【创新设计】2014高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教a版

【创新设计】2014高考数学一轮复习第三章任意角和弧度制及任意角的三角函数训练理新人教A版第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数备考方向要明了考什么怎么考1了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数正弦、余弦、正切的定义1考查形式为选择题或填空题2三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题，如2011年新课标全国T5等3三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用，如2012年山东T16等归纳知识整合1角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角与角的终边相同K360KZ或K2，KZ探究1终边相同的角相等吗它们的大小有什么关系提示终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数倍，相等的角终边一定相同2锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗小于90的角是锐角吗提示锐角是大于0且小于90的角，第一象限角不一定是锐角，如390，300都是第一象限角小于90的角不一定是锐角，如0，30都不是锐角2弧度的概念与公式在半径为R的圆中分类定义公式1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号RAD表示角的弧度数公式|弧长用L表示LR角度与弧度的换算1RAD1RAD180180弧长公式弧长L|R扇形的面积公式SLR|R212123任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点PX，Y，那么定义Y叫做的正弦，记作SINX叫做的余弦，记作COS叫做的正切，记作YXTAN正正正正负负负负正负正负各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线探究3三角函数线的长度及方向各有什么意义提示三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负自测牛刀小试1教材习题改编下列与的终边相同的角的表达式中正确的是94A2K45KZBK360KZ94CK360315KZDKKZ54解析选C18036045720315，9494与终边相同的角可表示为K360315KZ942教材习题改编若角同时满足SIN0且TAN0，则角的终边一定落在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析选D由SIN0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与Y轴的非正半轴重合由TAN0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，可知的终边只能位于第四象限3已知扇形的周长是6CM，面积是2CM2，则扇形的圆心角的弧度数是A1B4C1或4D2或4解析选C设扇形的弧长为L，半径为R，则ERROR解之得LR2或R1，L4，故圆心角1或44教材习题改编已知角的终边经过点PX，6，且COS，则X的513值为_解析COS，XX262XX236513ERROR解之得X52答案525若点P在角的终边上，且|OP|2，则点P的坐标是_23解析角的终边落在第二象限，23可设PX，Y，其中X0，Y0，由题意得ERROR即ERRORP1，3答案1，3象限角及终边相同的角例11写出终边在直线YX上的角的集合；32若角的终边与角的终边相同，求在0,2内终边与角的终边相同的角；6733已知角为第三象限角，试确定2的终边所在的象限自主解答1在0，内终边在直线YX上的角是，33终边在直线YX上的角的集合为3|3K，KZ22KKZ，67KZ3272K3依题意02K，KZ272K337187K0,1,2，即在0,2内终边与相同的角为，327202134213由是第三象限角，得2K2KKZ，3224K234KKZ角2的终边在第一、二象限及Y轴的非负半轴在3的条件下，判断为第几象限角2解2K2KKZ，32KKKZ2234当K2NNZ时，2N2N，2234当K2N1NZ时，2N2N，32274为第二或第四象限角21由所在的象限，确定所在象限的方法N1由角的范围，求出所在的范围；N2通过分类讨论把角写成K360KZ的形式，然后判断所在象限N2已知三角函数式的符号判断角所在的象限可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限11已知角2KKZ，若角与角的终边相同，则Y5SIN|SIN|的值为|COS|COSTAN|TAN|A1B1C3D32已知点PTAN，COS在第三象限，则角的终边在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析1选B由2KKZ及终边相同角的概念知，的终边在第四象5限，又与的终边相同，所以角是第四象限角，所以SIN0，COS0，TAN0因此，Y11112选B点PTAN，COS在第三象限，ERROR是第二象限角三角函数的定义例2已知角的终边上一点P，MM0，且SIN，求COS32M4，TAN的值自主解答由题设知X，YM，3R2|OP|22M2O为原点，3得R3M2从而SIN，MR2M4M22R2，于是3M28，解得M3M225当M时，R2，X，523COS，TAN；32264153当M时，R2，X，523COS，TAN32264153利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标X；纵坐标Y；该点到原点的距离R若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况点所在象限不同2已知角的终边在直线3X4Y0上，求SIN，COS，TAN的值解角的终边在直线3X4Y0上，在角的终边上任取一点P4T，3TT0，则X4T，Y3T，R5|T|X2Y24T23T2当T0时，即X0时，R5T，SIN，COS，YR3T5T35XR4T5T45TAN；YX3T4T34当T0时，即X0部分时，SIN，COS，TAN；354534当角的终边在直线3X4Y0的X0，COS0SINCOS75由ERROR得ERRORTAN4321COS2SIN2SIN2COS2COS2SIN2SIN2COS2COS2COS2SIN2COS2TAN211TAN2TAN，431COS2SIN2TAN211TAN243211432257保持本例条件不变，求1；SIN4COS5SIN2COS2SIN22SINCOS的值解由例题可知TAN431SIN4COS5SIN2COSTAN45TAN24345432872SIN22SINCOSSIN22SINCOSSIN2COS2TAN22TAN1TAN2169831169825同角三角函数关系式及变形公式的应用1利用SIN2COS21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用TANSINCOS可以实现角的弦切互化2应用公式时注意方程思想的应用对于SINCOS，SINCOS，SINCOS这三个式子，利用SINCOS212SINCOS，可以知一求二3注意公式逆用及变形应用1SIN2COS2，SIN21COS2，COS21SIN21已知SIN2SIN，TAN3TAN，求COS解SIN2SIN，TAN3TAN，SIN24SIN2，TAN29TAN2由得9COS24COS2由得SIN29COS24又SIN2COS21，COS2，COS3864诱导公式的应用例21已知COS，求COS的值；633562已知2，COS7，求SIN3TAN的值3572自主解答1，656566COSCOS566COS，633即COS56332COS7COS7COSCOS，35COS35SIN3TAN72SINTAN72SINTANSIN2SIN2COS2SINCOSCOSSIN35利用诱导公式化简三角函数的思路和要求1思路方法分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式2化简要求化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值21已知SIN是方程5X27X60的根，且是第三象限角，则SIN32COS32TAN2COS2SIN2AB916916CD34342设F，则F2SINCOSCOS1SIN2COS32SIN22SIN12_236解析1选B方程5X27X60的根为X12，X2，35由题知SIN，COS，TAN354534原式TAN2COSSINTAN2SINCOS9162F2SINCOSCOS1SIN2SINCOS2，2SINCOSCOS2SIN2SINCOS12SINSIN12SIN1TANF2361TAN2361TAN461TAN63答案3诱导公式在三角形中的应用例3在ABC中，若SIN2ASINB，COSACOSB，232求ABC的三个内角自主解答由已知得ERROR22得2COS2A1即COSA或COSA22221当COSA时，COSB，2232又A、B是三角形的内角，A，B，46CAB7122当COSA时，COSB2232又A、B是三角形的内角，A，B，不合题意3456综上知，A，B，C467121三角形中的诱导公式在三角形ABC中常用到以下结论SINABSINCSINC，COSABCOSCCOSC，TANABTANCTANC，SINSINCOS，A2B22C2C2COSCOSSINA2B22C2C22求角的一般步骤求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角3在ABC中，SINACOSA，COSACOSB，求ABC的三个内232角解SINACOSA，212SINACOSA2，SIN2A1A为ABC的内角，2A，A24COSACOSB，32COSCOSB，342COSB320B，B6ABC，C712A，B，C467121个口诀诱导公式的记忆口诀奇变偶不变，符号看象限1个原则诱导公式的应用原则负化正、大化小、化到锐角为终了3种方法三角函数求值与化简的常用方法1弦切互化法主要利用公式TAN化成正、余弦SINCOS2和积转换法利用SINCOS212SINCOS的关系进行变形、转化3巧用“1”的变换1SIN2COS2COS21TAN2TAN43个防范应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化易误警示应用同角三角函数平方关系的误区典例2011重庆高考若COS，且，则TAN_35，32解析依题意得SIN，1COS245TANSINCOS43答案43易误辨析1解答本题时，常会出现以下两种失误1忽视题目中已知条件的范围，求得SIN的两个值而致误；2只注意到的范围，但判断错SIN的符号而导致TAN的值错误2由同角三角函数的平方关系求SIN或COS时，要注意以下两点1题目中若没有限定角的范围，则SIN或COS的符号应有两种情况，不可漏掉2若已给出的范围，则要准确判断在给定范围内SIN或COS的符号，不合题意的一定要舍去变式训练12013福州模拟已知，TAN2，则COS_，32解析依题意得ERROR由此解得COS2，又，因此COS15，3255答案5522013泰州模拟若，SIN2，则COSSIN的值是4，2116_解析COSSIN21SIN21516，COSSINCOSSIN42154答案154一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1是第一象限角，TAN，则SIN34AB4535CD4535解析选BTAN，SIN2COS21，且是第一象限角，所以SINCOS34SIN352若SIN，则COS6353AB3535CD4545解析选BCOSCOSSIN32663532013安徽名校模拟已知TANX2，则SIN2X1A0B95CD4353解析选BSIN2X12SIN2XCOS2XSIN2XCOS2X2TAN2X1TAN2X1954已知F，则F的值为SINCOS2COSTAN313AB1213CD1213解析选CFCOS，SINCOSCOSTANFCOSCOS313313103COS31252013西安模拟已知2TANSIN3，0，则SIN2AB3232CD1212解析选B由2TANSIN3得，3，2SIN2COS即2COS23COS20，又0，2解得COSCOS2舍去，12故SIN326若SIN，COS是方程4X22MXM0的两根，则M的值为A1B155C1D155解析选B由题意知SINCOS，M2SINCOSSINCOS212SINCOS，M41，解得M1，又4M216M0，M24M25M0或M4，M15二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7化简_SIN2COS2COSSINCOS2SIN解析原式COSSINCOSSINSINSINSINSIN0答案08若COS2，且，则SIN_532，0解析由诱导公式可知COS2COS，SINSIN，由SIN2COS21可得，SIN，23，SIN2，023答案239已知SINCOS则SINCOS_232解析由SINCOS，23得SINCOS，23将两边平方得12SINCOS，29故2SINCOS79SINCOS212SINCOS179169又，SIN0，COS02SINCOS43答案43三、解答题本大题共3小题，每小题12分，共36分10已知SIN3，求13COSCOSCOS1的值COS2SIN32COSSIN32解SIN3SIN，13SIN13原式COSCOSCOS1COSCOSCOSCOS11COSCOSCOS2COS11COS11COS21COS2182SIN2213211已知关于X的方程2X21XM0的两根SIN和COS，0,2，3求1的值；SIN2SINCOSCOS1TAN2M的值；3方程的两根及此时的值解1原式SIN2SINCOSCOS1SINCOSSIN2SINCOSCOS2COSSINSINCOSSIN2COS2SINCOS由条件知SINCOS，312故SIN2SINCOSCOS1TAN3122由SIN22SINCOSCOS212SINCOSSINCOS2，得M323由ERROR知ERROR或ERROR又0,2，故或6312是否存在，0，使等式SIN32，2COS，COSCOS同时成立2232若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由解假设存在、使得等式成立，即有ERROR由诱导公式可得ERROR22得SIN23COS22，解得COS212又，或2，244将代入得COS又0，432，代入可知符合6将代入得COS又0，432，代入可知不符合6综上可知，存在，满足条件461记COS80K，那么TAN100AB1K2K1K2KCDK1K2K1K2解析选BCOS80COS80K，SIN80，1K2TAN80，TAN100TAN801K2K1K2K2SIN585的值为AB2222CD3232解析选A注意到58536018045，因此SIN585SIN36018045SIN45223若COS2SIN，则TAN5AB212CD212解析选BCOS2SIN，结合SIN2COS21得SIN25520，SIN，COS，25555TAN24求值SIN1200COS1290COS1020SIN1050TAN945解原式SIN1200COS1290COS1020SIN1050TAN945SIN120COS210COS300SIN330TAN225SIN60COS30COS60SIN30TAN4512323212125若SIN，COS是关于X的方程5X2XA0A是常数的两根，0，求COS2的值解由题意知SINCOS，15SINCOS2125SIN2，2425即2SINCOS0，2425则SIN与COS异号又SINCOS0，21523432故COS21SIN22725第三节三角函数的图象与性质备考方向要明了考什么怎么考1能画出YSINX，YCOSX，YTANX的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质如单调性、最大值和最小值以及与X轴的交点等，理解正切函数在区间内的单调性2，21以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性如2012年新课标全国T9等2以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题如2012年湖南T6等3与三角恒等变换相结合出现在解答题中如2012年北京T15等归纳知识整合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数YSINXYCOSXYTANX图象定义域RRERRORKZ值域1,11,1R单调性递增区间K2K2，2K2Z递减区间K2K2，2K32Z递增区间2K，2KKZ递减区间2K，2KKZ递增区间K2，K2KZ最值X2KKZ时，2YMAX1X2KKZ2时，YMIN1X2KKZ时，YMAX1X2KKZ时，YMIN1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心K，0，KZ对称中心，K2，0KZ对称中心KZK2，0对称性对称轴LXK，KZ2对称轴LXK，KZ无对称轴周期22探究1正切函数YTANX在定义域内是增函数吗提示不是正切函数YTANX在每一个区间KZ上都是增函K2，K2数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数2当函数YASINX分别为奇函数和偶函数时，的取值是什么对于函数YACOSX呢提示函数YASINX，当KKZ时是奇函数，当KKZ时2是偶函数；函数YACOSX，当KKZ时是偶函数，当KKZ时2是奇函数自测牛刀小试1教材习题改编设函数FXSIN，XR，则FX是2X2A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数2D最小正周期为的偶函数2解析选BFXSIN2XCOS2X，2FX是最小正周期为的偶函数2教材习题改编函数Y4SINX，X，的单调性是A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在和上都是减函数2，2，22，C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在上是增函数，在上是减函数2，22，2解析选B由函数Y4SINX，X，的图象可知，该函数在上2，2是增函数，在和上是减函数，22，3函数Y的定义域为COSX12A3，3B，KZK3，K3C，KZ2K3，2K3DR解析选CCOSX0，得COSX，2KX2K，KZ1212334教材习题改编函数FXSIN，XR的最小正周期为_3X24解析函数FXSIN的最小正周期为3X24T4212答案45函数Y32COS的最大值为_，此时X_X4解析函数Y32COS的最大值为325，此时X2K，即XX442KKZ34答案52KKZ34三角函数的定义域和值域例11求函数YLG2SINX1的定义域；12COSX2求函数Y2COS2X5SINX4的值域自主解答1要使函数有意义，必须有ERROR即ERROR解得ERRORKZ，即2KX2KKZ356故所求函数的定义域为KZ32K，562K2Y2COS2X5SINX421SIN2X5SINX42SIN2X5SINX22SINX25498故当SINX1时，YMAX1，当SINX1时，YMIN9，故Y2COS2X5SINX4的值域为9,11三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域的求法求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如YASINXBCOSXC的三角函数化为YASINXK的形式，再求最值值域；形如YASIN2XBSINXC的三角函数，可先设SINXT，化为关于T的二次函数求值域最值；形如YASINXCOSXBSINXCOSXC的三角函数，可先设TSINXCOSX，化为关于T的二次函数求值域最值11求函数Y的定义域；2LOGXTANX2设AR，FXCOSXASINXCOSXCOS2满足FF0，求函数2X3FX在上的最大值和最小值4，1124解1要使函数有意义则ERROR即ERROR利用数轴可得所以函数的定义域是X|0X2或X42FXCOSXASINXCOSXCOS22XASINXCOSXCOS2XSIN2XSIN2XCOS2XA2由于FF0，3所以SINCOS1，A22323即A1，得A234123于是FXSIN2XCOS2X2SIN32X6由于X，所以2X，4，112463，34因此当2X即X时FX取得最大值F2，6233当2X即X时FX取得最小值F634112411242三角函数的单调性例2求下列函数的单调递减区间1Y2SIN；2YTANX432X自主解答1由2KX2K，KZ，2432得2KX2K，KZ3474故函数Y2SIN的单调减区间为X4KZ2K34，2K742把函数YTAN变为YTAN32X2X3由K0,00，0的最大值为3，其图X6象相邻两条对称轴之间的距离为21求函数FX的解析式；2设，F2，求的值0，22解1函数FX的最大值为3，A13，即A2函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，2最小正周期T，2，故函数FX的解析式为Y2SIN12X62F2SIN12，26SIN61200，若YFX在区间上是增函数，求的取值范围；2，23解1FXSIN24SINXCOSXSINX2X4COSXSINX4SINXCOS2X1COS2X22SINX1SINX12SIN2X2SINX1，故函数解析式为FX2SINX12FX2SINX1，0由2KX2K，22得FX的增区间是，KZ2K2，2K2FX在上是增函数，2，232，232，2且，222320，34122012湖北高考已知向量ACOSXSINX，SINX，BCOSXSINX,2COSX，设函数FXABXR的图象关于直线X对称，3其中，为常数，且12，11求函数FX的最小正周期；2若YFX的图象经过点，求函数FX在区间上的取值范围4，00，35解1FXSIN2XCOS2X2SINXCOSXCOS2XSIN332X2SIN2X6由直线X是YFX图象的一条对称轴，可得SIN1，26所以2KKZ，即KZ62K213又，1，KZ，所以K1，故1256所以FX的最小正周期是652由YFX的图象过点，得F0，4，04即2SIN2SIN，562642即2故FX2SIN，53X62由0X，有X，35653656所以SIN1，1253X6得12SIN2，253X622故函数FX在上的取值范围为1，20，35221求下列函数的定义域1YLGSINCOSX；2YSINXCOSX解1要使函数有意义，必须使SINCOSX01COSX1，0COSX1利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1，OM只能在X轴的正半轴上，其定义域为ERROR2要使函数有意义，必须使SINXCOSX0利用图象在同一坐标系中画出0,2上YSINX和YCOSX的图象，如图所示在0,2内，满足SINXCOSX的X为，再结合正弦、454余弦函数的周期是2，所以定义域为ERROR2写出下列函数的单调区间及周期1YSIN；2Y|TANX|2X3解1YSIN，2X3它的增区间是YSIN的减区间，2X3它的减区间是YSIN的增区间2X3由2K2X2K，KZ，232得KXK，KZ12512由2K2X2K，KZ，2332得KXK，KZ5121112故所给函数的减区间为，KZ；K12，K512增区间为，KZK512，K1112最小正周期T222观察图象可知，Y|TANX|的增区间是，KZ，减区间是K，K2，KZ最小正周期TK2，K3求下列函数的值域1Y；2YSIN2X4SINX5COSX52COSX解1由Y，得COSXCOSX52COSX2Y5Y1因为1COSX1，所以11，解得Y62Y5Y143因此，原函数的值域为43，62YSIN2X4SINX5SINX221因为1SINX1，所以2Y10因此，原函数的值域为2,104设函数FX3SIN，0，X，且以为最小正周期X621求F0；2求FX的解析式；3已知F，求SIN的值41295解1由题设可知F03SIN6322FX的最小正周期为，24FX3SIN224X63F3SIN3COS，4123695COS，SIN351COS245第四节函数YASINX的图象及三角函数模型的简单应用备考方向要明了考什么怎么考1了解函数YASINX的物理意义；能画出YASINX的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题1以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等，如2012年浙江T4等2与三角恒等变换相结合考查YASINX的性质及简单应用且以解答题的形式考查，如2012年安徽T16等归纳知识整合1YASINX的有关概念振幅周期频率相位初相YASINXA0，0，X0，表示一个振动量时AT2F1T2X2用五点法画YASINX一个周期内的简图用五点法画YASINX一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示X2322X02322YASINX0A0A0探究1用五点法作YASINX的图象，应首先确定哪些数据提示先确定X，即先使X等于0，2，然后求出X的值2323函数YSINX的图象变换得到YASINXA0，0的图象的步骤法一法二探究2在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样提示可以看出，前者平移|个单位，后者平移个单位，原因在于相位变换和周|期变换都是针对变量X而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误自测牛刀小试1教材习题改编为了得到函数Y3SIN的图象，只要把函数Y3SINX5的图象上所有的点X5A向右平行移动个单位长度5B向左平行移动个单位长度5C向右平行移动个单位长度25D向左平行移动个单位长度25解析选CY3SIN3SIN，X5X255要得到函数Y3SIN的图象，应把函数Y3SIN的图象上所有点向右X5X5平行移动个单位长度252教材习题改编Y2SIN的振幅、频率和初相分别为2X4A2，B2，14124C2，D2，18128解析选A由振幅、频率和初相的定义可知，函数Y2SIN的振幅为2，周2X4期为，频率为，初相为143将函数YSINX的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的10横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，所得图象的函数解析式是AYSINBYSIN2X102X5CYSINDYSIN12X1012X20解析选C将YSINX的图象向右平移个单位得到YSIN的图象，再将10X10图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到YSIN的图象12X104将函数YSIN2X0的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好6是偶函数，则的值是_解析函数YSIN2X的图象向左平移个单位后，6得YSIN，则K又0，故2X3326答案65函数YASINXA、为常数，A0，0在闭区间，0上的图象如图所示，则_解析由函数YASINX的图象可知，T23233则T23T，3223答案3函数YASINX的图象及变换例1已知函数Y2SIN，2X31求它的振幅、周期、初相；2用“五点法”作出它在一个周期内的图象；3说明Y2SIN的图象可由YSINX的图象经过怎样的变换而得到2X3自主解答1Y2SIN的振幅A2，周期T，初相2X32232令X2X，则Y2SIN2SINX32X3列表，并描点画出图象X612371256X02322YSINX01010Y2SIN2X3020203法一把YSINX的图象上所有的点向左平移个单位，得到YSIN的3X3图象，再把YSIN的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到X312YSIN的图象，最后把YSIN上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐2X32X3标不变，即可得到Y2SIN的图象2X3法二将YSINX的图象上每一点的横坐标X缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到12YSIN2X的图象；再将YSIN2X的图象向左平移个单位，得到YSIN62SIN的图象；再将YSIN的图象上每一点的横坐标保持不变，X62X32X3纵坐标伸长为原来的2倍，得到Y2SIN的图象2X3若将本例3中“YSINX”改为“Y2COS2X”，则如何变换解Y2COS2X2SINY2SIN2XY2SIN，2X2向右平移4个单位向左平移6个单位2X3即将Y2COS2X的图象向右平移个单位即可得到12Y2SIN的图象2X3函数YASINXA0，0的图象的作法1五点法用“五点法”作YASINX的简图，主要是通过变量代换，设ZX，由Z取0，2来求出相应的X，通过列表，计算得出五点坐标，232描点后得出图象2图象变换法由函数YSINX的图象通过变换得到YASINX的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”12012山东高考已知向量MSINX,1，NACOSX，COS2XA0，函数3A2FXMN的最大值为61求A；2将函数YFX的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原12来的倍，纵坐标不变，得到函数YGX的图象，求GX在上的值域120，524解1FXMNASINXCOSXCOS2XA3A232SIN2X12COS2XASIN2X6因为A0，由题意知A62由1知FX6SIN2X6将函数YFX的图象向左平移个单位后得到12Y6SIN6SIN的图象；2X1262X3再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到Y6SIN的124X3图象因此GX6SIN4X3因为X，所以4X，0，52433，76故GX在上的值域为3,60，524求函数YASINX的解析式例21函数FXASINXA，是常数，A0，0的部分图象如图1所示，则F0_2如图2所示是函数FXASINXB图A0，0，|0，2象的一部分，则FX的解析式为_图1图2自主解答1由图可知A2，T471234T又T，22又图象过点，3，0SIN023由图可知2K，KZ232K，KZ3故FXSIN，F0SIN22X323622由于最大值和最小值之差等于4，故A2，B1把0,2代入FX，得22SIN1，取6由图，可知01，令2K，2得23所以函数的解析式是FX2SIN123X6答案12FX2SIN16223X6确定YASINXBA0，0的解析式的步骤1求A，B，确定函数的最大值M和最小值M，则A，BMM2MM22求，确定函数的周期T，则2T3求，常用方法有代入法把图象上的一个已知点代入此时A，B已知或代入图象与直线YB的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上五点法确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下“第一点”即图象上升时与X轴的交点为X0；“第二点”即图象的“峰点”为X；“第三点”即图象下降时与X轴的交点为X；“第四点”2即图象的“谷点”为X；“第五点”为X2322设函数FXSINX0,0的部分图象如图所示，直线X2是它的一条对称轴，则函数FX的解析式为6AFXSINBFXSINX32X6CFXSINDFXSIN4X32X6解析选D由题意可知，T451264T，2再将X代入B，D检验直线X是否是对称轴，得D选266项正确函数YASINX的图象与性质的综合应用例3函数FX6COS2SINX30在一个周期X23内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与X轴的交点，且ABC为正三角形1求的值及函数FX的值域；2若FX0，且X0，求FX01的值835103，23自主解答1由已知可得，FX3COSXSINX2SIN33X3又正三角形ABC的高为2，从而BC43所以函数FX的周期T428，即8，24函数FX的值域为2，2332因为FX0，835由1有FX02SIN，3X043835即SINX04345由X0，103，23知，X0432，2所以COSX043145235故FX012SIN3X04432SIN3X043423SINX043COS4COSX043SIN42345223522765解决三角函数图象与性质的综合问题的方法认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握3已知函数FXASINX，XR，其部分其中A0，0，22图象如图所示1求函数FX的解析式；2已知横坐标分别为1、1、5的三点M、N、P都在函数FX的图象上，求SINMNP的值解1由图可知，最小正周期T428，所以T8，24又F1SIN1，且，422所以，所以，4434424所以FXSINX142因为F1SIN110，4F1SIN111，F5SIN511，44所以M1,0，N1,1，P5，1，所以|MN|，|MP|，|PN|，53720从而COSMNP，52037252035由MNP0，得SINMNP1COS2MNP451个区别两种图象变换的区别由YSINX的图象变换到YASINX的图象，两种变换的区别先相位变换再周期变换伸缩变换，平移的量是|个单位；而先周期变换伸缩变换再相位变换，平移的量是0个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对X而言，即X本身|加减多少值，而不是依赖于X加减多少值2个注意作函数YASINX的图象应注意的问题1首先要确定函数的定义域；2对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象3种方法由函数图象求解析式的方法方法一如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式YASINX中的参数A和，再选取“第一零点”即五点作图法中的第一个点的数据代入“X0”要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得方法二通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，依据是五点法方法三运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数答题模板由三角函数图象确定解析式典例2012湖南高考本小题满分12分已知函数FXASINX的部分图象如图所示XR，0，00，00，R的部分图象如图所示，那么F0AB1232C1D3解析选C由图可知，A2，F2，32SIN2，SIN1，23232KKZ，2KKZ，2326F02SIN2SIN2162K123设函数FXSINXCOSX0的周期为31求