导数知识点归纳及应用

导数知识点归纳及应用一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式（C为常数）01NXSICOSXINXELA1LNXGLOAAE例1下列求导运算正确的是AXBLOG2XC3X3XLOG3EDX2COSX2XSINX21XLN1X2导数的运算法则法则1VU法则2若C为常数,则VCU法则3（V0）。U23复合函数的导数形如YF的函数称为复合函数。复合函数求导步骤X分解求导回代。法则Y|Y|U|或者XUXFXFX练习求下列各函数的导数（1）（2）（3）（4）SIN25XY321XXY4COS21SINXXYX3、导数的几何意义函数YF（X）在点X处的导数的几何意义是曲线YF（X）在点P（X，F（X）处的切线的斜率。也就是说，曲000线YF（X）在点P（X，F（X）处的切线的斜率是F（X）。00相应地，切线方程为YYF/（X）（XX）。0例曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）32FX0P41YX0PABC和D和1,0,81,2,81,4四、导数的应用1函数的单调性与导数（1）如果，则在此区间上为增函数；FX0XF如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。F0XXF例函数是减函数的区间为132XFABCD（0，2）,2极点与极值曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例函数已知时取得极值，则,9323XAXF3XF在AA2B3C4D53最值在区间A，B上连续的函数F在A，B上必有最大值与最小值。但在开区间（A，B）内连续函数F（X）不一定X有最大值，例如。3,1,F函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是_13XF（数学选修11）第一章导数及其应用基础训练组一、选择题3函数的递增区间是（）3YXABCD,01,14,若,则的值等于（）32FXA4FAABCD19633106函数在区间上的最小值为（）34XY2,ABCD72610二、填空题1若，则的值为_；30,FXF0X2曲线在点处的切线倾斜角为_；Y431,33函数的导数为_；SINX4曲线在点处的切线的斜率是_，切线的方程为_；YL,1ME5函数的单调递增区间是_。523X三、解答题1求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。610Y325YX3求函数在区间上的最大值与最小值。5431FXX4,4已知函数，当时，有极大值；23BXAY13（1）求的值；（2）求函数的极小值。,Y经典例题选讲例1已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图XFYXFXFXFY象大致是例2已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为DAXBXF231,F076YX（）求函数的解析式；（）求函数的单调区间XFXFY例4设函数，已知是奇函数。32FBCXRGF（）求、的值。（）求的单调区间与极值。C例5已知F（X）在X1，X时，都取得极值。求A、B的值。CBXA2332例7已知函数其中223,XFXAERA（1）当时，求曲线处的切线的斜率；01YFF在点（2）当时，求函数的单调区间与极值。3X导数知识点归纳及应用教师一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式（C为常数）01NXSICOSXINXELA1LNXGLOAAE例1下列求导运算正确的是AXBLOG2XC3X3XLOG3EDX2COSX2XSINX21XLN1X解析A错，XB正确，LOG2XLXC错，3X3XLN3D错，X2COSX2XCOSXX2SINX2导数的运算法则法则1VU法则2若C为常数,则VCU法则3（V0）。U23复合函数的导数形如YF的函数称为复合函数。复合函数求导步骤X分解求导回代。法则Y|Y|U|或者XUXFXFX练习求下列各函数的导数（1）（2）（3）（4）SIN25XY321XXY4COS21SINXXYX解1,SINSIN232251XXXYYCOSSINSI2353X（2）Y（X23X2）（X3）X36X211X6，Y3X212X11（3）Y,SIN1COSINXXS2SISI21XY（4），XXX121122Y4、导数的几何意义函数YF（X）在点X处的导数的几何意义是曲线YF（X）在点P（X，F（X）处的切线的斜率。也就是说，曲000线YF（X）在点P（X，F（X）处的切线的斜率是F（X）。00相应地，切线方程为YYF/（X）（XX）。0例曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）32FX0P41YX0PABC和D和1,0,81,2,81,4四、导数的应用1函数的单调性与导数（1）如果，则在此区间上为增函数；FX0XF如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。F0XXF例函数是减函数的区间为132XFABCD（0，2）,解析由0，当时，0，X/F/XF1/XF故的极小值、极大值分别为，F3F、而1073F、故函数在3，0上的最大值、最小值分别是3、17。XF（数学选修11）第一章导数及其应用基础训练组一、选择题3函数的递增区间是（）3YXABCD,01,14,若,则的值等于（）32FXA4FAABCD19633106函数在区间上的最小值为（）34XY2,ABCD72610二、填空题1若，则的值为_；30,FXF0X2曲线在点处的切线倾斜角为_；Y431,33函数的导数为_；SINX4曲线在点处的切线的斜率是_，切线的方程为_；YL,1ME5函数的单调递增区间是_。523X三、解答题1求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。610Y325YX3求函数在区间上的最大值与最小值。5431FXX4,4已知函数，当时，有极大值；23BXAY13（1）求的值；（2）求函数的极小值。,Y（数学选修11）第一章导数及其应用基础训练A组一、选择题3C对于任何实数都恒成立210YX4D1036,364,3FAFA6D4,1,0YXYXXYXY令当时当时得而端点的函数值，得1|0,X极小值23|7|2XXYMIN二、填空题12003,1F2342134,|TAN,4XYXKY32COSINX22SIICOSINXX41,0EY111,|,XEKYEY5,3253503X令得或三、解答题1解设切点为，函数的导数为,PAB32YX26YX切线的斜率，得，代入到2|6XAK1A325X得，即，。31,33,0YXY3解,520524XXF当得，或，或，X，01,41,431,4列表又；右端点处；0,10FF4265F函数在区间上的最大值为，最小值为。5345XXY1,26504解（1）当时，2,AB1|30,|3XXYABYABX,00,FX1即320,6,9ABB（2），令，得322,18YXYX0Y,1X或0|X极小值经典例题选讲例1已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的XFYXFXFXFY图象大致是解析由函数的图象可知XFY当时，0，此时增1XXF当时，0，0，0，此时增1FXF故选C例2已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为DAXBF231,F076YX（）求函数的解析式；XF（）求函数的单调区间Y解（）由的图象经过P（0，2），知D2，XF所以,23CBF2XX由在处的切线方程是，知1,FM076YX1,076FF即3,03211623CBCBCB解得即故所求的解析式是223XXF（）012,03662XXF即令解得当1,21,1FXX时或当0,FX时故内是增函数，2,323在F在内是减函数，在内是增函数1,1例4设函数，已知是奇函数。32FXBCXRGXFX（）求、的值。（）求的单调区间与极值。C解（），。从而32F23FBC是2GXXCXX32XCBX一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；0G（）由（）知，从而，由此可知，366G和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；,2,G在时，取得极大值，极大值为，GX42在时，取得极小值，极小值为。例5已知F（X）在X1，X时，都取得极值。CBXA233（1）求A、B的值。解（1）由题意F/（X）的两个根分别为1和232由韦达定理，得1，3A321B则，2AB例7已知函数其中22,XFXAERA（3）当时，求曲线处的切线的斜率；0A1,YFXF在点（4）当时，求函数的单调区间与极值。23解（I）3122EFEXXFEXF，故，时，当31,FY处的切线的斜率为在点所以曲线（II）422XEAXAX2320AF知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1），则当变化时，的变化情况如下表A若32A2XXF，X，A，2，A00极大值极小值2内是减函数，内是增函数，在，在所以AXF322AEFAF，且处取得极大值在函数42XF，且处取得极小值在函数（2），则，当变化时，的变化情况如下表A若3A2XXF，X，A2，A200极大值极小值内是减函数。，内是增函数，在，在所以2AXF3422AEAFF，且处取得极大值在函数薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈芈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆袃莈蒃蚂袂蒁螈羀袁膀薁袆袁芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇莂羇羈膇薇袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羅膁蒈蚁羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇肁芀蚁薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈芈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆袃莈蒃蚂袂蒁螈羀袁膀薁袆袁芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇莂羇羈膇薇袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羅膁蒈蚁羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇肁芀蚁薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿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