2015秋华师大版数学九上25.3《解直角三角形》word教案5

1、解直角三角形解直角三角形是初中数学的一个重要内容，它在实际生活中应用非常广泛，是中考的重点和热点，也是今后学习三角函数的基础解直角三角形及应用与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，它是在研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，通过计算求未知的边长、角度和面积等的过程要学好解直角三角形及应用，必须理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形，并会应用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题现把直角三角形的解法及应用简析如下：1、明确解直角三角形的依据和思路在rtabc中，c90，设三个内角a、b、c所对的边分别为a、b

2、、c，则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系：sinacosb， cosasinb，tanacotb，cotatanb（2）两锐角之间的关系：ab90（3）三条边之间的关系：（4）三角形面积：（5）同角三角函数的关系： 平方关系：；商数关系：，；倒数关系： 以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解2、解直角三角形的基本类型和方法在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？ 解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系除直角以外，

3、已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边基本类型和解法归纳如下：已知条件解法一边及一锐角 直角边a及锐角ab90a，bacota， 斜边c及锐角ab90a，acsina，bccosa两边 两条直角边a和b，b90a，直角边a和斜边c，b90a，例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且a

4、，ae1，求ab的长分析一：所求ab是rtabc的斜边，但在rtabc 中只知一个锐角a，暂不可解而在rtade中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解rtade入手解法一：在rtade中，且a，ae1，在rtadc中， ，在rtabc中，分析二：观察图形可知，cd、ce分别是rtabc和rtacd斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解解法二：同解法一得，在rtacd中，在rtabc中，点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解另外，射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系

5、，在解直角三角形时经常要用到例2、如图，在rtabc中，c90，ad是bc边上的中线若bd，b30，求ad的长；分析：由ad是bc边的中线，只知dc一条边长，仅此无法直接在rtadc中求解ad而在rtabc中，由已知bc边和b可以先求出ac，从而使rtadc可解解析：在rtabc中，bc2bd2，b30，acbc tanb2，在rtadc中，dcbd，点评：在解直角三角形的问题中，经常会遇到如上的图形，它是含有两个直角三角形的图形这样的问题常常是利用其中一个直角三角形来解另一个直角三角形例3、如图，在rtabc中，c90，d为bc上一点，abc45,adc60，bd1，求ab分析：已知的角度告

6、诉我们，rtabc 和rtadc都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解解：在rtadc中，设dcx，adc60，ad2x，acx，在rtabc中，abc45，bd1，1xx，x，abacx点评：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，要注意发掘图形的几何性质，建立已知与未知的联系，利用线段的和差的等量关系布列方程例4、rtabc中，c90，已知a10，解这个直角三角形分析：因rtabc的面积为，故用已知条件可求出b的值，这样一来，rtabc就已知两直角边了，再由直角三角形中的锐角三角函数定义，便可求出锐角和斜边解析：c90，a10，b，

7、a60，ab90，b906030，c90，b30，c2b，cb，c，a60，b30点评：在直角三角形中，锐角三角函数定义是连接三角形中边角关系的纽带，因此要熟练地掌握定义，进而灵活运用，要注意：直角三角形中若已知一边长和一个特殊锐角（30、45、60），则可利用三角函数定义求出其它两边的长，利用这一方法有时比利用勾股定理要简单得多例5、已知：如图，在abc中，bc1，b30，c45，求abc的面积 分析：构造rtabd，利用特殊角的三角函数值，求出bc边上的高ad即可解析：过a作adbc，垂足为d，设adx，则dcx，bdx，bcbddc1，x1，点评：本题体现了基本图形基本性质的综合应用同时

8、要注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法3、解直角三角形在实际问题中的应用借助解直角三角形来解决实际问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决例1、如图所示，河对岸有一座铁塔ab，若在河这边c、d处分别用测角仪器测得塔顶b的仰角为30和60已知测角仪器高为1.5米，cd20米，求铁塔的高（精确到0.1米）解析：设bgx，在rtbgf中，cotbfg，fgbgcotbfgxcot60x，在rtbge中，egbgcotbegxegfgef，且efcd20，xx20，解得x10，abbgag1

9、01.518.8（米）答：铁塔的高约为18.8米点评：把应用性问题问题，设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形例2、如图，在等腰三角形abc中，底边bc为5，是底角且tan，求ac 解析：作adbc于d，在rtadb中，tan，设ad2k，bd5k，则ab,又bc5，bd, 5k,得kacab点评：作等腰三角形abc底边上的高ad，则构造出直角三角形例3、一艘船以32.2海里小时的速度向正北航行，在a处看见了灯塔s在船的北偏东20，半小时后，航行到b处，在b处看灯塔在船的北偏东65，求灯塔s 和b处的距离（精确到0.1海里） 解析：依题意作简图,如图，作bead于eab32.216.1（海里），a在rtaeb中，sin20，beabsin205.5062（海里）在rtbes中，bsa652045，sin45，bs7.8（海里）答：灯塔s和b处的距离约为7.8海里点评：画简图时，先确定正北方向，然后按已知条件确定各角；由于abs是斜三角形，所以需适当添加辅助线，构造可解直角三角形例4、如图，一水坝横断面为等腰梯形abcd，斜边ab的坡度为1，坡面