函数f(x)在(2，1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1的解集为( ) A(，1)(0，) B(，0)(1，) C(1,0) D(0,1)12、 已知M是ABC内的一点，且2，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则的最小值是( ) A20 B18 C16 D913设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ） A B C D15若，则的最小值为（ ）A8 B C2 D4 17.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( ) A. B. C.5 D.618下列不等式一定成立的是（）AB CD19若点在第一象限且在上移动，则 （ ）A、最大值为1 B、最小值为1 C、最大值为2 D、没有最大、小值20、 已知，求函数的最小值.21、已知，求函数的最大值. 不等式（含基本不等式）练习答案1C. 因为当且仅当，且，即时，取“=”号。2 C 3 A 4.A ;5.B; 6.C; 7.D; 8 C; 9.C; 10.C; 11，C 12