离散数学课件09代数系统.ppt

1、第9章 代数系统,离 散 数 学,中国地质大学本科生课程,a,2,代数学的新生,1、近代代数学的进展,2、代数方程的可解性,3、群的发现,a,3,1、近代代数学的进展,al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wal-muqabala 还原与对消计算概要 （约 820）,Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, 783-850,al-jabr,algebra,探讨了算术问题的一般性解法,a,4,1、近代代数学的进展,F. Vieta, 1540-1603,韦达把符号性代数称作“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行

2、于事物的类或形式，算术运算仅施行于具体的数。这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。,缺点：齐性原则,a,5,1、近代代数学的进展,基本问题：如何求解三次和四次代数方程的根,(1515, S. Ferro),x3 + px = q (p, q 0),Tartaglia,1499-1557 Niccolo Fontana,x3 + px2 = q (p, q 0),A. M. Fior,1535,a,6,1、近代代数学的进展,G. Cardano, 1501-1576,Ars Magna 大法 1545年,包含三次方程和四次方程的代数解法,根的个数,a,7,2、代数

3、方程的可解性,18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时数学家们面临一系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是： 高于四次的代数方程的根式求解问题； 欧几里得几何中平行公理的证明问题； 微积分算法的逻辑基础问题。,a,8,2、代数方程的可解性,中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程的求根问题；文艺复兴时期的欧洲数学家们继承了这一传统，但又有所突破。他们成功地解决了三次和四次代数方程的求根问题，并将符号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。,基本问题：五次或更高次的代数方程的根式解。,即在n 5时，对于形如 xn

4、 + a1xn1 + + a n1x + an = 0 的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。,a,9,2、代数方程的可解性,J. L. Lagrange 1736-1813,1770年： 关于代数方程解的思考,不可能用根式解四次以上的方程,a,10,2、代数方程的可解性,N. H. Abel, 1802-1829,1824年: 论代数方程， 证明一般五次方程的 不可解性,方程次数大于等于五时，任何以其系数符号组成的根式都不可能表示方程的一般解。,阿贝尔方程,a,11,3、群的发现,基本问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解？,E. Galo

5、is, 1811-1832,置换群,伽罗瓦群,伽罗瓦证明了： 当且仅当方程的群满足一定条件（即它是可解群）时，方程才是根式可解的。 也就是说，他找到了方程根式可解的充分必要条件。,a,12,3、群的发现,伽罗瓦关于群的发现工作，可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。,群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算使得该集合满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。,群概念的划时代意义在于：代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅

6、仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象“对象”的运算关系，一方面，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上与数的概念获得了统一。,a,13,代数,方程与根 数系扩张 行列式与矩阵 布尔代数 代数数论,突破传统,19世纪的代数,a,14,高斯(联邦德国, 1955),1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理,代数方程根式解,高斯，数学家、物理学家和天文学家 1795年进入哥廷根大学 正17边形尺规作图法（1796） 数论、代数、非欧几何、复变函数和微分几何等方面做出了开创性的贡献 近代数学奠基者之一，“数学王子” “宁可少些，但要好些。”,a,15,高斯和正十

7、七边形 (民主德国, 1977),代数方程根式解,a,16,代数方程根式解,高斯墓,a,17,1824年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理,拉格朗日,1770年拉格朗日(法, 1736-1813)关于代数方程解的思考：预解式,代数方程根式解,1799年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理,鲁菲尼,阿贝尔,伽罗瓦,18291831年伽罗瓦(法, 1811-1832)理论,a,18,代数方程根式解,阿贝尔,阿贝尔（挪，18021829）贡献：方程论、无穷级数和椭圆函数论 16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作 1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824年，证明了一般五次方程根式解的不

8、可能性 1825.5到柏林，五次方程论文发表于克雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文 1826.7到巴黎，论文提交法国科学院 1827.5回到奥斯陆 1841年椭圆函数论论文发表,1908年维格兰(挪, 1869-1943)雕塑的阿贝尔塑像,a,19,数学奖,阿贝尔奖(2003- ),1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设立阿贝尔奖。 挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔诞辰200周年之际设立阿贝尔奖, 从2003年起每年颁发一次。 阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。,阿贝尔的塑像 (挪威, 1983),

9、a,20,数学奖,阿贝尔奖(2003- ),2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖,a,21,数学奖,阿贝尔奖(2003- ),2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖,a,22,伽罗瓦(法,1811-1832) (法国, 1984),代数方程根式解,伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解这一经历了300年问题的彻底解决，及尺规作图中“三等分任意角”问题和“倍立方”问题不可能 在中学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、雅可比（德，18041851年）的著作 1829年进入巴黎高等师范学校 18291831年提交法国科学院的数学奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松 1

10、831年1月被校方开除，两次入狱，死于为“爱情与荣誉”的决斗 1846年论文发表,伽罗瓦的遗书 我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。 我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。 我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现。 在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。 请公开

11、请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这些整理清楚会是很有益处的一件事。 热烈地拥抱你。 伽罗瓦,a,23,代数方程根式解,有限置换群 1849-1854年凯莱(英, 1821-1895)引入抽象群,伽罗瓦域 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽象域,抽象化尝试,a,24,1811，1831年高斯(德, 1777-1855)讨论了复数几何表示,1797年威塞尔(挪, 1745-1818)、1806年阿甘德(瑞, 1768-1822)讨论了复数几何表示,数系扩张,1747年达朗贝尔(法, 1717-1783)断言复数表示为a+i

12、b， 1777年欧拉(瑞, 1701-1783)支持用i表示虚数单位,1737年欧拉(瑞, 1701-1783)证明了e是无理数 1761年兰伯特(法, 1728-1777)证明了是无理数 1844年刘维尔(法, 1809-1882)第一次显示了超越数的存在 1873年和1882年埃尔米特(法, 1822-1901)和林德曼(德, 1852-1939)分别证明了e和是超越数，“化圆为方”问题的不可能 欧拉常数 是否是无理数?,实数,复数,a,25,1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数,数系扩张,184

13、4年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复数,1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数,麦克斯韦(英, 1831-1879)创造了向量分析,a,26,哈密顿的四元数 (爱尔兰, 1983),数系扩张,哈密顿（爱尔兰，18051865年 ），光学、力学和代数 自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神童” 1820年已阅读牛顿自然哲学的数学原理，拉普拉斯的天体力学，1823年进入剑桥大学三一学院 1834年发表论文“一种动力学的普遍方法” 1843年10月16日定义了四元数“思想电路接通之火花” 18371845年任爱尔兰皇家科学院院长 英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学

14、家,a,27,1683年关孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成解伏题之法提出行列式理论和代数方程变换理论 1750年克莱姆(瑞, 1704-1752)法则 1772年范德蒙(法, 1735-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式展开定理 1841年凯莱(英, 1821-1895)行列式记号 1852年西尔维斯特(英, 1814-1897)惯性定理 1854年埃尔米特(法, 1822-1910)使用了正交矩阵 1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定理 1870年若尔当(法, 1838-1921)建立了若尔当标准形 1879年弗罗贝尼斯(德,

15、1849-1917)引入矩阵的秩,行列式与矩阵,a,28,凯莱,西尔维斯特,埃尔米特,弗罗贝尼斯,若尔当,行列式与矩阵,克莱姆,拉普拉斯,关孝和,a,29,布尔代数,来源于对数学和逻辑基础的探讨, 莱布尼茨(德, 1646-1716)提出思维演算和逻辑的数学化思想 德 摩根(英, 1806-1871)1847年形式逻辑首创关系逻辑研究,德 摩根,布 尔,施罗德,施罗德(德, 1841-1902)逻辑代数讲义(1890-1905)把布尔的逻辑代数推向顶峰,布尔(英, 1815-1864)用代数方法建立了逻辑代数, 1847年和1854年布尔出版逻辑的数学分析和思维规律研究,a,30,布尔代数,布

16、尔(英, 1815-1864)，数学、逻辑学家，50篇学术论文和两部教科书，19世纪数理逻辑的最杰出代表 “自学成才”著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法语和德语，自学了牛顿自然哲学的数学原理，拉格朗日解析函数论和拉普拉斯天体力学 1839年申请进剑桥大学，1844年发表“关于分析中的一般方法” 1849年爱尔兰科克皇后学院数学教授，1857年英国皇家学会会员,a,31,本章说明,本章的主要内容 一元和二元运算定义及其实例 二元运算的性质 代数系统定义及其实例 子代数,与后面各章的关系 是后面典型代数系统的基础,a,32,9.1 二元运算及其性质 9.2 代数系统 9.3 代数系统的同

17、态与同构 本章小结 作 业,本章内容,a,33,9.1 二元运算及其性质,定义9.1 设S为集合，函数 f：SSS 称为S上的二元运算，简称为二元运算。 举例 f:NNN，f()x +y 是自然数集合N上的二元运算 f:NNN，f()x - y 不是自然数集合N上的二元运算 称N对减法不封闭。,说明,验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。,a,34,（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减 法和除法不是。 （2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上

18、的二元运算 ，而除法不是。 （3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加 法、减法不是。 （4）设Sa1,a2,an，aiaj =ai为S上二元运算。,例9.1,a,35,例9.1,（5）设Mn(R)表示所有n阶(n2)实矩阵的集合，即,则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。 （6）S为任意集合，则、 为P(S)上的二元运算。 （7）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运 算。,a,36,一元运算,定义9.2 设S为集合，函数f：SS称为S上的一元运算，简称为一元运算。 例10.3 （1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集 合R上的一元运算。

19、 （2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R* 上的一元运算。 （3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。,a,37,（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补 运算是P(S)上的一元运算。 （5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS， 求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。 （6）在n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求一个矩阵的转置 矩阵是Mn(R)上的一元运算。,一元运算举例,a,38,可以用、等符号表示二元或一元运算，称为算符。 设f : SSS是S上的二元运算，对任意的x, yS，如果x与y的运算结果为z，即f()z，可以利用算

20、符简记为 xy = z。 对一元运算，x的运算结果记作x。 例题 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算 ： x,yR，x y = x。 那么 3 4 = 3，0.5 (3) = 0.5。,二元与一元运算的算符,a,39,函数的解析公式 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）,二元与一元运算的表示,a,40,例9.4 设S=1,2，给出P(S)上的运算和的运算表 ，其中全集为S。,解答,例9.4,a,41,例9.5 设S=1,2,3,4，定义S上的二元运算如下： x y(xy) mod 5， x,yS 求运算的运算表。,解答,例9.5,a,42,定义9.3 设为S上的二元运算，如果对于任意的x

21、,yS都有xy=yx，则称运算在S上满足交换律。 定义9.4 设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS都有 (xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。 说明：若+适合结合律，则有 (x+y)+(u+v) x+y+u+v。 定义9.5 设为S上的二元运算，如果对于任意的xS有xx=x，则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x，则称x为运算的幂等元。 举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元，0和1是乘法的幂等元。,二元运算的性质,a,43,例题,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的

22、函数集，|A|2 。,a,44,定义9.6 设和为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,zS，有 x(yz) (xy) (xz)（左分配律）(yz)x (yx) (zx)（右分配律） 则称运算对运算满足分配律。 说明：若*对运算分配律成立，则*对运算广义分配律也成立。 x(y1 y2 yn ) (xy1)(x y2) (x yn) (y1 y2 yn )x (y1x) (y2x) (ynx) 定义9.7 设和为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,yS，都有 x(xy)x x(xy)x 则称运算和满足吸收律。,二元运算的性质,a,45,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R

23、)为n阶实矩阵集合，n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2 。,例题,a,46,定义9.8 设为S上的二元运算， 如果存在元素el（或er）S，使得对任意xS都有 elx = x (或xer = x) 则称el (或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。 若eS关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。,运算可以没有左单位元和右单位元。 运算可以只有左单位元。 运算可以只有右单位元。 运算可以既有左单位元，又有右单位元。,说明,二元运算中的特异元素单位元,a,47,二元运算中的特异元素零元,定义9.9 设为S上的二元运算， 如

24、果存在元素l（或r）S，使得对任意xS都有 lx = l (或xr = r)， 则称l (或r)是S上关于运算的左零元(或右零元)。 若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于运算的零元。,运算可以没有左零元和右零元。 运算可以只有左零元。 运算可以只有右零元。 运算可以既有左零元，又有右零元。,说明,a,48,二元运算中的特异元素逆元,定义9.10 设为S上的二元运算，eS为运算的单位元，对于xS， 如果存在yl（或yr）S使得 ylxe（或xyre） 则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。 若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元。 如果x的逆元存在，则称x是可逆的

25、。,运算可以没有左逆元和右逆元。 运算可以只有左逆元。 运算可以只有右逆元。 运算可以既有左逆元，又有右逆元。,说明,a,49,特异元素的实例,a,50,定理9.1,定理9.1 设为S上的二元运算，el、er分别为运算的左单位元和右单位元，则有 el = er = e 且e 为S上关于运算的唯一的单位元。,el eler (er为右单位元) eler er (el为左单位元) 所以el = er，将这个单位元记作e。 假设e也是S中的单位元，则有 e = ee = e 所以，e 是S中关于运算的唯一的单位元。,证明,a,51,定理9.2,定理9.2 设为S上的二元运算，l和r分别为运算的左零元

26、和右零元，则有 l = r = 且为S上关于运算的唯一的零元。,l lr (r为左零元) lr r (l为右零元) 所以l = r，将这个零元记作 。 假设 也是S中的零元，则有 = = 所以， 是S中关于运算的唯一的零元。,证明,a,52,定理9.3,定理9.3 设为S上的二元运算，e 和分别为运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e。,用反证法。 假设 e = ，则xS有 x x e x 这与S中至少含有两个元素矛盾。 所以，假设不 成立，即e。,证明,a,53,定理9.4,定理9.4 设为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于xS，如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有 yl

27、 = yr= y 且y是x的唯一的逆元。,由 ylx = e 和 xyr = e ，得,证明,yl = yle,令yl = yr = y，则y是x的逆元。,= yl (xyr),= (ylx) yr,= eyr,= yr,假若yS也是x的逆元，则,y= ye,= y (xy),= (yx) y,= ey,= y,所以y是x唯一的逆元，记作x1。,a,54,消去律,定义9.11 设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS，满足以下条件： （1）若xy xz且x ，则y z （左消去律） （2）若yx zx且x ，则yz （右消去律） 则称运算满足消去律。 例如： 整数集合上的加法和乘法都满足

28、消去律。 幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。,a,55,例9.6,例9.6 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。 （1）Z+，x,yZ+，xylcm(x,y)，即求x和y的最小公倍数。 （2）Q，x,yQ，xy=x+y-xy,解答,（1）运算可交换、可结合、是幂等的。 xZ+，x1=x ， 1x=x ，1为单位元。 不存在零元。 只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。,a,56,例9.6,（2） Q，x,yQ，xy=x+y-xy 运算满足交换律，因为x,yQ，有 xy =x+y-xy = y+x-yx = yx 运

29、算满足结合律，因为x,y,zQ，有 (xy)z=(x+y-xy)z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x(yz)=x(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz 运算不满足幂等律，因为2Q，但 22 =2+2-2202 运算满足消去律，因为x,y,zQ，x1(1为零元)，有 xy = xz x+y-xy=x+z-xz y-z = x(y-z) y=z 由于是可交换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立，所以消去律成立。,a,57,例9.6,0是运算的单位元，因为 xQ，有 x0=x+0-x0=

30、x=0 x 1是运算的零元，因为 xQ，有 x1=x+1-x1=1=1x xQ，欲使 xy=0和 yx=0成立，即 x+y-xy = 0 得,所以，,a,58,例9.7,例9.7 设A=a,b,c，A上的二元运算、如表所示。 (1)说明、运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。 (2)求出关于、运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。,运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是a，没有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。 运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是a，零元是b，只有a有逆元，a-1=a。 运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位

31、元，没有零元，没有可逆元。,解答,复习,分析,a,59,9.2 代数系统,定义9.12 非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2, fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记做。 实例： 、都是代数系统，其中+和分别表示普通加法和乘法。 是代数系统，其中和分别表示n阶(n2)实矩阵的加法和乘法。 是代数系统，其中和为并和交，为绝对补。 是代数系统，其中 Zn0,1,2, ,n-1 和分别表示模n的加法和乘法。,a,60,集合（规定了参与运算的元素） 运算（只讨论有限个二元和一元运算） 代数常数 在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元素或代

32、数常数。 有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。 例如：代数系统。,代数系统的成分,a,61,列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在） 例如 ， 列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数） 例如 ， 用集合名称简单标记代数系统 例如 在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为Z, P(S),代数系统的表示,a,62,定义9.13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。 例如 V1= V2

33、= V1、V2是同类型的代数系统，因为它们都含有2个二元运算， 1个一元运算， 2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。,同类型的代数系统,a,63,在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加以限制，那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。 例如：代数系统V，如果*是可结合的，则称V为半群。如、等都是半群。 从代数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系统分类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将研究的结果运用到具体的代数系统中去。(抽象代数的基本方法) 以后各章分别就几类重要的代数系统进行分析。,代数系

34、统地说明,a,64,定义9.14设V是代数系统，BS，如果B对f1, f2, , fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数。简记为B。 例如： N是的子代数，N也是的子代数。 N0是的子代数，但不是的子代数。,子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。 对于任何代数系统，其子代数一定存在。,说明,子代数,a,65,最大的子代数：就是V本身。 最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的最小的子代数。 平凡的子代数：最大和最小的子代数称

35、为V的平凡的子代数。 真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。,子代数的相关概念,a,66,例9.8 设V=，令 nZ=nz | zZ，n为自然数， 则nZ是V的子代数。,任取nZ中的两个元素nz1和nz2(z1,z2Z )，则有 nz1+nz2 n(z1+z2 )nZ 即nZ对+运算是封闭的。又 0=n0 nZ 所以，nZ是V的子代数。,证明,当n=1和0时，nZ是V的平凡子代数，其他的都是V的非平 凡的真子代数。,说明,例9.8,a,67,积代数,定义9.15 设 V1=和 V2=是代数系统， 其中和 是二元运算. V1与V2 的积代数V=, , S1S2 , =,例

36、 V1=, V2=, 积代数 , ZM2(R) , = ,a,68,积代数的性质,设 V1=和 V2=是代数系统，其中和 是二元 运算. V1 与 V2 的积代数是 V= (1) 若 和 运算是可交换的，那么 运算也是可交换的 (2) 若 和 运算是可结合的，那么 运算也是可结合的 (3) 若 和 运算是幂等的，那么 运算也是幂等的 (4) 若 和 运算分别具有单位元 e1 和 e2，那么 运算 也具有单位元 (5) 若 和 运算分别具有零元 1 和 2，那么 运算 也具有零元 (6) 若 x 关于 的逆元为 x1, y 关于 的逆元为 y1，那么 关于 运算也具有逆元,a,69,9.3 代数

37、系统的同态与同构,同态映射的定义 同态映射的分类 单同态、满同态、同构 自同态 同态映射的实例 满同态映射的性质,a,70,定义9.16 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算. f : S1S2, 且x,yS1 f (x y) = f(x) f( y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.,同态映射的定义,a,71,同态映射的定义(续),例1 V=, 判断下面的哪些函数是V 的同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1,解 (1) 是同态, f(xy)

38、= |xy| = |x| |y| = f(x) f(y),(4) 是同态, f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y),(3) 是同态, f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f(y),(2) 不是同态，f(22)=f(4)=8, f(2) f(2)=4 4=16,(5) 不是同态，f(11)=f(1)= 1, f(1) f(1)=(1)(1)=1,(6) 不是同态，f(11)=f(1)=2, f(1) f(1)=22=4,a,72,特殊同态映射的分类,同态映射如果是单射，则称为单同态； 如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作

39、V1V2； 如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作 V1V2. 对于代数系统 V，它到自身的同态称为自同态. 类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.,a,73,例2 (1) 设V=，aZ，令 fa : ZZ，fa(x)=ax 那么 fa是V的自同态. 因为x,yZ，有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 当 a = 0 时称 f0为零同态；当a=1时，称 fa为自同构；除此之外其他的 fa 都是单自同态. (2) 设V1=, V2=，其中Q*=Q0，令 f: QQ*, f(x)=ex 那么 f 是V1到V2的同态映射，因为x,yQ有 f(x+y)=ex+y=exey=f(x) f(y). 不难看出 f 是单同态.,同态映射的实例,a,74,(3) V=, fp：ZnZn, fp(x) = (xp) mod n，p = 0, 1, , n1. x, yZn, fp(xy)=(xy)p) mod n = (xp) mod n (yp) mod n = fp(x) fp(y) 例如，n=6. f0(x)=0, f1(x)=x, f2(0) = f2(3) = 0, f2(1) = f2(4) = 2, f2(2) = f2(5)