2016年秋北师大九年级数学上《第4章图形的相似》单元测试含答案解析

第 1页（共 26页） 第 4 章 图形的相似 一、选择题 1如图， A， B， C， D， E， G， H， M， 小正方形的顶点），要使 点 ， H， M， ） A B C D 2 ： 4，则 周长比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 16 3如图，在 = ，则 =（ ） A B C D 4在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、 4、 5的三角形按图 1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似 乙：将邻边为 3和 5的矩形按图 2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形不相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对 第 2页（共 26页） 5如图， B 上的一点，在下列四个条件中： B； =B；P满足 ） A B C D 6如图，在 D 的中点， D 于点 F，则 ） A 3： 2 B 3： 1 C 1： 1 D 1： 2 7四边形 BCD 位似， 1 ： 3，则 S 四边形 S 四边形 ABCD=（ ） A 1： 9 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 8小刚身高 得他站立在阳光下的影长为 接着他把手臂竖直举起，么小刚举起手臂超出头顶（ ） A 0.5 m B m C 0.6 m D 2.2 m 9如图，在 = ，则下列结论中正确的是（ ） A = B = C = D = 10如图，已知 D 垂直，垂足 分别是 B、 D、 F，且 ， ，那么 ） 第 3页（共 26页） A B C D 二、填空题 11若 ，则 = 12如果 = = =k（ b+d+f 0），且 a+c+e=3（ b+d+f），那么 k= 13已知一个三角形的三边长分别为 6， 8和 10，与其相似的一个三角形的最短边长为 18，则较小三角形与较大三角形的相似比 k= 14在 284一个与它相似的 ABC 的周长为 18 ABC 各边长分别为 15如图，一束光线从点 A（ 3， 3）出发，经过 反射后经过点 B（ 1， 0），则光线从点 经过的路径长为 16如图， ， ， ， ，则 第 4页（共 26页） 17如图，在 = ， ，则 18如图，在正方形 ： 1， ，则 三、解答题 19已知线段 a， b， c， a=6b=3d= 线段 20若 = ，求 的值 21已知 a、 b、 满足 ，且 a+b+c=12，请你探索 22如图， B 上的高，且 = （ 1）求证： （ 2）求 23如图，在正方形 E、 D、 的点， D， 接 （ 1）求证： （ 2）若正方形的边长为 4，求 长 第 5页（共 26页） 24某小区居民筹集资金 1600元，计划在两底分别为 10m、 20图： （ 1） 他们在 带上种植太阳花，单价为 8元 / 中阴影部分），共花了 160元，计算种满 （ 2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为 12元 /10元 /选哪种花木，刚好用完所筹资金？ 25如图，已知在 （ 1）若 0这两个三角形的周长 （ 2）若 12这两个三角形的面积 26某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点 B（点 所确定的直线垂直于河岸） 小明在 整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点 图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 小明站在原地转动 180 后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下 移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了 长线上的点 时小亮测得 明的眼睛距地面的距离 根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 第 6页（共 26页） 第 7页（共 26页） 第 4 章 图形的相似 参考答案与试题解析 一、选择题 1如图， A， B， C， D， E， G， H， M， 小正方形的顶点），要使 点 ， H， M， ） A B C D 【考点】相似三角形的判定 【专题】压轴题；网格型；数形结合 【分析】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答 【解答】解：设小正方形的边长为 1，则 、 、 ，只能 或 各边是 6、 2 ， 2 与 选 C 【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用 2 ： 4，则 周长比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 16 【考点】相似三角形的性质 【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果 【解答】解： ： 4， ： 4； 故选： C 【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键 第 8页（共 26页） 3如图，在 = ，则 =（ ） A B C D 【考点】平行线分线段成比例 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可 【解答】解： = = ， 故选 C 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大 4在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、 4、 5的三角形按图 1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似 乙：将邻边为 3和 5的矩形按图 2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形不相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对 【考点】相似三角形的判定；相似多边形的性质 【专题】数形结合 【分析】甲：根据题意得： AB ， AC ， BC ，即可证得 A= A ， B= B ，可得 ABC ； 第 9页（共 26页） 乙：根据题意得： D=3， C=5，则 AB=CD=3 +2=5， AD=BC=5 +2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似 【解答】解：甲：根据题意得： AB ， AC ， BC ， A= A ， B= B ， ABC ， 甲说法正确； 乙： 根据题意得： D=3， C=5，则 AB=CD=3 +2=5， AD=B C=5 +2=7， ， ， ， 新矩形与原矩形不相似 乙说法正确 故选： A 【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 5如图， B 上的一点，在下列四个条件中： B； PP满足 ） A B C D 【考点】相似三角形的判定 第 10页（共 26页） 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对 进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对 进行判断 【解答】解：当 B， 所以 当 所以 当 P 即 P： 所以 当 P=B，即 = ， 而 所以不能判断 似 故选 D 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似 6如图，在 D 的中点， D 于点 F，则 ） A 3： 2 B 3： 1 C 1： 1 D 1： 2 【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】几何图形问题 【分析】根据题意得出 而得出 = ，利用点 D 的中点得出答案即可 【解答】解： 第 11页（共 26页） = ， 点 E= = 故选： D 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出 7四边形 BCD 位似， 1 ： 3，则 S 四边形 S 四边形 ABCD=（ ） A 1： 9 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 【考点】位似变换 【分析】四边形 BCD 位似，四边形 四边形 ABCD ，可知 AD ， ，求出相似比从而求得 S 四边形 S 四边形 ABCD的值 【解答】解： 四边形 四边形 ABCD 位似， 四边形 四边形 ABCD ， AD ， ， OA= AD=1 ： 3， S 四边形 S 四边形 ABCD=1： 9 故选： A 【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方 第 12页（共 26页） 8小刚身高 得他站立在阳光下的影长为 接着他把手臂竖直举起，么小刚举起手臂超出头顶（ ） A 0.5 m B m C 0.6 m D 2.2 m 【考点】相似三角形的应用 【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖 直举起时总高度 x，即可列方程解出 减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度 【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 方程得： = ， 解得 x= 所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 故选： A 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比 9如图，在 = ，则下列结论中正确的是（ ） A = B = C = D = 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由 得 后由相似三角形的对应边成比例可得 ，然后由 = ，即可判断 A、 B 的正误，然后根据相似三角形的周长之比等 于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断 C、 【解答】解： 第 13页（共 26页） ， = ， = ， 故 A、 = = ， =（ ） 2= ， 故 故选 C 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方 10如图，已知 D 垂直，垂足分别是 B、 D、 F，且 ， ，那么 ） A B C D 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】易证 据 相似三角形的性质可得 = ， = ，从而可得 + = + =1然后把 ， 代入即可求出 【解答】解： 与 = ， = ， + = + = =1 ， ， 第 14页（共 26页） + =1， 故选 C 【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现 + =1是解决本题的关键 二、填空题 11若 ，则 = 【考点】比例的性质 【专题】常规题型 【分析】根据比例的性质求出 的值，然后两边加 1进行计算即可得解 【解答】解： ， 2= ， =2+ = ， +1= +1， 即 = 故答案为： 【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件求出 的值是解题的关键 12如果 = = =k（ b+d+f 0），且 a+c+e=3（ b+d+f），那么 k= 3 【考点】比例的性 质 【分析】根据等比性质，可得答案 【解答】解：由等比性质，得 k= = =3， 故答案为： 3 【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质： = = =kk= = 第 15页（共 26页） 13已知一个三角形的三边长分别为 6， 8和 10，与其相似的一个三角形的最短边长为 18，则较小三角形与较大三角形的相似比 k= 【考点】相似三角形的性质 【分析】由一个三角形的三边长分别为 6， 8和 10，与其相似的一个三角形的最短边长为 18，根据相似比等于对应边的比，即可求得答案 【解答】解： 一个三角形的三边长分别为 6， 8和 10，与其相似的一个三角形的最短边长为 18， 较小三角形与较大三角形的相似 比 k= = 故答案为： 【点评】此题考查了相似比的定义此题比较简单，解题的关键是熟记定义 14在 284一个与它相似的 ABC 的周长为 18 ABC 各边长分别为 468 【考点】相似三角形的性质 【分析】由 ABC 据相似 三角形周长的比等于相似比，即可求得答案 【解答】解： ABC ABC 的周长： AB ： 在 284 54 ABC 的周长为 18 AB ： C ： C ： ， AB=4 BC=6 AC=8 故答案为： 468 【点评】此题考查了相似三角形的性 质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键 15如图，一束光线从点 A（ 3， 3）出发，经过 反射后经过点 B（ 1， 0），则光线从点 经过的路径长为 5 第 16页（共 26页） 【考点】解直角三角形的应用 【专题】计算题；压轴题 【分析】延长 根据光的反射原理，点 B、 B 关于 B 路径长就是 的长度结合 用勾股定理求解 【解答】解：如图所示， 延长 则点 B、 B 关于 B 作 x 轴于 ， 3 +1=4 即光线从点 经过的路径长为 5 【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键 16如图， ， ， ， ，则 第 17页（共 26页） 【考点】三角形中位线定理 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解 【解答】解： 中位线， 2=4， = ， 即 = ， 解得 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键 17如图，在 = ， ，则 18 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】根据相似三角形的判定，可得 据相似三角形的性质，可得答案 【解答】解； 在 = ， 第 18页（共 26页） =（ ） 2= ， ， S 8， 故答案为： 18 【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质 18如图，在正方形 ： 1， ，则 9： 11 【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】压轴题 【分析】根据题意，先设 CE=x， S a，再求出 S 用四部分的面积和等于正方形的面积，得到 x与 么两部分的面积比就可以求出来 【解答】解：设 CE=x， S a， CE=x， ： 1， x， C=D=3x； 又 S S = = ，那么 S a S S 四边形 正方形 S S a=9 3x2x ， 化简可求出 ； S S 四边形 ： = ： =9： 11，故答案为 9： 11 第 19页（共 26页） 【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方 三、解答题 19已知线段 a， b， c， a=6b=3d= 线段 【考点】比例线段 【分析】根据比例 线段的定义得出 = ，即 = ，解之可得 c 【解答】解：根据题意， = ，即 = ， 解得： c=3， 答：线段 【点评】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键 20若 = ，求 的值 【考点】比例的性质 【分析】首先由已知条件可得 x= ，然后再代入 即可求值 【解答】解： = ， 8x 6y=x y， x= ， = = 【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积 21已知 a、 b、 满足 ，且 a+b+c=12，请你探索 【考点】勾股定理的逆定理 【专题】探究型 第 20页（共 26页） 【分析】令 =k根据 a+b+c=12，得到关于 得 进一步求得 a，b， 而判定三角形的形状 【解答】解：令 =k a+4=3k， b+3=2k， c+8=4k， a=3k 4， b=2k 3， c=4k 8 又 a+b+c=12， （ 3k 4） +（ 2k 3） +（ 4k 8） =12， k=3 a=5， b=3， c=4 【点评】此题能够利用方程求得 一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状 22如图， B 上的高，且 = （ 1）求证： （ 2）求 【考点】相似三 角形的判定与性质 【分析】（ 1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明 （ 2）由（ 1）知 后根据相似三角形的对应角相等可得： A= 后由 A+ 0 ，可得： 0 ，即 0 【解答】（ 1）证明： 边 0 ， = （ 2）解： 第 21页（共 26页） A= 在 0 ， A+ 0 ， 0 ， 即 0 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理 23如图，在正方形 E、 D、 的点， D， 接 （ 1）求证： （ 2）若正方形的边长为 4，求 长 【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例 【专题】计算题；证明题 【分析】（ 1）利用正方形的性质，可得 A= D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得 （ 2）根据平行线分线段成比例定理，可得 可求得 长 【解答】（ 1）证明： 正方形， B=C， A= D=90 ， D， ， ， ， 第 22页（共 26页） （ 2）解： ， 又 方形的边长为 4， ， ， C+0 【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用解题的关键是数形结合思想的应用 24（ 10 分）（ 2012富顺县校级模拟）某小区居民筹集资金 1600元，计划在两底分别为 10m、 20图： （ 1）他们在 带上种植太阳花，单价为 8元 / 中阴影部分），共花了 160元，计算种满 （ 2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种 可供选择，单价分别为 12元 /10元 /选哪种花木，刚好用完所筹资金？ 【考点】相似三角形的应用 【专题】应用题 【分析】（ 1）易得 据 S 此可得种满 （ 2）根据每平方米 8元来看， 0 平米方米， 0平方米，因此可以得出梯形的高也就是两三角形高的和为 12 米，那么可得梯形面积为 180平方米，还有 80 平方米未种，800元未用，所以要选择每平 方米十元的茉莉花 【解答】解：（ 1） 四边形 第 23页（共 26页） S S 10： 20 ） 2=1： 4 种植 60 元，单价为 8元 / S 0 S 0 80=640（元）； （ 2）设 形 高为 h S 100， ， S 200， ， S 梯形 （ C） h = （ 10+20） （ 4+8） =180 S 80 20 80=80（ 160+640+80 12=1760（元），