南昌大学线性代数期末考试试题及答案

南昌大学20082009学年第一学期期末考试试卷试卷编号教33A卷课程编号H55010001课程名称线性代数考试形式闭卷适用班级理工类（本科）姓名学号班级学院专业考试日期2009年1月8日题号一二三四五六七八九十总分题分151591111111297100累分人签名得分考生注意事项1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题每空3分，共15分得分评阅人1、若齐次线性方程组有非零解，则12304XK_K2、若、为同阶方阵，则成立AB2ABAB的充分必要条件是_3、设，若，1,352,7831,6123则4、已知矩阵，的一个特征值为，012AY3则_Y5、若二次型是正定的，22123131232,44FXXTXX则的取值范围是T_二、选择题每小题3分，共15分得分评阅人1、已知四阶行列式的第三列元素依次为，并且D13A2332A43第三列元素的余子式依次为，则（13M21M4D）A5B5C2、设为三阶方阵，则其伴随矩阵的行列式（）0AAAA23A4A3、均为阶方阵，下列各式中成立的为（）,BNABC22ABDA4、设是矩阵，则齐次线性方程组（）60X无解。只有零解。有非零解。不一定有非零解。5、阶方阵的个特征值互异，是与对角矩阵相似的（）NN充分条件必要条件AB充分必要条件既不充分也非必要条件CD三、（9分）证明（其中为正整数）COSINCOSINIIN得分评阅人四、（11分）已知向量组，1234,43,1,6,1,29,1,2759求的一个最大无关组。1234,将其余向量用此最大无关组线性表示。得分评阅人五、（11分）设、均为三阶方阵，且满足，ABXXAB其中，求；102123045B12X得分评阅人六、（11分）设有线性方程组问取何值时，此方程组1230X有唯一解；1无解；2有无限多个解并在有无限多解时求其通解。3得分评阅人七、（12分）求矩阵的特征值和特征向量。10432A得分评阅人八、（9分）已知二次型2212313132,56FXXXX的秩为，求及此二次型对应矩阵的特征值。得分评阅人九、设三阶方阵、满足，其中，AB28ABE102A为三阶单位矩阵，为的伴随矩阵，试求三阶方阵（7分）EB得分评阅人南昌大学0809学年第一学期线性代数期末考试（A卷）评分标一、1；2；3；4；5_1K或_BA_2,17_2。_2T二、1（B）；2（B）；3（D）；4（C）；5（A）。三、当时，等式显然成立。1分1N设时成立，即设K3分COSICOSINIIKK要证时成立。此时有1N4分CSICSICOSINIOINIKK5分ISINSISK7分CCOINSCOIOCINKKK9分S1S1INK四、令并对矩阵作初等行变换12345,AA2分12144633976974分12141240005336分124140003则，为该向量组的一个最大无关组。7分1249分311分51243准五、2分1101102234分010101326分230118分132A21120453XB11分298641六、对方程组的增广矩阵作初等行变换，得1分1101,3130AB3分0021313由此可见当且时，13,RAB此时原方程组有唯一解。4分当时，方程组无解；5分201,2当时，（未知量的个数）33此时原方程组有无穷多个解。6分当时，阶梯形矩阵为7分101062求得非齐次方程的一个特解和对应齐次方程的基础解系；10分1201由此便得通解是（为任意实数）11分XK七、3分10432EA210解得特征值为，4分13对应于根据，有12,0EAX，即12304X123X取，则易求得。3X12,0X得基础解系为，0,的属于特征值的全部特征向量为，A110,K（其中为任意非零常数）8分1K对应于根据，有23,EAX，即12304X132X取，则易求得。X12,X得基础解系为,的属于特征值的全部特征向量为A2321,K（其中为任意非零常数）12分2K八、二次型对应的矩阵为123,FX2分5A由题意知，则4分2R0A即，5分47解得6分3矩阵的特征方程为A8分9