空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

1、空间中直线与直线之间的位置关系学习目标1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a，b，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为abO，所以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬

2、托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线.(3)判断方法方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2.空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类(2)按两条直线是否有公共点分类思考(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？(2)两条垂直的直线必相交吗？答(1)

3、不一定.可能相交、平行或异面.(2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直.知识点二公理4(平行公理)文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言ab图形语言知识点三空间等角定理1.定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.符号语言OAOA，OBOBAOBAOB或AOBAOB180图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答不一定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1

4、.概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角的取值范围：090.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作ab.4.异面直线所成的角的两种求法(1)在空间任取一点O，过点O分别作aa，bb，则a与b所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作aa)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与

5、a所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面答案D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCDABCD中，AD所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDABCD中的BC，CC，DD.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直

6、线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_.答案(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面解析序号结论理由(1)平行因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C(2)异面A1B与B1C不同在任何一个平面内(3)相交D1DD1CD1(4)异面AB与B1C不同在任何一个平面内题型二公理4、等角定理的应用例2E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形.证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以.又因为在矩形A1B1C1D1中，所以.所以四边形EQC1B1为

7、平行四边形.所以.又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，所以.所以四边形DQC1F为平行四边形.所以.又因为，所以.所以四边形B1EDF为平行四边形.跟踪训练2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.证明(1)在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD.同理FGBD，则EHFG.故E，F，G，H四点共面.(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.题型三异面直线所成的角例3如图所示，在空间四边形ABC

8、D中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角.解如图，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，ABCD，所以EGCD，GFAB，且EGCD，GFAB.所以GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EGGF.因为ABCD，所以EGGF.所以EGF90.所以EFG为等腰直角三角形.所以GFE45，即EF与AB所成的角为45.跟踪训练3空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB，GFCD.故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成

9、的角，直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由ABCD，知EGFG，EFG为等腰三角形.当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.转化与化归思想例5在空间四边形ABCD中，ADBC2a，E，F分别是AB，CD的中点，EFa，求异面直线AD，BC所成的角.分析要求异面直线AD，BC所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD，BC平移至一个三角形中.此题已知E，F分别为AB，CD的中点，故可寻找一边中点，如BD的中点M，则EMF(或其补角)为所求角.解如图，取BD的中点M.由题意，知EM为BAD

10、的中位线，所以EMAD且EMAD.同理，MFBC且MFBC.所以EMa，MFa，且EMF(或其补角)为所求角.在等腰MEF中，取EF的中点N，连接MN，则MNEF.又因为EFa，所以ENa.故有sinEMN.所以EMN60，所以EMF2EMN120.因为EMF12090，所以AD，BC所成的角为EMF的补角，即AD和BC所成的角为60.反证法的合理应用例6如图，三棱锥PABC中，E是PC上异于点P的点.求证：AE与PB是异面直线.分析利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法

11、.证明假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面内，因为P，E，所以PE.又因为CPE，所以C.所以点P，A，B，C都在平面内.这与P，A，B，C不共面(PABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线()A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱

12、柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_.(填序号)5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为_.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行 B.一定相交C.一定异面 D.相交或异面2.已知空间两个角，与的两边对应平行，且60，则等于()A.60 B.120 C.30 D.60或1203.在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A.30 B.45 C.60 D.904.下面四种说法：若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；若直线a、b相交，b、c

13、相交，则a、c相交；若ab，则a、b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.其中正确的个数是()A.4 B.3 C.2 D.15.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A.10 B.20 C.8 D.47.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直

14、线D.AE与B1C1所成的角为60二、填空题8.在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的序号为_.10.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为_.三、解答题11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.12.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AEEBAHHDm，CFFBCGGD

15、n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD，试证明：EGFH.当堂检测答案1.答案D解析若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.2.答案B解析如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.3.答案A解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角.4.答案解析中，G，M是中点，AG綊BM，GM綊AB綊

16、HN，GHMN，即G，H，M，N四点共面；中，H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；中，G，M是中点，GM綊CD，GM綊HN，即GMNH是梯形，则HG，MN必相交，H，G，M，N四点共面；中，同，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面.5.答案解析设棱长为1，因为A1B1C1D1，所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.在AED1中，cosAED1.课时精练答案一、选择题1.答案D解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2.答案D解析由等角定理，知与相等或互补，故60或120.3.答案B解析如

17、图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，故B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45.4.答案D解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对.若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对.若ab，bc，则a、c平行、相交、异面均有可能，故不对.正确.5.答案D解析如图，因为BDAC，且BDAC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FGEHBD，HGEFAC.所以FGHG，且FGHG.所以四边形EFGH为正方形.6.答案B解析设截面四边形为EFGH，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，EFGHAC4，

18、FGHEBD6，周长为2(46)20.7.答案C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，D错误.综上所述，故选C.二、填空题8.答案8解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有428(对)异面直线.9.答案解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确.10.答案60解析连接BC1，A1C1，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160，故异面直线A1B与AD1所成的角为60.三、解答题11.解取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).在RtABC中，BC，ABAC，ABAC1，在RtEAB中，AB1，AEAD，BE