高等数学- 作业册- 第9章(01)

第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界DLXSYX2YX解可以分解为及1,0,12,01LX1212200DDDDLLXSXSX113222000051244882X2,为星形线在第一象限内的弧43DLXYS33COS,INXATYT解为0T33,I,0,2TT223COSIN,SICO,SINCODXDYATATDATDTT原式4724223001I3INSIINTTDT7772223333001COSCOS88ATDTATTA3计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点XYZ3,41,2,解2,30,14XYZABTYZTDST,CDS4,26143XYZTYZTST14023DD231148ABCSXSTDTT4，为螺线上于从变到的一段2XYZCOS,IN,TYTZT0弧解为2COS,IN,0,1XTYTZTDST12222200DZTTTT15322019463483515TT5计算，其中LDLXYSA0,2AXY解将L参数化，2CO,SINCOS,S,COS,RTRTRTTXATCOSIN,I2,2,2YATDXATDYATDT2222002DCOSCOSINLXATTTAA6计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限EXYL22AYXXY内所围成的扇形的整个边界解边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分120,SIN,COS,0,4YXADSXLATYTDSAT2123,LTL从而242200000ED4AAAAXYXAXXAXLSEDTEDEEA1124AA作业14对坐标的曲线积分1计算下列第二型曲线积分1，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；DLXYYAL21XYAB解为COS,IN,02ATBT原式20ISICOSSINTTTABTD222200ICOSINCO4ABTBTTDT2，其中是从点到点的一段直线；D1XYXZ1,34解是1,2,01234TYTZT原式01TTTDT112006473TDT3，其中是圆柱螺线从到YXZ2COS,IN,3XTYTZ0T的一段弧；2T解是COS,2IN,3,0TYTZT原式20INICOSTTTDT220043DT4计算曲线积分,其中为由点A1,1沿抛物线1EDCOSEDYYLXXL到点O0,0,再沿X轴到点B2,0的弧段2YX解由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；2,10A,02Y原式220201EDCOSEDXEX2203210XX22200042111SINED1SINSINXXXEE2设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为FY的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功M2XY,0,F解220,1,101XDSXL135224008LYWFDSYY3把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中,D,LPXQXL为1在平面内沿直线从点到点；XOY0,1,2沿抛物线从点到点2解（1）2,01,1LYXDXSDX,D,DS2LLLPXQXPQPQ（2）22,01,14YXDXSXD222,D,DS14LLLXXY作业15格林公式及其应用1填空题1设是三顶点0,0,3,0,3,2的三角形正向边界,L1224D536DLXYYXA2设曲线是以为顶点的正方形边界，1,0,1,0,DCBA不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可导的点_LXY（3）相应于曲线积分的第一型的曲线,D,D,DLPXYZQXYZRXYZ积分是其中为从点1,1,1到点1,2,3的直线,3S5LXYZRL段2计算,其中L是沿半圆周33ESINDECOSDXXLIYY从点到点的弧2XA,0AA,B解L加上构成区域边界的负向,BX332ESINDECOSDCOSAXXLDIYYXYDY34230SINAAAR3计算,其中为椭圆E1DE3DXYXYLYAL正向一周2AB解原式E3E31XYXYDDXY4DXYAB4计算曲线积分其中为连续SINDCOSD,LIFXYFXYXF函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点222112,A的一段弧0,O解令1,2LYX则，原式11SINDCOSDLLDIDXYFXYFXY220SINCOFF22422031I1XFX5计算,其中为2DLYAL（1）圆周（按反时针方向）；211X解，而且原点不在2222YXYXY该圆域内部，从而由格林公式，原式0（2）闭曲线（按反时针方向）1XY解，但所围区域内22222XYXY部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，201XYL原式112DD012LLDXYXDXYA6证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值O（1）；,0ECOSDINABXY解由于在全平面连续，从而该曲线积IESIECOSXXXYY分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，OY0,BA原式00SINECOSD1COS1BAXAAYDBEBE（2）；2,142334Y解由于在全平面连续，从而该曲234XYXX线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也O10,1,22YX可，原式2432113DXX243135242115XX（3）,0ECOSDESINDYYMXY解由于在全平面连续，从而该INCOECOSYYYXXM曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，O0,2原式200COSESINDYEXMDY200SINYX27设在上具有连续导数，计算FX,，221D1DLYFXYFXY其中L为从点到点的直线段3,解由于在22211YFXXYFFXYFY右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，12,31LXYX原式222341DDFFXXX13123X948验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求,PYQYOY出它的一个原函数（1）；EDE1DXYXY解由于在全平面连续，从而1EXYXYXY该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，O,U则,E1,EXYXYUUUDXDYX从而E1EXYXYGEXXUYG，EXXGDDC1EXYUYC（2）；22323881EDYY解由于在全平面连续，32222E638YXXXY从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，O,UXY则原式32324D41EDYYXXYD3212EYYYXY32412EYX可取4UE（3）22COSDSINIDXYXYXY解可取折线作曲线积分0,222002DSINIDSINCOSYXUXYXY9设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力2,8XY场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关证，2,8FXY质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为L28LWXYDXDY由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，228XYXY场力所作的功与路径无关作业16对面积的曲面积分1计算下列对面积的曲面积分1,其中为锥面被柱面所截得DXYZS2ZXY2XYAX的有限部分；解为222,XYZYZZX，21XYDSD0COS,2DRA原式2230DDZXYDR44224240COS6281SINISIN15AAA（2）,其中为球面22DXYZSXYZAX解为两块222222,YYZAZZ，2221XYDSZDDXZ0,DRA原式1222DAYZASDXY22DYZDXYA23322044ADRDAYZ3324200888ADRR2计算，是平面被圆柱面截出的有限部分YSZYX12YX解为两块，4,1,XYZ3DSDXY01,2DR原式3DYDX12322000SINCOSARDR（或由，而积分微元反号推出）,ZYZ3求球面含在圆柱面内部的那部分面积22AXAXY2解为两块2222,XYZYZZXY，2221XYADSDDYZ0,DRA原式1222DXSAYCOS202DRCOS222004SIN414ARDDAA4设圆锥面,其质量均匀分布,HZXYAH为圆锥面的底面半径，为高求它的重心位置解设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为0,Z2222DDHHAHZDSXYDXYXYDA2203R221DDHAHDSDXYDXY220AHDRH，故重点坐标为2033AZH,35求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变21ZXY01ZZ更解22DMDSXYDXY232011DRD225320041151TTDTT作业17对坐标的曲面积分1，其中是柱面被平面及所DDZXYZX21XY0Z3截得的在第一卦限内的部分前侧解22,01,3,COS0,1YZYZDZX原式2DDDDYZZXDDZXZDY2计算曲面积分，其中为旋转抛物面下2DZXZY21ZXY侧介于平面及之间的部分0解221,4XYXYZYZD,YZXZZ原式1122DD222221DDYZYZZXDDDYYZX22223001DYZZXZXR224230008R3计算DDXYZXZYA其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面1,0,X的外侧解分片积分。123,COSCOS0,0,COSYZ41,3ZXY原式（由轮换对称性）12344031DYZDYZ12341100018YYDZDYD4把对坐标的曲面积分,DPXYZQXYZRXYZ化为对面积的曲面积分（1）是平面在第一卦限的部分的上侧；326Z（2）是抛物面在面上方的部分的上侧28ZXY解（1）32COS0,3,5NN原式3,2,DS5PXYZQXYZRXYZ（2）2,1COS0,14NNXY原式2,DS4XPYZXYZRZ5计算曲面积分,其中为旋转抛物面DIXY下侧介于平面Z0及Z2之间的部分21ZXY解22,1COS0,1,4XYNXNDXY原式（两类曲面积分的互化）22DSD1XZZZY（第二类曲面积分投影法计算）22114XYDXYXY（用了重积分的对称性）2DXYDY243028DR6已知速度场，求流体在单位时间内通过上半锥面,VXYZ与平面所围成锥体表面向外流出的流量2ZXY1解22122,COS0,14XYNDXY同样。22,1XYN2,COS0,ZN1212DDDDDYZZXYXZYXY11222SSX作业18高斯公式和斯托克斯公式1利用高斯公式计算曲面积分1，其中是平面，及222DDXYZXZYA0XY0Z所围成的立体的表面外侧；XYZ解原式21100266ZDZXYZDVZDXYD112334001334Z（2），其中为柱面及平面，DDXYXYA2XY0Z所围成的立体的表面外侧；Z解原式3320001ZDYZVZDXYZD320193计算,281DD4YXZYZXY其中，是由曲面绕Y轴旋转一周所成的曲面,它的法向30Z量与Y轴正向的夹角恒大于2解加上右侧，构成封闭区域的外侧。213,XZ原式1113166YDDDVDXZXDZ3214Y2设函数有一阶连续导数，利用高斯公式计算曲面积分F，式中是222311DDDIFXYZFXYZXYZXY下半球面的上侧220解加上下侧，构成封闭区域的内侧。10,1ZXY原式12122400SINZDVD15042COS3利用斯托克斯公式计算曲面积分（1）式中是圆周，从轴正向看去,2DD,YXZYA2XYZZO取逆时针方向解原式111223520ZDZXYZYDXYXDY（2），其中为圆周,从DDYA224ZZ轴的正向看去，取逆时针方向O解原式12132600302833DXYDZDZXDXY作业19场论初步1求下列向量场通过曲面指定一侧的通量A（1），为由平面与，所ZYXIJK632ZYX0XY0Z围成立体的表面，流向外侧；解1DD0326ZZDV（2），为以点3,1,2为球心，半径23YXYZAIJK的球面，流向外侧R解2DDD21ZXXYDV341082求向量场沿闭曲线的环流量从Z轴正向看32AXZIYZJXK依逆时针的方向,其中为圆周,YZ解32DDDLXZYZX222610D3DZYYXY24234031D9XRD3求向量场在点M1,1,2处的散度和旋度2,AYZXZ解48217DIVDIVA22,4,09MROTXZYZXYCROT4证明向量场为平面调和场，并求势函数A解由于20,20,DIVYXROTAXYX因此是无源场且为无旋场从而为调和场A由为势函数2,2,0,2XYUXUYGYUXYC5验证下列向量场为保守场，并求其势函数A（1）；YZXIJK解由于,0,ROTYZXYXZYZ因此为无旋场从而为有势场A由,0,0XYZYUZXUYXZGUXYZH为势函数C（2）26IJK解由于6262,0,YZXZXYZXZXYROTA因此为无旋场从而为有势场由22,2,6,2,XYZYUXUYUXYGZ为势函数H3C6设具有二阶连续偏导数，计算ZYX,ROTAD解由于U,ZGRAD从而UROT,UUYZYZXZXYX222,UYZX由于具有二阶连续偏导数，从而U,0UROTGAD第九章曲线积分与曲面积分测试题1填空题（1）对坐标的曲线积分化成第一类曲线积分是DPXQYRZ，其中为有向曲线弧在点处COSCOSP,XYZ的切向量的方向角；（2）设为取正向的圆周则曲线积分L92YX；2D4DXYA18（3）设曲线积分与积分路径无关，其中ESINCOSDXLFYFXY一阶连续可导，且，则；XF0FF2XE（4）_0_，其中为单位球面22DDDYZXZY的外侧；1X（5）设，则0，22ESINXAYZXYJK1,IV|A1,0ROT|,2计算下列曲线积分（1）计算，其中为球面与平面的相交部2DLZS22XYZA0XYZ分0A解由轮换对称性22222211DD33LLLLLZSXYSXYZSASAAA23D3LASA（2），其中是，22LYSXZL224XYZAX0,Z解用球坐标表达是22,COSINXYZAX2COS,SINCO,SIN,0,XAYA原式0222012DSINCO1S143LYDTDA（3）其中为椭圆由点经点到点,LXL,2BYAX,AA,0BC的弧段；0,AB解参数表达是COS,IN,0XAY原式20SICSBD222220041INIO0133ABDAABAB（4），其中是与22DLXYYXZAL22ZYX的交线，其方向与轴正向成右手系；1Z解参数表达是2COS,SIN,302XYZ原式22200CO414SINCOSDD（5），其中为上半圆周EIDECOSXXLYYL，沿逆时针方向；22,0A解加上形成半圆区域的正向边界1YXA原式22ESINDECOS2D0XLDYYA（6），其中是以点为定点，D|LXYAL1,0A,B1,C的正方形的整个边界（取正向）0,1D解正向XY原式D0LD3计算下列曲面积分（1）,为锥面介于之间的部分2EDZSXY2ZXY12Z解原式22201EXRDDE（2）计算2222,XYZRSHRYZ其中解为两片2222,XXRDSYXY令2222,RDTRXYRRT原式222211DRHTHTXY22220RRDDTRT22011RRHHTHT（3）其中是上半球面的上侧；D,YZXY24YXZ解为2222,4,COS0,ZDXYN原式2CSYZDSD22230118812DDXYXR（4），其中为锥面222DDYZZY2ZXY的外侧；0H解加上上侧，构成封闭区域的外侧。221,ZXYH原式112200D