最短路径问题--说课

1、八年级 上册,13.4 课题学习: 最短路径问题,说课流程,四、 教学方法,一、 教材分析,六、 教学评价,三、 目标分析,五、 教学过程,二、 学情分析,1、内容：本节课所选用的教材为人教版义务教育课程标准八年级上册教科书。第85至87页利用轴对称和平移研究最短路径问题。 2、教材所处的地位和作用： 最短路径问题在现实生活中经常遇到，是中考的考点，也是数学分支图论研究的一个经典算法问题,对培养学生的化归思想和应用能力有一定的意义。,一、 教材分析,1、认知基础：学生已经研究过一些简单的最短路径问题以及有关平移的基本知识，也掌握了关于某直线对称的点的作图，所有这些内容构成了本节课的认知基础。

2、2、活动经验：学生已经有了图形变换以及模型构建的意识，具备了初步的观察、分析、归纳、猜想和解决问题的能力。 3、预设困难：作图时为什么要转化，如何转化，一些学生在理解和操作上存在困难。 证明时需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到，不会用。,二、 学情分析,（1）知识目标：能利用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题。 （2）能力目标：将实际问题中的“地点”“河”“桥” 抽象为数学中的“点”“线”“线段”，使实际问题数学化。 （3）情感目标：感受数学在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。,教学重点：将实际问题转化为数学问题，运用轴对称和平移

3、的方法找出问题中的最短路径。 教学难点：确定最短路径的作图方法及证明作法的合理性。,三、 目标分析,四、 教学方法,教法：采用以观察法、发现法、探究法为主的教学方法进行教学，以问题为载体，设疑与点拨，引导与启发相结合。 学法：鼓励学生采用自主探究、合作交流的研讨式学习方式，在学生动手、动脑、动口中发现问题，解决问题，真正体现学生的主体地位。,一：以史创境，引趣入题,二：问题引领，层层递进,四：触类旁通，合作探究,六：小结反思，作业延伸,五：变式训练，体验成功,五 教 学 过程,三：学以致用，链接中考,一、“将军饮马”背景：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位

4、将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题. 二、“将军饮马”问题：（如图）将军从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B地。怎样选择饮马地点，才能使路程最短？精通数学、 物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这 个问题后来被称为“将军饮马问题”。,一：以史创境，引趣入题,设计 意图： 通过设问唤起学生的兴趣，激发学生探寻的欲望，把学生引领到研究的航道上来。,B ,A .,将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线 如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？,？,问题1这是一个实际问题，能否把它转化为数学问题？,二：问题引领，层层递进

5、,设计 意图： 让学生将实际问题转化为数学问题，即将最短路径问题转化为线段和最小问题。,分析： 在河边饮马的地点有多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；怎样找出使两条线段的长度之和为最短的那个点？,B,A,l,C,C2,C1,设计 意图： 帮助学生分析饮马的地点有多处，我们是要找出使两条线段的长度之和为最短的那个点。,？,二：问题引领，层层递进,（易）点A,B分别是直线 异侧的两个点，如何在直线上找到一个点，使得这个点分别到点A与点B的距离和最短？,B,A.,l,？,（难）点A,B分别是直线同侧的两个点，如何在直线上找到一个点，

6、使得这个点分别到点A与点B的距离和最短？,问题2 怎样找出使两条线段的长度之和为最短的那个点？,B,B,C,l,二：问题引领，层层递进,设计 意图： 运用类比的方法，化难为易，渗透转化思想。,C,A,l,讨论： 如何作图？,B,B,A,C,问题2 怎样找出使两条线段的长度之和为最短的那个点？,作法提示： （1）作点B 关于直线l 的对称点B；,（2）连接AB，与直线l 相交于点C,则AC+BC的距离最短。,二：问题引领，层层递进,设计 意图： 提示作图方法，解决问题2。,即点C为饮马地点。,由轴对称的性质知， BC =BC BC=BC AC +BC = AC +BC =AB， AC+BC= A

7、C+BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,B,l,证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C 不重合），,连接AC，BC，BC,A,B,C,C,二：问题引领，层层递进,设计 意图： 作图后的证明是为了让学生体会作图的正确性。,B,l,A,B,思考1：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC+BC？点“C”在其他的位置结果一样吗？,思考2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？,C,C,结果一样！,二：问题引领，层层递进,设

8、计 意图： 在反思的过程中，体会轴对称的桥梁作用,感悟转化思想,丰富数学活动经验。,C,1、“将军饮马”的应用 （河北中考）如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径。,A,B,山,河岸,大桥,三：学以致用，链接中考,设计 意图： 学以致用，及时巩固最短路径的解题方法。,C,P,R,Q,B,Q,P,C,三：学以致用，链接中考,2、“将军饮马”的妙用： (滨州中考)如图，直角ABC,AB=4， BAC=30 ， BAC的平分线交BC于D。M、N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是( )。,B,N,M,

9、2,设计 意图： 提高学生的解题技能技巧。,4,4,30 ,三：学以致用，链接中考,3、“将军饮马”的推广： 如图:一牧人要从A地出发，到河边MN给马饮水，,P,Q,A,B,M,N,设计 意图： 层层深入的练习能发散学生的思维，提高解决问题的能力，让学生体会数学学习的快乐。,A,B,E,F,再到草地PQ喂马，试问：牧人应该走怎样的路线，才能使整个路程最短？（南通中考）,四：触类旁通，合作探究,（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,造桥选址问题转化为：如图ab,点A和点B在平行

10、线的两侧，现在直线a与b上找到MN的位置，从而使从A到B的路径AMNB最短？,设计 意图： 类比第一个问题，先把实际问题转化为数学问题。,a,b,a,b,四：触类旁通，合作探究,分析：河两岸的距离是固定的，即MN的长度是固定的。因此只要将MN的长度暂时忽略,使得AM+BN最短即为AMNB最短。那么如何忽略河的宽度呢？,设计 意图： 引导学生用平移的方法解题。,B,b,作图方法： （1）过点A作ADb，与a、b交于点C、点D，在AD上截取AA= CD。,合作：讨论作图方法？,C,D,a,b,（2）连接AB，与直线b相交于点N，过点N作MN a交于点M。,（3）连接AM、BN。 则AM+MN+NB

11、为最短路径。,四：触类旁通，合作探究,设计 意图： 让学生合作交流，得出作图方法。,讨论：你能通过逻辑推理证明这种作法的合理性吗？说说你的证明思路。,四：触类旁通，合作探究,设计 意图： 作图后让学生讨论作法的合理性，可以让学生通过感悟类比方法，提高理性研究问题的自觉性。,变式1：如图，A、B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,五：变式训练，体验成功,设计 意图： 及时巩固练习可以检测学生对知识的掌握情况。,M,Q,P,N,A1,A2,a,b,c,d,变式2：如图，某河CC 处直角拐弯，河宽

12、均相同。现要在河流拐弯的两旁分别造桥DD、 EE桥要与河垂直，问该如何造桥可使得ADDEEB的路程最短？,五：变式训练，体验成功,设计 意图： 变式练习可以增强学生思维的灵活性,增强数学学习的趣味性。,B,A,D,E,D,E,1.小结反思： （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称、平移在所研究问题中起什么作用？,六：小结反思，作业延伸,设计 意图： 引导学生把握研究问题的基本思路和方法，感悟化归思想的重要价值。,必做题：1.教科书复习题13第15题 2.证明“造桥选址问题”作法的合理性。,选做题：如图，公园内有两条小河，两河形成 的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上 各修建一座小桥，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使所修建的道路最短？,2、作业延伸：,六：小结反思，作业延伸,设计 意图： 分层作业的设