信号与系统课后答案

第一章18系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。其中X（0）为系统的初始状态。（2）（5）（8）2FTYTECOS2YTFT2YTFT解（2）FT线性设，则1122,FTYTFTYT12212,FTFTYTEYTE那么，显然，121AFTFTAFTFTAE，所以是非线性的。12YTTYT时不变性设则11,FTT1012210,FTFTTEYTE设则，所以是时不变的。02Y1021FT因果性因为对任意时刻T1，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统12FTTE是因果的。（5）COSYTFT线性设，则1122,FTTFTYT122COS,COSYTFTYTFT那么,121212AFTFTTAFTFTTAFTAFT显然，所以系统是线性的。12YY时不变性设则11,FTT110100COS2,COS2TFTYTFTT设则，所以是时变的。02Y210因果性因为对任意时刻T1，即输出由当前时刻的输入决定，所以1COS2TFTT系统是因果的。（8）2YTFT线性设，则1122,FTTFTYT122,YTFTYTFT那么,121212AFTFTTAFTFTAFTFT显然，所以系统是线性的。12YY时不变性设则11,FTT11010,2TFTYTFT设则，所以系统是时变的。02Y210因果性因为对任意时刻T1，当时，即输出由未来时刻1TFT1T12T的输入决定，所以系统是非因果的。第二章212（A）已知信号F（T）如图所示，试分别画出下列信号的波形。（1）F（1T）（2）F（2T2）（3）F（2T/3）（4）F（T）F（2T）U（1T）1FT112123T解（1）先将F（T）向左移1得F（T1）（见图（A）2FT111212T122112F1TT图A图B然后反折即得F（1T）（见图（B）。（2）首先F（T）向左移2得F（T2）（见图A）3FT21121T0图A图B3/2F2T21121/2T0然后将F（T2）的波形压缩为1/2即得F（2T2）的波形（见图B）。3首先F（T）向左移2得F（T2）（见图A）3FT21121T0图A图B9FT/321123T0然后将F（T2）的波形扩展3倍即得F（2T/3）的波形（见图B）。最后将F（2T/3）进行反折即得F（2T/3）的波形（见图C）33912F2T/3T图C64先作出F（2T）的波形和U（1T）的波形（见图A和图B）11312F2TT图B211TU1T图A然后作出F（T）F（2T）的波形（见图C）最后乘以U（1T）后的波形如图D。F2TF（T）图D13T图C23T216利用冲激信号及其各阶导数的性质，计算下列各式（2）（8）3TDFTE3241FTTTD（10）（14）TFTTD132TNFTET解（2）0DFTETT（8）因为，1所以333124241240TFTTTDTTD（10）00TTTFTETE（14）冲激串中只有两个（T）和（T1）落在积分区间NT3/21/2之中，因此1112233TTNFTETDETDE225已知激励为零时刻加入，求下列系统的零输入响应。（1）,0,0YTFTY（3）321,FTY解（1）特征方程为，特征根为，因此，YX（T）为12,II，代入初始条件并求解，有120ITITXYTCE，所以12120CCI2COS0ITITXYET（3）特征方程为，特征根为，3012,因此，YX（T）为；代入初始条件并求解，有210TTXYTE，所以12120C2TTXYTE226系统框图如图258所示，试列出系统的微分方程，求单位冲激响应。FTYTYT1解（1）如图，加法器的输出方程为，整理后即得系统的微分方程为YTFYTYTFT（2）求H（T）特征方程为，特征根为，因此，H（T）为2012,0，微分方程中令F（T）（T），并将H（T）代入，得12TTCEUT1112112TTTCTEUCTT比较两边冲激函数的系数，得，所以12120CTHT233已知信号如图261所示，试分别画出的波形。12FT221F1TT111F2TT100（A）11F1TTF2TT100（B）112F1TT11F2TT100（C）111F1TTF2TT100（E）SINTUTUT2解（A）,故波形如12111FTFTTFTFT下331FTT2（1E1）F（T）T00（A）11（B）（B）11212021TFTFTTTTEDUT0211TTTTEUEE波形见（B）（C）11121221FTFTTTTFT，而的波形是一个等腰三2F12F角形，因此卷积的波形为E1120SIN1SINFTTUTUTDFT222FTT0（C）,132FT其中10SIN1COS2TTFUDT所以，123COS14TFTT卷积的波形见（D）249已知LTI系统的框图如图272所示，三个子系统的冲激响应分别为，求总系统的冲激响应HT。1231,HTUTHTUTHTH2（T）H3（T）YTFTH1（T）解由图可知，总的冲激响应为23100111TTHHUTTUDDTUTTTFTT20（D）411252求下列系统的零输入响应，零状态响应和全响应。（1）32,2,01,2TYTTYTFTEUY解特征方程为，特征根为，012,（1）求零输入响应由特征根得为；代入初始条件并求解，有XYT210TTXTCE，所以121243C243TTXYTE（2）求冲激响应H（T）由特征根及微分方程的阶数可知，在原微分方程中21TTHTAU令F（T）（T），并将H（T）代入，得2211212112432TTTTTTAEUATTAEUATT比较两边冲激函数的系数，得，所以12120A2TTHEU（3）求零状态响应20022TTTFTTTTTTTYTEEDDUEU因此全响应为2224365TTTTTXFTTTYTYEEE254一LTI系统，初始状态不详。当激励为F（T）时全响应为，当激励为2F（T）时全响应为。求32SINTETU32SINTETU（1）初始状态不变，当激励为F（T1）时其全响应，并指出零输入响应和零状态响应。（2）初始状态是原来的两倍，激励为2F（T）时其全响应。解设系统的零输入响应为，F（T）产生的零状态响应为，因为系XYFYT统是LTI系统，由题设可得，解此方程，得32SINTXFTFYTTETU3SIN2TXFTYET（1）由时不变性，此时的零状态响应为，而零输入响应不变，故全1FYT响应为，其中3131SIN21TTXFYTTYTEUETUT零输入响应为，零状态响应为3T31ITTT（2）根据线性性质，此时系统的零输入响应和零状态响应均为原来的两倍，故全响应为，其中3242SINTXFYTTYTETU零状态响应为，零状态响应为36TEUTT第三章310已知周期电压，试画2COS45SIN245COS360UTTTT出其单边、双边幅度谱和相位谱。解2COS45IN360UTTTTCOS215COS所以令，即有010213,4,5,60,AAA因此单边幅度谱和相位谱如下0020321AN00233/4/3N/4根据单双边谱之间的关系得312451356001212,0,52JJJJJJFAEFAEFAE由此的双边谱如下0032055NF0200203100233/4/3/400203N312已知连续周期信号F（T）的波形如图358所示。（1）求指数型与三角型傅里叶级数；（2）求级数之和。1357S112FTT1。解（1）有图易知。02,T三角型1110002COS,SIN1COS20NNADTATDBTD为奇数为偶数所以；12SIN2SI3IN5NFTTTT指数型01,1,COS220NNFAAJBNOTHERWIS所以121JNTNFTE（2）在三角型级数中令，得T，因，12135121SINSI235F12F所以，即S454330求下列信号的傅里叶变换（2）4/1UT2JTE（6）（8）2TE1UT解（2）因为，所以/212TT21/2JTE（4）因为，所以，JTJEET21JJTEE（6）因为，所以，211T21TJ（8）因为，所以105UTGT052JUTSAE331已知信号和的带宽分别为和，并且，求下列信号1FT2FT121的带宽。（1）（2）（3）12FTA12FT12FTFT（4）（5）FTTA（1），根据卷积的性质可知12122FTFJJFJFJ带宽为；1（2）因为，所以的带宽为；212FTJJJFJ23因为，所以的带宽为；1F1（4）因为，所以的121122FTFJJJJJ带宽为；2（5）因为，所以12122JFTFJJFEA的带宽为。FJ12332利用傅里叶变换的对称性，求下列信号的傅里叶变换（2）（4）SIN2TFT1FT解（2），I121TFTSAT因为，令，根据对称性，得GTSA442GTSA，再由时移性质得44422TSAT4JFGE（4）因为，根据对称性，有，因此SNTJ2SGNJT1GJT333已知，利用傅里叶变换的性质，求下列信号的傅里叶变换FFJ（1）（7）（8）35FTDTF0JTDEF（9）（11）（15）TD1TCOS2T解（1）53135JFTFE（7）由时域微分性质有，再由频域微分性质，得DFTJ，所以DDJTFJJFJFJTD（8）由时域微分性质有，再根据频移性质即得FT01JTDEFJJ（9）由积分性质有，再根据时移性质，得0TFFDJ555TJF（11）由时域微分特性，有，由对称性可得DFTJF，最后根据卷积定理，得1SGNJTSGNDFJFJJT（15）因为，根据频域卷积定理，得COS22111222FTJFJFJ344已知系统的微分方程如下（A）；（B）43YTTYTF56YTTYTFTF（1）求系统的频率响应H（J）和冲激响应H（T）；（2）若激励，求系统的零状态响应。2TFEUFT解（A）（1）由微分方程可知系统的频率响应为，因此冲激响应为2112343HJJJJJ3TTHTEU（2）设，则，由频域分析,FFFTFJYTYJ12FJ211343FYJJHJJJJJJ可令，其中312FAAJJJ1112FJJAJYJJ2223FJJJJJ33311FJJAJYJJ即，因此零状态响应为1/2/2FJJJ23TTTFYTEEU（B）（1）由微分方程可知系统的频率响应为，因此冲激响应为212356JHJJJ3TTHTEU（2）设，则，由频域分析,FFFTFJYTYJ12FJ2211563FJJYJJHJ可令，其中312FAAJJJJ212213FJJJAJY222223FJJJDJJJ32331FJJAJYJ即，21123FDJJJJJJJ因此零状态响应为23TTTFYTEEU346已知LTI系统的频率响应如图375所示，其相频特性。求当输0入为，其中时的输出Y（T）。0/2JNTJNFTE01/RADS2525HJ1解因为且，所以11JTJTAEHE0/2JNTJNFTE02/2/22211SINCOJNTJNJJTJJJTTTJTYTHEEE350如图378所示系统，已知输入信号F（T）的频谱为F（J），H2（J），试画出X（T）和Y（T）的频谱。6G53351HJ2HJFTCOS5TCOS3TXTFJ221解设，又设第一个乘法器的输出为，则XTXJ11FTFJ，根据频域卷积定理，有1COS5FF555222FJJJJ由频域分析可知，其波形如图A所示11XFJHJ533512XJ图A214YJ图B类似地，其波形如图B所示。2113322YJXJXJHJ361已知系统的微分方程和激励如下，求系统的稳态响应。（1）15,COSYTTFTFTTYTFJ22122（2）22,COS23YTTFTFTFTT解（1）系统频响为，当2时，频响15JHJ，因此稳态响应为36920815JJHJECOS208COS2369SYTJTT（2）系统频响为，设，JHJ12,3SSTYTYT因为，所以2JJJE02JJ，12COSCOSSINSYTHJTTT203STJA最后，总的稳态响应为12SIN3SSSYTTYTT363已知某理想高通滤波器的频率特性如图386所示，求其冲激响应。HJ解系统的频率响应为55544212JJJJHJEGEGE因为，由对称性及时移性质可求得52JT，因此冲激响应为44JSAE525HTTSAT366如图389所示系统，已知，求输出YTSIN2,SGNTFTHJHJFTSIN4TCOS4TYTY1TY2T解如图，因此12YTTYT12YJJYJ由对称性求得，因为，所以4FFJGCOS4YTFT1442222YJJG而2441SGN1SGN422JFJHJJ因此（此结果1221285YJJYJGG需借助图形才比较容易得到，即将的波形画出并相加）1,JYJ因为128SIN6SIN4,TTGG所以IICOS52COS5TTYTSAT352已知基带信号带限于，信号带限于，求对下列信号进行1FT12F2理想抽样时，所允许的最大抽样间隔T。（1）（2）（3）12FTA12FTT12FT（4）（5）（6）315FTA解（1）因为，根据卷积的性质12122FTFJJFJ可知带限于，因此最大抽样间隔为；FJ1212T（）因为，易知带限于1212FTTJJJJ，因此最大抽样间隔为；12MAX,12MAX,T（）因为，易知带限于1212FTFJJFJJ，因此最大抽样间隔为；12IN,12IN,T（）因为，根据卷积的性质可知112FTJJJ带限于，因此最大抽样间隔为FJ112T（）因为，根据尺度变换的性质可知133FTFJJFJ带限于，因此最大抽样间隔为；11T（）因为，由尺度变换511152JFTFTFJEFJA及卷积的性质可知，带限于，因此最大抽样间隔为；J112T第四章44求下列信号的拉氏变换，并注明收敛域。（1）（3）（5）TEU2TEU2TEU解（1）01,R1STTSTFSEDDS（3）2,E22TSTE（5）122,1SSTTSTSEUDD45求下列信号的单边拉氏变换。（2）（4）73TT2TTEU（6）（8）1TE12TTUT（10）（12）TUTCOSTE解（2）73273TES（4）2211SSTTEE（6）1TUSS（8）2211212SSETTTE（10）2SETUT（12）211COSTSEUS410求下列函数的拉氏逆变换FT。（2）（4）321S4215SE（6）（8）4S2S（10）321解（2）首先，24512SSS然后令，其中124512ASS121245,31SSAA因此，于是33S22TTFTTEU（4）因为，由时移特性即得215TS145FTUTT（6）令，其中1244AS1224,24SSAA因此，从而2SSTTFTE（8）令，其中2312251ASA，因此，通分120SAS232251SAS后得，比较分子的各项系数，得2232155AA，故，从而231,0A221SS1COS2TFTEUT（10）令，其中231212331AASS121312221123311,SSSSSSAA所以，从而33212S21TTFTEUTEU416由时域卷积定理求下列信号的卷积。（1）212,TFTTF（4）3TT（7）124,SINFTUTFTU解（1）设，则,由卷12FFSTF121,SFS积定理，作部分分式展开，有1222FTS，其中122ASSS1122000221,44SSSSA因此，所以21/1/42SS212114TFTTUTEU（4）设,记，那么3F1213,FTFYTFT。下面先求。FTYY设，则,由卷积定1133,FTFSFTFS1321,SESFS理，因为13332SSYTE,所以，从而2321TUTS111YTUTTT212342FTYTUTTTT（7）记，设，则12FTTF1132,FTFSFTFS，由卷积定理可知4132,SEFSFS，令，则41221SEFT22ABSCS，将上式右边通分，有20SA，比较分子的各项系数，222211BSCSCS得，因此，于是,0BC4211SSFSE001COS1COS4COS4TFTTUTUTT420已知某LTI系统的阶跃响应，若系统的输入，TGEU2FTUT求该系统的零状态响应。FYT解设，则，易知，因此系统函数GTGS1S1GSH；又设，因为1HS,FFFTFYTY，所以，故22FTUTTUT2SSE，因此21SSFYSFSEE21TFYTET427已知系统的微分方程为，求在下列两323YTTYTFTFT种情况下系统的全响应。（1）,01,FTUT（2）302TEY解（1）设，则,对微分方程两边取拉氏变换，有,FTFSTYS1FS，代入初始条件203023SYYYYSF与并解此代数方程，得，作部分分式展开，得22533SS，所以全响应为12YSS2352TTYTEU（2）此时，将它和新的一组初始条件代入上面关于象函数的代数3F方程中，解得，作部分分式展开，得26SY，所以全响应为541YSS254TTYTEU430如图432所示电路，求（1）系统的单位冲激响应HT；（2）欲使系统的零输入响应,系统的初始状态；CXUTH（3）欲使系统在单位阶跃信号激励下，全响应为，系统的初始状CUTUT态。2FT1HLITCUT1F解先画出电路的复频域模型如下2FSSLITCUS0LI0CUS1S1先求系统函数。在复频域模型中令，此时由分压公式，0,0LCIU得，因此1/2CSUSF221USHFS所以冲激响应为THE（2）在复频域模型中，令，此时由分压公式，得0S，要使2001/12CCCXLLUUSUSIISSS，则应有XH,0IA（3）此时，由复频域模型可得1FS22210101CCXCFLLUUIFSSSSIU要使，应有。CS0,1LCIUV436如果LTI因果系统H（S）的零极点分布如图435所示，且H（0）1，求（1）系统函数H（S）的表达式（2）系统的单位阶跃响应。621J621J1（A）（B）解（A）（1）由零极点图可设系统函数为，由，261ASH013HA故3261SH（2）设，则，做部分分式展开，得GTGS32161SSH，所以阶跃响应312/7966SSS697TTGTEU（B）（1）由零极点图可设系统函数为，由152ASHS，故010HA10SS（2）设，则，做部分分式展GTGS152HS开，得，所以阶跃响应10155221SSSSTTTGTEEU441系统框图如图440所示，试求（1）系统的传输函数H（S）和单位冲激响应；（2）描述系统输入输出关系的微分方程；（3）当输入时，系统的零状态响应；32TFTEU（4）判断系统是否稳定。1S1SFTYT322XT解（1）如图设最后一个积分器的输出为，写两个加法器的输出方程，得XT，在零状态条件下取俩式的拉氏变换，得32XTFXTTY，因此21FSSXY213YSHFS做部分分式展开，得，因此132HSS23TTHTEU（2）由系统函数可知微分方程如下32YTTYTFTF（3）2165,233FSFSYSFSSS所以2365TTTFYTEEU（4）系统函数的两个极点均在复平面的左半平面，因此系统是稳定的（此处将系统视作因果的）。444已知某LTI系统，当（1）时全响应；TFETTYE（2）时全响应2TU2TTTU求系统的零输入响应以及当时系统的全响应。F解设，则,在YTYSXFXSYSYFSH（1）中，代入式，得2211,1F2XSYSHS在（2）中，代入到式中，得1213,2SFYSS31XSH解式组成的方程，得1XYSH所以；TXYEU当输入时，FTT11XYSFSHSS所以全响应YTUT第五章54利用和来表示图518所示各个序列。UN1123N1F112N12FN21123N13FN22341123N4FN123514123N113/221/25FN解（1）14FNU（2）2（3）3FN（4）121325NUN（5）F55离散信号的波形如图519所示，试画出下列信号的波形。FN（2）（4）（6）1F2FN1FNFA（8）（10）U1U21N132321FN23N112341FN图（A）21N1312FN图（B）21N3411FNFA图（C）1N12321FNU图D）21N1323211FNU图（E）解（2）将原信号波形左移1然后反折即得的波形，如图（A）所示；1FN（4）因为，所以波形如图（B）所示。23100FNFNOTHERWIS（6）因为，所以波形如图（C）所示。1240FFNTERISA8将原波形向右平移1然后反折得的波形，最后与相乘即得1FUN的波形，如图（D）所示。1FNU（10）将原波形右移1后反折得的波形；将的波形左移1后反FN折得，最后将两者相乘即得的波形，如图（E）所1UN示。515求下列系统的零输入响应，已知激励在N0时接入。XYNF（1）625121YNYFY，（2）00,，解（1）特征方程为，特征根，所以260123，代入初始条件，得1213NNXYC，解得211123124C因此40NNXY（2）特征方程为，特征根，所以20512,05，代入初始条件，得1213NNXYC，解得221105C1236C因此120536NNXY517求下列差分方程所描述的系统的单位样值响应。（1）9F（2）1248YNYNF解（1）特征方程为，特征根，所以109121,3，因为，123NNHNCU0,019HH所以，解得112103C12C因此123NHNU（2）特征方程为，特征根，所以2048121,4，因为121NNHNC，所以0,20148H，解得11120C123C因此1324NNHNU520求下列信号的卷积。（2）NNU（3）12NU（4）44NU解（2）利用因果信号卷积和的性质知0022112NNNNMNMU（3）（2）利用因果信号卷积和的性质知11220112NNMNNUU（3）首先原式；因为44U，根据时移特性，得011NMNN原式23478U526已知LTI系统的差分方程为；051YNFN（1）求系统的单位样值响应；H（2）求系统对于下列输入的响应05051NAFUBFNN解（1）特征方程为，特征根为，所以。因为，所以，故NHC051HC；05（2）（A）005055105NNNMNNFYNFHUUU（B）110505NFNYFN527已知LTI系统的差分方程及初始条件为。2312,0,12XXYNYFNY（1）绘出系统框图；（2）求系统的单位样值响应；（3）若，求系统的全响应，指出零输入和零状态响应；1FNU（4）比较全响应在N0，N1的值与初始值，二者不同的原因是什么解（1）将原微分方程整理为，因此得系2312YNYNFN统的模拟框图如下DDFNYN32（2）特征方程为，特征根为，23012,先求系统的单位样值响应,则易知原系2YNYNF1HN统的单位样值为。根据上述特征根可知，1H，并有，代入后可得112NNHCU110,H解得，因此112012C21NNHN（3）首先系统的零输入响应为，根据初始条12,0NNXYA件，有解得12A1243因此；43,0NNXY其次零状态响应为2211001212163NNFNMMNNNYFHUNUU因此全响应为124132631962NNNNXFNYNYUU（4）由上可知，与001,1XFXFYYY0Y相同，与不同。X1原因将代入差分方程中并令可得FNU2,N，可知与激励无关，故与相同；032110YY0Y0XY而与激励有关，故与不同。X529已知LTI系统单位阶跃响应，求系统在激励2105NGNU时的零状态响应。05NFU解因为，所以零状态响应1HG1FYNFNFNGFNGFNG记，则，下面求1FYYYN001521524NNNMMNYFGU所以15FYNYU536如图527所示，复合系统由三个子系统组成，其单位样值响应分别为，试求复合系统的单位样值12305,NHHUHNN，响应。1HT2HT3HTFNYN解令，此时系统的输出即为其单位样值响应。有图可知FN12312330152234NMNHHNHNHNHNUU第六章66根据定义求下列序列的双边Z变换画出其零极点图，并注明收敛域。（2）（4）12NFU12NF（6）05NNF解（2），11122205NNNNNZFZUZZZ收敛域为，即（4）10115222202NNNZZFZZZ其中第一个求和的条件为，即；第二个求和的条件为，因此Z收敛域为12Z（6）为因果序列，其双边变换与单边变换相同，所以FN，收敛域为252050ZZF2Z614已知因果序列的Z变换为，求下列信号的Z变换。FNFZ（1）（3）ANEF0NKAF（5）1FNU解（1）AAEFFEZ（3）因为，所以0NKNFFU01NKZAFFA（5）11FUZF615求下列单边Z变换所对应的序列。FN（2）（4）54132F241ZFZ（6）216Z解（2）令,则1243FAZZ；5121344ZZA51214332ZZFZ因此，于是对应的序列为1243FZNFU（4）令,则112FZAZ；1114ZZAZ；1221114ZZZFDZ22114ZZA因此，于是对应的序列为21FZZNFNU（6）象函数即，因此对应的序列为226ZZF1NF626求下列系统的全响应（5）223,01NYYUY解（5）先求出和1，解得0123YY13,25YY然后对差分方程取Z变换，得，解得1213ZYZYYZ1212293ZZZ做部分分式展开，可得，所以2971643ZYZ72391461NNYNU636已知离散时间LTI系统对输入信号的零状态响应为，当输入为UY某信号时，其零状态响应为,试求该激励信号。FN10NKYFN解根据已知条件，即为系统的阶跃响应。设，则1YN11YNYZ；设，则，又因为1ZYZHYZZHF，因此，从而得到110NKYYNU1，解得211ZZHZFYH2211ZZF所以FNUN629离散时间LTI系统的框图如图67所示，求（1）系统函数；HZ（2）系统单位样值响应；HN（3）系统的单位阶跃响应。GDDDFNYN123解（1）由图可知，两边取Z变换，有123YNFFNF，因此系统函数为1233YZZFZ123YHZF（2）根据系统函数可得系统的单位样值响应为3HNN（3）设，则因此，系统GGZ1233ZZZZ的阶跃响应为312UNU643已知离散LTI因果系统的零极点如图613所示，且系统的，求2H（1）系统函数；HZ（2）系统单位样值响应；HN（3）系统的差分方程；（4）已知激励为时，系统的零状态响应为，求。FYNUFNJIMZ123REZ0解（1）根据零极点图可将系统函数设为，由4可得A4，故23AZH4213ZH（2），所以2113ZZZNNHU（3）因为，所以差分方程为12448ZH4132YNYNFFN（4）设，则，因为，因此YZ1ZYZHFZ,作部分分式展开，有3442213FZZHZ，所以13/812241ZZZ1283