北京大学《线性代数》六套试卷与答案

线代参考一1线性代数参考题一一填空题每小题3分,满分30分1写出4阶行列式中含因子的项为_。434213214312AA231A2行列式的充分必要条件为_。02B3设A为方阵,满足,则_。2EA14同阶方阵,若,必有,则应为_矩阵。CBCBA5设A为N阶方阵,有非零解,则A必有一个特征值为_。0X6设相似于对角阵,则_。1257设向量组是向量组的一个最大无关组,则与间关系为R,TAT_。8由所生成的线性空间为_。01,03219二次型的正定性为_。XZYZYXF465210若,且,则_。TA31ART二8分计算2N阶行列式DCDCBABADN0002线代参考一2三8分解矩阵方程130253412X求四10分设向量组A3,620,0,1,2,0143求向量组A的秩及一个最大无关组五12分讨论方程组的解的情况23213211XX六16分求正交变换,将二次型PYX3231212XF化为标准形,并写出其标准形七8分设且线性无关,NN121,N,1证明线性无关N,八8分为N阶方阵,且与均不可逆AA,2IE则可否对角化线性代数参考题二一、填空题每小题3分,满分30分1设都是5阶矩阵,且,则BA,2,31BAA2已知,则其中I是N阶单位阵022II3,已知矩阵A的秩RA2,则141X设X线代参考一34,又是的代数余子式,81437022634IJAA设IJAIJA则4241A5若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组6设是正定二次型,322123213,XTXXXF则的取值区间为T7设是阶正交矩阵,则ANT8设相似于对角阵,则201X21X9设非齐次线性方程组的两个解为的秩为,则BAX,1A1N的一般解BAX10已知向量组的,4,0,1,321T秩为2,则T二8分计算N阶行列式BAABAADNNN2121三8分求矩阵满足X104017241四10分设,2,5,3,6,352431求向量组的秩及其一个极大无关组五12分问常数各取何值时,方程组BA线代参考一4,58533422,1321321XAXXBAXXX无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解六16分求正交变换,将二次型PYX化为3231212321321,XF标准形,并写出其标准形七8分设向量线性无关,且4,1432143232,证明向量组线性无关421,八8分为N阶方阵,且与均不可逆。A,1NIIA试讨论是否相似于对角阵,并说明理由线性代数参考题三一填空题每小题3分,满分30分1设都是阶方阵,且则BA,N3,2BA0A2设是矩阵,是的转置矩阵,且的行向量组线性无关MTT则秩XAXAXAXAXXXXXF443424133324232211113是次多项式线代参考一54若121034,1203ZYXZYX则5阶数量矩阵的相似矩阵是NAI6若是实对称矩阵,则属于的不同特征值的特征向量一定AA7向量组线性关1321,8设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于123A9设是矩阵,则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是NMR秩0X10设是阶正定矩阵,则方程组的解的集合是A0X二计算题每题8分,共40分1计算阶行列式NN10213,6530211的伴随矩阵为其中求设AAA3用初等变换法求下列矩阵的逆1023A4设中的两组基为其中3R322321,BB1,0,01求基到基的过渡矩阵2A求25A已知I三10分求下列向量组的秩和一个极大线性无关组并说明该向量组是线性相关还是线性无关线代参考一61,0,01,2,064,232354321四6分判断下面二次型是否正定二次型3223213,XXXXF五14分，求可逆矩阵,使得为对角矩阵,并且给出16305A设PA1AP1线性代数参考题四一、填空题每小题3分,满分30分11设都是4维列向量,且4阶行列式2121,32112NM则4阶行列式_312已知线性相关,不能由线性表示则线性_21,321,21,13设是阶矩阵,是阶矩阵,且,则的取值范围ANMBSNRAR0BR是_4设是43矩阵,且的秩且则_2AR30125设0是矩阵的特征值,则_AA012A6设是正定二次型,则的取值区间21232321,XKXXFT为线代参考一77矩阵对应的二次型是_31420A8设相似于对角阵,则465X321X9设为3阶方阵,为伴随矩阵,则_A8A183A10设是不可逆矩阵,则_1452XX四8分计算行列式YX11三8分三阶方阵满足关系式,且,求BA,BAE2102B四10分设6,52,021,147,03325421求向量组的秩及其一个极大无关组五12分问常数取何值时,方程组K42312XXKK无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解六16分求正交变换,将二次型PYX化为323121232132184,XXF标准形,并写出其标准形七8分设都是阶矩阵,且可逆,证明与有相同的特征值BA,NABA线代参考一8八8分设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量AM,211A不能由向量组线性表示证明个向量必线性无关2212,LM线性代数参考题五一填空题每小题3分，满分30知0,1,2T,0,1,1T,且AT,则A43设A、B为4阶方阵，且2，81，则B34设3阶方阵A的非零特征值为5，3，则5与向量组1,T,2,T,3,2112121T,都正交的单位向量426A是34矩阵，其秩RANK2,B,则RANK_A201BA7设1、2是非齐次方程组AXB的两个不同的解，是对应的齐次方程组的基础解系，则用1,2,表示AXB的通解为8向量组11,1,1T,21,2,4T,31,A,A2T线性无关的充要条件为A且A。9设可逆方阵A的特征值为，则KA1的特征值为。10FX1,X2,X3X12AX222X322X1X2为正定二次型，则A的取值范围为二（10分）计算N阶行列式DN01321013NN三（8分）设A、B为3阶矩阵，且A2BABE，线代参考一9其中A，E为3阶单位矩阵，求矩阵B。0321四（8分）确定A、B的值，使矩阵A的秩为2。BA13456201五（10分）设11,0,2,1T,21,2,0,1T,32,1,3,0T,42,5,1,4T,求此向量组的秩及一个极大无关组。六（8分）设1,2,N,N1线性相关，而其中任意N个向量均线性无关，证明必存在（N1）个全不为零的数K1,K2,KN,KN1使得K11K22KNNKN1N10七、（10分）设齐次方程组A11X1A12X2A1NXN0,A21X1A22X2A2NXN0,AN1X1AN2X2ANNXN0,的系数行列式0，A的某一元素AKJ的代数余子式AKJ0，证明XAK1,AK2,AKNT为此方程组的一个基础解系。八、（16分）求正交矩阵P，将二次型化为标准形并写出此标准形。FX1,X2,X3X12X22X324X1X24X1X34X2X3线性代数参考六一填空题每小题3分,满分30分1设是3阶矩阵,且,其中均为3维行向量,BA,3232,RBA2,R,则行列式,152已知方阵满足为常数,则02CEBACBA,01A线代参考一103设,则应满足_0201K4设线性相关,线性无关,则线性_关1,32,321,5设线性相关,则满足关系式_12BABA6设A满足,则A有特征值_0E7设A为N阶方阵,且是的三个线性无关的解向量,NR32,0X则的一个基础解系为_0X8二次型正定,则满足条件323112132145,XAXFA_9设方阵相似于对角矩阵,则_124A45TT10设A是矩阵,则_3,R120BBAR二8分计算N阶行列式BABADN11三8分设,求矩阵,使满足下面的关系式203,10CBXECEXT1四10分设向量组BA,31,63,1,324554321确定的值,使向量组的秩为2,并求一个极大线性无关组BA51线代参考一11五8分设线性方程组03231XK的系数矩阵为A,设B为3阶方阵,已知,且,求的值B0AK六14分设实二次型3212321214,XXF1求正交变换,将二次型化为标准形QYX2确定该二次型的正定性七8分设列向量是一个N维实向量,已知是单位向量令矩阵TE2证明是一个对称的正交矩阵T八14分已知和是线性空间的两组基,其中321,3213RTT1,0,0T,3211求由基到基的过渡矩阵A321,2设向量在基下的坐标为,求在基下的坐标,T,321,线性代数参考题一答案一、填空题每小题3分,满分30分1与；2；3；4可逆阵或满秩阵423A4321AB21EA或非奇异阵；5特征根为0；6；7；8；9负定；101TR3R25T二、陈治中版线性代数例题157（P26）答案NNBCADD2三、令130,52,3412CBA则215,2,1511X四、令，则,4321A线代参考一1203123106240,321A因而，构成一个极大无关组，且R321,3214五陈治中版线性代数习题46（P121）答案P211六将二次型化成矩阵F，显然为实对称阵，可以正交对角化的，即21AA由特征方程，得，0|E13,2当对应的特征向量为，标准化为；01TT1,31当对应的特征向量为和3,20,20,3正交化，标准化为T,12T2，标准化T1,2233T1,23因而，且,31P23YF七令LNNN321321213211由以及线性无关得线性无关。|LN,1八由已知有及，显然有特征根0|A,20|IIEA分别为0和。故此可对角化。,1IIA线性代数参考题二答案310938721,6548231KE线性无关一线代参考一13NINNINNNIBABABABA1212210D二6028162146041270214X三431421,307510325162或极大无关组秩为四010212520115853342201ABABAB五TTTKKBA1,020,120,1,13,2通解为有无穷多解且唯一解为任何值时无解时当3,32212AEA六线代参考一14当TX1,0210311当TT1,00,3323212，T1,0,32正交化单位化得正交矩阵62031P所以得到标准型2YF线性无关所以由等价的向量组秩相等等价与向量组线性表示可由即可逆设七43214321432143214321143214321,011,PP线代参考一151210,1,0010,2NANANIIEEAII相似于对角阵所以特征向量个线性无关有故个不同的特征值有所以方阵即均不可逆与因为方阵八线性代数参考题三答案019438765143261NRAEN相关正交一二1）；2）；3）N6521A；101AA4）10,10,1ACB5）21EPEAP三3004132103062421秩为,42此向量组线性相关一个极大无关组为四012,13102AA计算各阶顺序主子式线代参考一16023正定由正定的充要条件AA五特征根为2,1321当，当，TTPP0,1TP1,233故,132PP线性代数参考题四答案3105964817283261543312KXXXRNBRMN相关一20101YXYXYX原式二2013,2EABEAB则可逆又三四543521421,30060142573或或极大无关组为秩为83205421,无解时有唯一解且即时当五KKAK线代参考一17TTTKXK1,30,4,0,40412164,非齐次通解为；齐次通解特解时0,90923212得，令，六EAATTP3,1,1,91，TTTP53,42,051,25,44,03223232标准化正交化1319,YFPYXP，所以标准型为，且,同的特征值由定理知相似矩阵有相相似与，七BAAB,21,001,0211221121线性无关表示不能由，得代入线性表示可由又设八LMIKKKLKLLLKMIIIMM线性代数参考题五答案线代参考一181092,1827621,504237651AKAKAT一二0021361NNNRDIN52031400,122EABEAEAB三2,056210311345614253BABAAR四五；321,一个极大无关组为秩为01,11122全不为下面证明。使的存在不全为线性相关证明六NIKKKANNN01,0121111全不为与已知矛盾个向量均无关任意则若某NIKAKANINIII线代参考一19TTTPPP31,62,1,021,532132八且PYXP312315YYF线性代数参考题六答案一填空题答案11；2；3；4BA1BEAAC,1,2,K线性相关；5；61；7；8；9；10202BA321A5T二居余马线性代数12例8P17将按第一行展开，得ND2111NNNNNABDBABAD阶递推公式改写为12211ADN而，于是有，整理得22NN121232211,BBAADNNNN将上述等式两端分别乘以，然后再相加，得到,ABB即得，整理得NNNNNN12211BABDNN,1三由于，再TTTTTBCBCECBE11由已知得，是一个非零解七KNKAXEARNR,21线代参考一20，再由可得到12301TTBCEECBEXT112301X四令，则对其进行行的初等变换有,543A，由得，其2036111345620